Асимптомические разложения пси-функции

Содержание

  1. 1. Асимптотическое разложение функции Ψ(z)\Psi(z)Ψ(z)
  2. 2. Модификация формулы асимптотического разложения функции Ψ(z)\Psi(z)Ψ(z)
  3. 3. Обобщения формулы асимптотического разложения функции Ψ(z)\Psi(z)Ψ(z)
  4. 4. Приложение A. Вывод формул и доказательства теорем
    1. 4.1. A.1. Асимптотическое разложение функции Ψ(z)\Psi(z)Ψ(z)

Настоящая статья является продолжением статьи «Асимптомические разложения гамма-функции». В ней представлены формулы асимптотических разложений при zz\to \infty функции Ψ(z)=ψ(z+1)=(d/dz) Ln Γ(z+1)\Psi(z) =\psi(z+1) =(d /d z) \,\mathrm{Ln}\,\Gamma(z +1)

В формулах используются числа Бернулли B2kB_{2 k} и полиномы Бернулли Bk(α)B_k (\alpha).

Асимптотическое разложение функции Ψ(z)\Psi(z)

a) Используются различные формы записи формулы асимптотического разложения функции Ψ(z)\Psi(z):

Ψ(z)lnz1/(2z)1/(12z2)+1/(120z4)\Psi(z) -\ln z \sim 1/(2 z) -1/(12\cdot z^2) +1/(120\cdot z^4)

1/(252z6)+1/(240z8)1/(132z10)+691/(32760z12)+...-1/(252\cdot z^6) +1/(240\cdot z^8) -1/(132\cdot z^{10}) +691/(32760\cdot z^{12}) + ...

(z,argz<π) ,(z\to \infty, \quad |\arg z|< \pi) \;,

Ψ(z)lnz1/(2z)+k=1(1)k(2k)1B2kz2k\Psi(z) -\ln z \sim 1/(2 z) +\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k \cdot (2 k)^{-1}\cdot |B_{2 k}|\cdot z^{-2 k}

(z,argz<π) ,(z\to \infty, \quad |\arg z|< \pi) \;,

Ψ(z)lnz=1/(2z)+k=1m1(1)k(2k)1B2kz2k\Psi(z) -\ln z =1/(2 z) +\sum_{k=1}^{m-1} (-1)^k \cdot (2 k)^{-1}\cdot |B_{2 k}|\cdot z^{-2 k}

+(1)m(2m)1B2mz2mϱm(z) ,+(-1)^m \cdot (2 m)^{-1}\cdot |B_{2 m}|\cdot z^{-2 m}\cdot \varrho'_m (z) \;,

Здесь ϱm(z)\varrho'_m(z) – некоторая функция, ограниченная при argz<π|\arg z|< \pi; данная Функция представляет собой отношение mm-го остатка асимптотического разложения функции Ψ(z)\Psi(z) к mm-му слагаемому этого разложения.

b) Оценка остатка асимптотического разложения
при Re zIm z\mathrm{Re}\, z \ge |\mathrm{Im}\, z| имеет место ϱm(z)1|\varrho'_m(z)| \le 1.

Последнее условие, в частности, выполняется, если zz действительно и положительно; при этом ϱm(z)0\varrho'_m(z)\ge 0. В данном случае mm-й остаток асимптотического разложения функции Ψ(z)lnz\Psi(z) -\ln z по абсолютной величине меньше mm-го слагаемого этого разложения и имеет тот же знак.

<<<<

Вывод данной формулы асимптотического разложения и оценку остатка разложения см. в приложении A.1.

>>>>

Модификация формулы асимптотического разложения функции Ψ(z)\Psi(z)

Для любых значений argz|\arg z|

Ψ(z)lnzT(z)1/(2 z)+k=1(1)k(2 k)1B2kz2 k\Psi(z) -\ln z -T'(z) \sim 1/(2 \,z) +\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k \cdot (2 \,k)^{-1}\cdot |B_{2 k}|\cdot z^{-2 \,k}

(zz\to \infty),
где

T(z)={0 приRe z>0 ,π/tan(π z)i ν π приRe z<0 ,T'(z) = \begin{cases} 0 & \ {при } \mathrm{Re}\, z>0 \;,\\ -\pi /\tan(\pi \,z) -i \,\nu \,\pi & \ {при }\mathrm{Re}\, z<0 \;, \end{cases}

где ν\nu – параметр, определяемый условием

ln(z)=lnzi ν π\ln(-z) =\ln z -i \,\nu \,\pi;
при Im z0\mathrm{Im}\, z\ne 0 \ ν=sign (Im z)\nu =\mathrm{sign}\,(\mathrm{Im}\, z).

