Формулы дифференцирования и интегрирования степенной функции, экспоненты и логарифма

Содержание

  1. 1. Дифференцирование степенной функции
  2. 2. Дифференцирование экспоненты и логарифма
  3. 3. Дифференцирование некоторых функций, содержащих в виде множителя степенную функцию
  4. 4. Интегрирование некоторых функций, содержащих в виде множителя логарифм
  5. 5. Интегрирование некоторых функций, содержащих в виде множителя полином
  6. 6. Выражение интегралов через гипергеометрические функции
  7. 7. Случаи вырождения
  8. 8. Значения некоторых определенных интегралов
  1. Дифференцирование степенной функции
  2. Дифференцирование экспоненты и логарифма
  3. Дифференцирование некоторых функций, содержащих в виде множителя степенную функцию
  4. Интегрирование некоторых функций, содержащих в виде множителя логарифм
  5. Интегрирование некоторых функций, содержащих в виде множителя полином
  6. Выражение интегралов через гипергеометрические функции
  7. Случаи вырождения
  8. Значения некоторых определенных интегралов

В настоящей статье рассматриваются степенная функция, экспонента, логарифм, а также некоторые комбинаций данных функций.

Для таких функций приведены формулы дифференцирования, выражения для неопределенных и определенных интегралов, описаны методы определения интегралов. Производные и интегралы представляются с помощью элементарных функций, а также гамма-функции, гипергеометрических и цилиндрических функций.

В статье используются следующие обозначения:

jj, kk, rr, ll, mm, nn, MM, NN – целочисленные переменные;

xx, yy, tt, aa, bb, cc, dd, hh, pp, qq, ss, AA, BB, CC, DD, HH, ω\omega, φ\varphi, ψ\psi – действительные переменные;

zz, ξ\xi, ww, α\alpha, β\beta, γ\gamma, ϰ\varkappa, λ\lambda, μ\mu, ν\nu, ϱ\varrho, σ\sigma, τ\tau, ζ\zeta – комплексные переменные;

Cjk(kj)C_j^k \equiv \bigl({}_k^j\bigr) – биноминальные коэффициенты;

Fk(z)j=0k1(z+j) ,F~k(z)(1)kFk(z)=j=0k1(zj)\mathcal{F}_k (z)\equiv \prod_{j=0}^{k-1}(z+j) \;,\qquad \widetilde{\mathcal{F}}_k (z)\equiv (-1)^k \cdot \mathcal{F}_k(-z) =\prod_{j=0}^{k-1}(z-j)

– функция Похгамера степени kk и модифицированная функция Похгамера степени kk;

Для функции Похгамера в математической литературе обычно используется очень неудобное обозначение – (z)k(z)_k.

Для производной всюду используется сокращенное обозначение:

dz\mathrm{d}_z вместо ddz\frac{d}{dz}.

Дифференцирование степенной функции

dz zα=α zα1(α0) ,\mathrm{d}_z \,z^{\alpha} = \alpha \,z^{\alpha -1} \qquad (\alpha \ne 0) \;,

dzr zα=F~r(α)zαr(α0,1,...,r1).\mathrm{d}_z^r \,z^{\alpha} = \widetilde{\mathcal{F}}_r (\alpha)\cdot z^{\alpha -r} \qquad (\alpha \ne 0,1,...,r-1).

Здесь r=0,1,2,...r =0,1,2,...;

Дифференцирование экспоненты и логарифма

dz ez=ez ,dzr ez=ez ;\mathrm{d}_z \,e^z = e^z \;, \qquad \mathrm{d}_z^r \,e^z = e^z \;;

dz lnz=1/z ,dzr lnz=(1)r1(r1)!zr\mathrm{d}_z \,\ln z =1/z \;, \qquad \mathrm{d}_z^r \,\ln z = (-1)^{r-1}\cdot (r-1)!\cdot z^{-r}

(r=0,1,2,...r =0,1,2,...).

