Интегральные представления гамма-функции и связанных с ней функций

Содержание

  1. 1. Интегральные представления для Π(z)
  2. 2. Интегральные представления для Ψ(z)
  3. 3. Интегральные представления для LnΠ(z)
  4. 4. Интегральные представления бета-функции
  5. 5. Обобщения
  6. 6. Приложение. Вывод формул и доказательства теорем
    1. 6.1. Интегральное представление для Π(z)
    2. 6.2. Интегральные представления для Ψ(z)
    3. 6.3. Интегральные представления для LnΠ(z)
    4. 6.4. Интегральные представления бета-функции
  7. 7. Литература

В настоящей статье представлены формулы, дающие интегральные представления функций Π(z)=Γ(z+1)\mathbf{\Pi}(z) =\Gamma(z +1), Ln Π(z)=Ln Γ(z+1)\mathrm{Ln}\,\mathbf{\Pi}(z) =\mathrm{Ln}\,\Gamma(z +1), Ψ(z)=ψ(z+1)=(d/dz) Ln Γ(z+1)\Psi(z) =\psi(z+1) =(d/d z) \,\mathrm{Ln}\,\Gamma(z +1), а также бета-функции, которая представляется в виде произведения и отношения гамма-функций.

В формулах используется постоянная Эйлера-Маскерони cEc_{\scriptscriptstyle E}.

Интегральные представления для Π(z)

a)Π(z)=0tzet dt(Re z>1);a) \mathbf{\Pi}(z) = \int_0^{\infty} t^z \cdot e^{-t} \,dt (\mathrm{Re}\, z>-1);

b)Π(z)=0tz(etk=0m(1)k/k!) dt(m2<Re z<m1).b) \mathbf{\Pi}(z) = \int_0^{\infty} t^z \left(e^{-t} -\sum_{k=0}^{m} (-1)^k/k!\right) \,dt (-m-2 < \mathrm{Re}\, z < -m-1).

<<<<

Вывод формулы a) см. в приложении A.1.

>>>>

Интегральные представления для Ψ(z)

a)

cE+Ψ(z)=01ez tet1 dt=011tz1t dtc_{\scriptscriptstyle E} +\Psi(z) =\int_0^{\infty} \frac{ 1 -e^{-z \,t} }{ e^t -1 } \,d t =\int_0^1 \frac{1-t^z}{1-t} \,d t

(Re z>1)(\mathrm{Re}\, z>-1);

b) Интегральная формула Гаусса:

Ψ(z)=lnξ+η/z\Psi(z) =\ln \xi +\eta /z

+0(t1 eξ tet z(et1)1η et z) dt+\int_0^{\infty} \Bigl(t^{-1} \,e^{-\xi \,t} -e^{-t \,z}\cdot (e^t -1)^{-1} -\eta \,e^{-t \,z}\Bigr) \,d t

(Re ξ>0\mathrm{Re}\, \xi >0; Re z>0\mathrm{Re}\, z>0).

Другая форма записи интегральной формулы Гаусса:

Ψ(z)=lnξ+η/z\Psi(z) =\ln \xi +\eta /z

+0(t1 eξ tetz(1et)1+(1η)et z) dt .+\int_0^{\infty} \Bigl(t^{-1} \,e^{-\xi \,t} -e^{-t z}\cdot \bigl(1 -e^{-t}\bigr)^{-1} +(1 -\eta)\cdot e^{-t \,z}\Bigr) \,d t \;.

c) Интегральная формула Бине:

Ψ(z)lnz1/(2 z)=2 0t(z2+t2)1 (e2πt1)1 dt\Psi(z) -\ln z -1/(2 \,z) =-2 \,\int_0^{\infty} t\cdot (z^2 +t^2)^{-1} \,(e^{2\pi t} -1)^{-1} \,d t

(argz<2π/4)(|\arg z|< 2\pi/4).

d) Частные случаи формулы b):

Ψ(z)=0et (t1ez t(1et)1) dt(Re z>1) ,\Psi(z) =\int_0^{\infty} e^{-t} \,\Bigl(t^{-1} -e^{-z \,t}\bigl(1-e^{-t}\bigr)^{-1}\Bigr) \,d t \qquad (\mathrm{Re}\, z>-1) \;,

Ψ(z)=lnz+η/z+0(t1(et1)1η)et z dt\Psi(z) =\ln z +\eta/z +\int_0^{\infty} \Bigl(t^{-1} -(e^t -1)^{-1} -\eta\Bigr)\cdot e^{-t \,z} \,d t

=lnz+η/z+0(t1(1et)1+1η)et z dt=\ln z +\eta /z +\int_0^{\infty} \Bigl(t^{-1} -\bigl(1 -e^{-t})^{-1} +1-\eta\Bigr)\cdot e^{-t \,z} \,d t

(Re z>0).(\mathrm{Re}\, z>0).