Обобщения формулы асимптотического разложения функции Ψ(z)\Psi(z)

a)Ψ(zα)lnzk=1k1Bk(α)zk ;\ {a) } \Psi(z -\alpha) -\ln z \sim -\sum_{k=1}^{\infty} k^{-1}\cdot B_k (\alpha)\cdot z^{-k} \;;

\mbox{b) } \Psi(z +\alpha -1) -\ln z \sim -\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k \cdot k^{-1}\cdot B_k (\alpha)\cdot z^{-k}

(z , argz<πz\to \infty \;,\; |\arg z|< \pi).

Приложение A. Вывод формул и доказательства теорем

A.1. Асимптотическое разложение функции Ψ(z)\Psi(z)

Здесь будут выведены формулы из п. 1.

Мы используем вспомогательные соотношения:

0t2m1et1 dt=(2π)2 m B2m4 m ,\int_0^{\infty} \frac{ t^{2 m -1} }{e^t -1} \,d t =\frac{ (2\pi)^{2 \,m} \,|B_{2 m}| }{4 \,m} \;,

откуда следует

(A)0t2m1e2π t1 dt=B2m4 m , \ {(A) } \int_0^{\infty} \frac{ t^{2 m -1} }{e^{2\pi \,t} -1} \,d t =\frac{ |B_{2 m}| }{4 \,m} \;,

а также

(1+ξ)1=k=0m1(1)k ξk+(ξ)m1+ξ ,(1 +\xi)^{-1} =\sum_{k=0}^{m-1} (-1)^k \,\xi^k +\frac{(-\xi)^m}{1 +\xi} \;,

откуда следует

(B)(z2+t2)1=k=0m1(1)k t2k z2k2+(1)m t2m z2mz2+t2 .\ {(B) } (z^2 +t^2)^{-1} =\sum_{k=0}^{m-1} (-1)^k \,t^{2 k} \,z^{-2 k -2} +\frac{ (-1)^m \,t^{2 m} \,z^{-2 m} }{z^2 +t^2} \;.

Для решения нашей исходной задачи мы используем формулу

Ψ(z)lnz1/(2 z)=2 0t(z2+t2)1 (e2π t1)1 dt\Psi(z) -\ln z -1/(2 \,z) =-2 \,\int_0^{\infty} t\cdot (z^2 +t^2)^{-1} \,(e^{2\pi \,t} -1)^{-1} \,d t

(argz<2π/4)(|\arg z|< 2\pi/4).
Учитывая вспомогаельные соотношения (A) и (B), получаем

Ψ(z)lnz1/(2 z)=k=1m1(1)k(2k)1B2kz2k\Psi(z) -\ln z -1/(2 \,z) =\sum_{k=1}^{m-1} (-1)^k \cdot (2 k)^{-1}\cdot |B_{2 k}|\cdot z^{-2 k}

+(1)m(2 m)1B2mz2mϱm(z) ,+(-1)^m \cdot (2 \,m)^{-1}\cdot |B_{2 m}|\cdot z^{-2 m}\cdot \varrho'_m (z) \;,

где

ϱm(z)=4mB2m 0t2m1e2π t1z2z2+t2 dt .\varrho'_m (z) =\frac{4m}{ |B_{2 m}| } \,\int_0^{\infty} \frac{ t^{2 m -1} }{ e^{2\pi \,t} -1 } \cdot \frac{z^2}{z^2 +t^2} \,d t \;.

Если

z2z2+t2A ,\left|\frac{z^2}{z^2 +t^2}\right| \le A \;,

то ϱm(z)A|\varrho'_m (z)|\le A.

Таким образом, ϱm(z)|\varrho'_m (z)| не превышает верхней границы функции φ(t)=z2/(z2+t2)\varphi(t) =\bigl|z^2 /(z^2 +t^2)\bigr|.
Пусть x=Re zx=\mathrm{Re}\, z и y=Im zy=\mathrm{Im}\, z.
Тогда

a) при xy|x|\le |y| имеет место ϱm(z)φ(t)(x2+y2)/2 x y|\varrho'_m(z)| \le \varphi(t) \le (x^2 +y^2)/|2 \,x \,y|;

b) при xy|x|\ge |y| имеет место ϱm(z)φ(t)1|\varrho'_m(z)| \le \varphi(t) \le 1.

Здесь мы обосновали формулу асимптотического разложения и дали оценку остатка разложения для слишком ограниченной области значений zz:
argz<2π/4h|\arg z|< 2\pi/4 -h, h>0h>0.

Обобщение данного результата на более широкую область – argz<πh|\arg z|< \pi -h, h>0h>0, можно найти в книге: Э.Т. Уиттекер, Дж.Н. Ватсон. Курс современного анализа. Часть вторая. Трансцендентные функции. – Государственное издательство физико-математической литературы; Москва, 1963; 500 с.

Нужна работа по низкой цене? У нас вы можете заказать статью по математике недорого!

Комментарии

Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Прямой эфир