Дифференцирование некоторых функций, содержащих в виде множителя степенную функцию

Производные таких функций выражаются через гипергеометрические функции:

dzr (zλ eβz)=F~r(λ)zλr eβz1F1(r; λr+1; βz)\mathrm{d}_z^r \,\bigl(z^{\lambda} \,e^{-\beta z}\bigr) = \widetilde{\mathcal{F}}_r (\lambda)\cdot z^{\lambda -r} \,e^{-\beta z}\cdot {}_1 F_1(-r;\, \lambda -r+1;\, \beta z)

dzr (zλ eβz)=(β)r zλ eβz2F0(r, λ; 1/(βz))(β0) ;\mathrm{d}_z^r \,\bigl(z^{\lambda} \,e^{-\beta z}\bigr) = (-\beta)^r \,z^{\lambda} \,e^{-\beta z}\cdot {}_2 F_0\bigl(-r,\, -\lambda;\, -1/(\beta z)\bigr) \qquad (\beta \ne 0) \;;

dzr (zλ (1βz)μ)=F~r(λ)zλr (1βz)μr2F1(r, λ+μr+1; λr+1; βz) .\mathrm{d}_z^r \,\bigl(z^{\lambda} \,(1 {-}\beta z)^{\mu}\bigr) = \widetilde{\mathcal{F}}_r (\lambda)\cdot z^{\lambda -r} \,(1 {-}\beta z)^{\mu -r} \cdot {}_2 F_1(-r,\, \lambda {+}\mu {-}r {+}1;\, \lambda {-}r {+}1;\, \beta z) \;.

Здесь r=0,1,2,...r =0,1,2,....

Интегрирование некоторых функций, содержащих в виде множителя логарифм

При определении интеграла от функции

f(z)=dzϱ1(z)lnϱ2(z) ,f(z) =\mathrm{d}_z \varrho_1 (z)\cdot \ln \varrho_2 (z) \;,

где ϱ1(z)\varrho_1(z) и ϱ2(z)\varrho_2(z) – дробно-рациональные функции,
выполняется интегрирование по частям, при этом подинтегральная функция представляетя в виде

f(z)=dz(ϱ1(z)lnϱ2(z))ϱ1(z)dzlnϱ2(z) .f(z) =\mathrm{d}_z \bigl(\varrho_1 (z)\cdot \ln \varrho_2 (z)\bigr) -\varrho_1 (z)\cdot \mathrm{d}_z \ln \varrho_2 (z) \;.

Задача сводится к интегрированию дробно-рациональной функции.

Здесь вместо функции ln\ln может быть функция arctanh\mathrm{arctanh} или arctan\arctan.

Интегрирование некоторых функций, содержащих в виде множителя полином

Если p(z)p(z) – полином степени не выше nn, то

a)p(z)eβz dz=k=0nβk1dzk p(z)eβz(β0) ;{a) } \int p(z)\cdot e^{-\beta z} \,d z = -\sum_{k=0}^{n} \beta^{-k-1}\cdot \mathrm{d}_z^k \,p(z)\cdot e^{-\beta z} \qquad (\beta \ne 0) \;;

b)p(z)(αβz)λ1 dz=k=0nβk1dzk p(z)(αβz)λ+kFk+1(λ){b) } \int p(z)\cdot (\alpha -\beta z)^{\lambda -1} \,d z = -\sum_{k=0}^{n} \beta^{-k-1}\cdot \mathrm{d}_z^k \,p(z)\cdot \frac{(\alpha -\beta z)^{\lambda +k}}{\mathcal{F}_{k+1}(\lambda)}

(β0\beta \ne 0, λ0\lambda \ne 0).

В частности,

c)zn eβz dz=k=0nβk1k! Cnk znkeβz(β0) ;{c) } \int z^n \,e^{-\beta z} \,d z = -\sum_{k=0}^{n} \beta^{-k-1}\cdot k! \,C_n^k \,z^{n-k}\cdot e^{-\beta z} \qquad (\beta \ne 0) \;;

d)zn(αβz)λ1 dz=k=0nβk1k! Cnk znk(αβz)λ+kFk+1(λ){d) } \int z^n \cdot (\alpha -\beta z)^{\lambda -1} \,d z = -\sum_{k=0}^{n} \beta^{-k-1}\cdot k! \,C_n^k \,z^{n-k}\cdot \frac{(\alpha -\beta z)^{\lambda +k}}{\mathcal{F}_{k+1}(\lambda)}

(β0\beta \ne 0, λ0\lambda \ne 0).

Использование гипергеометрических полиномов:

e)zn eβz dz=β1 zn eβz2F0(n,1;1/(βz))(β0) ;{e) } \int z^n \,e^{\beta z} \,d z = \beta^{-1} \,z^n \,e^{\beta z}\cdot {}_2 F_0 \bigl(-n, 1; 1/(\beta z)\bigr) \qquad (\beta \ne 0) \;;

f)zn (α+βz)λ1 dz=β1 λ1 zn (α+βz)λ2F1(n,1;λ+1;1+αβz){f) } \int z^n \,(\alpha +\beta z)^{\lambda -1} \,d z = \beta^{-1} \,\lambda^{-1} \,z^n \,(\alpha +\beta z)^{\lambda} \cdot {}_2 F_1 \Bigl(-n, 1; \lambda +1; 1 +\frac{\alpha}{\beta z}\Bigr)

(β0\beta \ne 0, λ0\lambda \ne 0).

<<<<

Формулы a) и b) являются частными случаями следующей формулы, которую можно получить, nn раз применяя интегрирование по частям:

p(z)f(z) dz=k=0n(1)k dzk p(z)fk+1(z) ,\int p(z)\cdot f(z) \,d z =\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \,\mathrm{d}_z^k \,p(z)\cdot f_{k+1}(z) \;,

где fk(z)f_{k}(z) – функции, определяемые соотношениями

f0(z)=f(z) ,fk+1(z)=fk(z) dz ,f_{0}(z) =f(z) \;,\qquad f_{k+1}(z) =\int f_{k}(z) \,d z \;,

или иначе

dzk fk(z)=f(z) .\mathrm{d}_z^k \,f_{k}(z) =f(z) \;.

>>>>

Выражение интегралов через гипергеометрические функции

a)zλ1(1βzϰ)α dz=λ1 zλ2F1(α, λ/ϰ; λ/ϰ+1; βzϰ){a) } \int z^{\lambda -1}\cdot \bigl(1 -\beta z^{\varkappa}\bigr)^{\alpha} \,d z =\lambda^{-1} \,z^{\lambda}\cdot {}_2 F_1\bigl(-\alpha,\, \lambda/\varkappa;\, \lambda/\varkappa +1;\, \beta z^{\varkappa}\bigr)

(λ0 , ϰ0 , λ/ϰ0,1,2,...) ;(\lambda\ne 0 \;,\; \varkappa\ne 0 \;,\; \lambda/\varkappa \ne 0,-1,-2,...) \;;

b)zλ1exp(βzϰ) dz=λ1 zλ1F1(λ/ϰ, λ/ϰ+1, βzϰ){b) } \int z^{\lambda -1}\cdot \exp\bigl(\beta z^{\varkappa}\bigr) \,d z =\lambda^{-1} \,z^{\lambda}\cdot {}_1 F_1\bigl(\lambda/\varkappa,\, \lambda/\varkappa+1,\, \beta z^{\varkappa}\bigr)

(λ0 , ϰ0 , λ/ϰ0,1,2,...) ;(\lambda\ne 0 \;,\; \varkappa\ne 0 \;,\; \lambda/\varkappa \ne 0,-1,-2,...) \;;

g)zμ1exp(βzϰ) dz{g) } \int z^{\mu -1}\cdot \exp\bigl(\beta z^{\varkappa}\bigr) \,d z

=ϰ1β1zμϰexp(βzϰ)2F0(μ/ϰ+1, 1, β1zϰ)\qquad =\varkappa^{-1}\beta^{-1}\cdot z^{\mu -\varkappa}\cdot \exp\bigl(\beta z^{\varkappa}\bigr)\cdot {}_2 F_0\bigl(-\mu/\varkappa +1,\, 1,\, \beta^{-1} z^{-\varkappa}\bigr)

(ϰ0) ;(\varkappa\ne 0) \;;

h)exp(α0+α1 z+α2 z2) dz{h) } \int \exp\bigl(\alpha_0 +\alpha_1 \,z +\alpha_2 \,z^2\bigr) \,d z

=exp(α0α12/(4 α2))(z+ζ)1F1(1/2, 3/2, α2 (z+ζ)2) ,\qquad =\exp\bigl(\alpha_0 -\alpha_1^2 /(4 \,\alpha_2)\bigr)\cdot (z +\zeta)\cdot {}_1 F_1\bigl(1/2,\, 3/2,\, \alpha_2 \,(z +\zeta)^2\bigr) \;,

(α20 , ζα1/(2 α2));(\alpha_2 \ne 0 \;,\; \zeta \equiv \alpha_1 /(2 \,\alpha_2));

i)(α0+α1 z+α2 z2)λ dz{i) } \int \bigl(\alpha_0 +\alpha_1 \,z +\alpha_2 \,z^2 \bigr)^{\lambda} \,d z

=12 α2 (α0α124 α2)λ(α1+2 α2 z)2F1(λ, 12, 32, (α1+2 α2 z)2α124 α0 α2)\quad =\frac{1}{2 \,\alpha_2}\,\Bigl(\alpha_0 -\frac{\alpha_1^2}{4 \,\alpha_2} \Bigr)^{\lambda} \cdot (\alpha_1 +2 \,\alpha_2 \,z)\cdot {}_2 F_1\Bigl(-\lambda,\, \frac{1}{2},\, \frac{3}{2},\, \frac{(\alpha_1 +2 \,\alpha_2 \,z)^2}{\alpha_1^2 -4 \,\alpha_0 \,\alpha_2}\Bigr)

(α20);(\alpha_2 \ne 0);

xj)(α+βz)λ1 (τ+σzτα σ/β)μ dzx{j) } \int (\alpha +\beta z)^{\lambda -1} \,\Bigl(\frac{\tau +\sigma z}{\tau -\alpha \,\sigma/\beta}\Bigr)^{\mu} \,d z

=β1 λ1 (α+βz)λ2F1(μ,λ;λ+1;α+βzαβ τ/σ)\qquad =\beta^{-1} \,\lambda^{-1} \,(\alpha +\beta z)^{\lambda} \cdot {}_2 F_1 \Bigl(-\mu, \lambda; \lambda +1; \frac{\alpha +\beta z}{\alpha -\beta \,\tau/\sigma}\Bigr)

(λ0 , β σ0).(\lambda\ne 0 \;,\; \beta \,\sigma \ne 0).

k)(α+βz)λ1 (τ+σz)μ dz{k) } \int (\alpha +\beta z)^{\lambda -1} \,(\tau +\sigma z)^{\mu} \,d z

=β1 λ1 (α+βz)λ (τ+σz)μ2F1(μ,1;λ+1;α/β+zτ/σ+z)\qquad =\beta^{-1} \,\lambda^{-1} \,(\alpha +\beta z)^{\lambda} \,(\tau +\sigma z)^{\mu} \cdot {}_2 F_1 \Bigl(-\mu, 1; \lambda +1; \frac{\alpha/\beta +z}{\tau/\sigma +z}\Bigr)

(λ0 , β σ0).(\lambda\ne 0 \;,\; \beta \,\sigma \ne 0).

Случаи вырождения

(ϰ0\varkappa\ne 0).

a)z1(1β zϰ)α dz=lnzβα ϰ1zϰ3F2(1α,1,1;2,2;β zϰ) ;{a) } \int z^{-1}\cdot \bigl(1 -\beta \,z^{\varkappa}\bigr)^{\alpha} \,d z = \ln z -\beta \alpha \,\varkappa^{-1}\cdot z^{\varkappa}\cdot {}_3 F_2\bigl(1-\alpha, 1,1; 2,2; \beta \,z^{\varkappa}\bigr) \;;

b)z1exp(β zϰ) dz=lnz+β ϰ1zϰ2F2(1, 1; 2, 2; β zϰ) .{b) } \int z^{-1}\cdot \exp\bigl(\beta \,z^{\varkappa}\bigr) \,d z = \ln z +\beta \,\varkappa^{-1}\cdot z^{\varkappa}\cdot {}_2 F_2\bigl(1,\, 1;\, 2,\, 2;\, \beta \,z^{\varkappa}\bigr) \;.

Значения некоторых определенных интегралов

a)0xtλ1(1t/x)μ1(1β t)α dt{a) } \int_0^x t^{\lambda -1}\cdot(1 -t/x)^{\mu -1}\cdot (1 -\beta \,t)^{\alpha} \,d t

=xλΓ(λ)Γ(μ)Γ(λ+μ)2F1(α, λ; λ+μ; β x)\qquad =x^{\lambda}\cdot \frac{ \Gamma(\lambda)\cdot \Gamma(\mu) }{ \Gamma(\lambda +\mu) }\cdot {}_2 F_1 (-\alpha,\, \lambda;\, \lambda +\mu;\, \beta \,x)

(x>0, Re λ>0, Re μ>0, arg(1β)<π) ;(x>0,\; \mathrm{Re}\, \lambda >0,\; \mathrm{Re}\, \mu >0,\; \arg(1 -\beta) < \pi) \;;

b)0xtλ1(1t/x)μ1eβt dt{b) } \int_0^x t^{\lambda -1}\cdot(1-t/x)^{\mu -1}\cdot e^{\beta t} \,d t

=xλΓ(λ)Γ(μ)Γ(λ+μ)1F1(λ, λ+μ, β x)\qquad =x^{\lambda}\cdot \frac{ \Gamma(\lambda)\cdot \Gamma(\mu) }{ \Gamma(\lambda +\mu) }\cdot {}_1 F_1(\lambda,\, \lambda +\mu,\, \beta \,x)

(x>0, Re λ>0, Re μ>0) ;(x>0,\; \mathrm{Re}\, \lambda >0,\; \mathrm{Re}\, \mu >0) \;;

c)0tλ1(1+β ts)α dt{c) } \int_0^{\infty} t^{\lambda -1}\cdot \bigl(1 +\beta \,t^s\bigr)^{\alpha} \,d t

=s1βλ/sΓ(λ/s)Γ(λ/sα)Γ(α)\qquad =|s|^{-1}\cdot \beta^{-\lambda/s}\cdot \frac{ \Gamma(\lambda/s)\cdot \Gamma(-\lambda/s -\alpha) }{ \Gamma(-\alpha) }

(s0 , argβ<π , Re (λ/s)>0 , Re (λ/sα)>0 ,(s\ne 0 \;,\; |\arg \beta|< \pi \;,\; \mathrm{Re}\,(\lambda/s) >0 \;,\; \mathrm{Re}\,(-\lambda/s -\alpha) >0 \;,

λ/sα1,2,...) ;-\lambda/s -\alpha \ne 1,2,...) \;;

d)0tλ1(1+β1 t)μ1(1+β2 t)μ2 dt{d) } \int_0^{\infty} t^{\lambda -1}\cdot (1 +\beta_1 \,t)^{-\mu_1}\cdot (1 +\beta_2 \,t)^{-\mu_2} \,d t

=β1λΓ(λ)Γ(μ1+μ2λ)Γ(μ1+μ2)2F1(λ, μ2; μ1+μ2, 1β2/β1)\qquad =\beta_1^{-\lambda}\cdot \frac{ \Gamma(\lambda)\cdot \Gamma(\mu_1 {+}\mu_2 {-}\lambda) } { \Gamma(\mu_1 {+}\mu_2) } \cdot {}_2 F_1(\lambda,\, \mu_2;\, \mu_1 +\mu_2,\, 1 -\beta_2 /\beta_1)

(0<Re λ<Re (μ1+μ2) , arg(β2/β1)<π) ;(0< \mathrm{Re}\, \lambda < \mathrm{Re}\, (\mu_1 +\mu_2) \;,\; |\arg(\beta_2 /\beta_1)| < \pi) \;;

e)0tλ1exp(β ts) dt=s1βλ/sΓ(λ/s){e) } \int_0^{\infty} t^{\lambda -1}\cdot \exp\bigl(-\beta \,t^s\bigr) \,d t =|s|^{-1}\cdot \beta^{-\lambda/s}\cdot \Gamma(\lambda/s)

(s0 , Re β>0 , Re (λ/s)>0) ;(s\ne 0 \;,\; \mathrm{Re}\, \beta >0 \;,\; \mathrm{Re}\,(\lambda/s) >0) \;;

f)+eα tβ t2/2 dt=2π/βeα2/(2β)(Re β>0) ;{f) } \int_{-\infty}^{+\infty} e^{\alpha \,t -\beta \,t^2 /2} \,d t =\sqrt{2\pi/\beta}\cdot e^{\alpha^2 /(2 \beta)} \qquad (\mathrm{Re}\, \beta >0) \;;

g)0tλ1(1+βt)αez t dt=Γ(λ)zλ2F0(α, λ, β/z){g) } \int_0^{\infty} t^{\lambda -1}\cdot(1 +\beta t)^{\alpha}\cdot e^{-z \,t} \,d t =\Gamma(\lambda)\cdot z^{-\lambda}\cdot {}_2 F_0\bigl(-\alpha,\, \lambda,\, -\beta/z\bigr)

(Re λ>0 , Re z>0 , Re β>0) ;(\mathrm{Re}\, \lambda >0 \;,\; \mathrm{Re}\, z >0 \;,\; \mathrm{Re}\, \beta >0) \;;

h)11(1t2)λ1ez t dt=2 01(1t2)λ1ez t dt{h) } \int_{-1}^{1} (1 -t^2)^{\lambda -1}\cdot e^{z \,t} \,d t =2 \,\int_0^1 (1 -t^2)^{\lambda -1}\cdot e^{z \,t} \,d t

=π Γ(λ)Γ(λ+1/2)0F1(λ+1/2, z2/4)\qquad =\frac{ \sqrt{\pi} \;\Gamma(\lambda) }{ \Gamma(\lambda +1/2) }\cdot {}_0 F_1(\lambda +1/2,\, z^2 /4)

(Re λ>0) ;(\mathrm{Re}\, \lambda >0) \;;

i)0tλ1e(α/β) tαβ/t dt=2 βλKλ(2 α) ;{i) } \int_0^{\infty} t^{\lambda -1}\cdot e^{-(\alpha/\beta) \,t -\alpha \beta /t} \,d t =2 \,\beta^{\lambda}\cdot K_{\lambda}(2 \,\alpha) \;;

j)0λ tλ1eαtβ/t dt{j) } \int_0^{\infty} \lambda \,t^{\lambda -1}\cdot e^{-\alpha t -\beta/t} \,d t

=Γ(λ1)αλ0F1(1λ, αβ)Γ(λ1)βλ0F1(1+λ, αβ) .\qquad =\Gamma(\lambda -1)\cdot \alpha^{-\lambda}\cdot {}_0 F_1 (1 -\lambda,\, \alpha \beta) -\Gamma(-\lambda -1)\cdot \beta^{\lambda}\cdot {}_0 F_1 (1 +\lambda,\, \alpha \beta) \;.

<<<<
Формула d) может быть получена из формулы a), если в последней положить x=1x =1, β=1β2/β1\beta =1 -\beta_2 /\beta_1, α=μ2\alpha =-\mu_2, μ=μ1+μ2λ\mu =\mu_1 +\mu_2 -\lambda,
и выполнить замену переменной интегрирования по формуле t=β1 y/(1+β1 y)t =\beta_1 \,y /(1 +\beta_1 \,y).

При выводе формулы h) можно выпонить замену переменной по формуле y=(1t)/2y =(1-t)/2 и использовть формулу b).

>>>>

Возникли трудности с работой по этой теме? У нас вы можете заказать научную статью по математике по низкой цене!

Комментарии

Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Прямой эфир