<<<<

Вывод формул настоящего пункта см. в приложении A.2.

>>>>

Интегральные представления для LnΠ(z)

a)Ln Π(z)=zlnξ+0t1 et(ze(1ξ) t1ez t1et) dta) \mathrm{Ln}\,\mathbf{\Pi}(z) =z\cdot \ln \xi +\int_0^{\infty} t^{-1} \,e^{-t}\cdot \left(z\cdot e^{(1-\xi) \,t} -\frac{ 1 -e^{-z \,t} }{ 1 -e^{-t} }\right) \,d t

(Re ξ>0 , Re z>1) ;(\mathrm{Re}\, \xi >0 \;,\; \mathrm{Re}\, z>-1) \;;

b)Ln Π(z)=(z+1/2)lnξξ+ln2πb) \mathrm{Ln}\,\mathbf{\Pi}(z) =(z+1/2)\cdot \ln \xi -\xi +\ln\sqrt{2\pi}

+0(ez t (et1)1+eξ t(t1+1/2ξ+z))t1 dt+\int_0^{\infty} \Bigl(e^{-z \,t} \,(e^t -1)^{-1} +e^{-\xi \,t}\cdot (-t^{-1} +1/2 -\xi +z)\Bigr)\cdot t^{-1} \,d t

(Re ξ>0 , Re z>0) ;(\mathrm{Re}\, \xi >0 \;,\; \mathrm{Re}\, z>0) \;;

c)Ln Π(z)=(z+1/2)lnzz+ln2π+2 0arctan(t/z)e2π t1 dtc) \mathrm{Ln}\,\mathbf{\Pi}(z) =(z+1/2)\cdot \ln z -z +\ln \sqrt{2\pi} +2 \,\int_0^{\infty} \frac{\arctan(t/z)}{ e^{2\pi \,t} -1 } \,d t

(Re z>0) .(\mathrm{Re}\, z>0) \;.

<<<<

Вывод формул настоящего пункта см. в приложении A.3.

>>>>

Интегральные представления бета-функции

Γ(α) Γ(β)Γ(α+β)=01tα1 (1t)β1 dt(Re α>0; Re β>0);\frac{\Gamma(\alpha) \,\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha +\beta)} =\int_0^1 t^{\alpha -1} \,(1-t)^{\beta -1} \,dt \qquad (\mathrm{Re}\, \alpha >0;\; \mathrm{Re}\, \beta >0);

Γ(α) Γ(β)Γ(α+β)=0tα1 (1+t)αβ dt(Re α>0; Re β>0);\frac{\Gamma(\alpha) \,\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha +\beta)} =\int_0^{\infty} t^{\alpha -1} \,(1+t)^{-\alpha -\beta} \,dt \qquad (\mathrm{Re}\, \alpha >0;\; \mathrm{Re}\, \beta >0);

Γ(α) Γ(β)Γ(α+β)=2 02π/4(cosz)2α1 (sinz)2β1 dt(Re α>0; Re β>0).\frac{\Gamma(\alpha) \,\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha +\beta)} =2 \,\int_0^{2\pi/4} (\cos z)^{2\alpha -1} \,(\sin z)^{2\beta -1} \,dt \qquad (\mathrm{Re}\, \alpha >0;\; \mathrm{Re}\, \beta >0).

<<<<

Вывод первых двух формул настоящего пункта см. в приложении A.4.

>>>>

Обобщения

Формулы, дающие интегральные представления рассматриваемых функций, могут быть обобщены с помощью соотношения

0f(x) dx=0f(σx) dx\int_0^{\infty} f(x) \,dx = \int_0^{\infty} f(\sigma x) \,dx

(σ=1|\sigma|=1; argσ<φ0|\arg \sigma|<\varphi_0) справедливой для функции f(z)f(z), аналитичной в открытой области argz<φ0)|\arg z|<\varphi_0) и удовлетворяющей условию zf(z)0z\cdot f(z) \to 0 при zz \to \infty.

Приложение. Вывод формул и доказательства теорем

Интегральное представление для Π(z)

Здесь будет выведена формула из п. 1.

Формула п. 1-a) может быть доказана следующим образом.
При Re z>1\mathrm{Re}\, z >-1, с помощью интегрирования по частям можно получить

0N(1t/N)Ntz dt=N!Nzj=1N(z+j)1 .\int_0^N (1-t/N)^N \cdot t^z \,d t =N!\cdot N^z \cdot \prod_{j=1}^N (z+j)^{-1} \;.

Следовательно,

0tzet dt=limN0N(1t/N)Ntz dt\int_0^{\infty} t^z \cdot e^{-t} \,d t =\lim_{N\to \infty} \int_0^N (1-t/N)^N \cdot t^z \,d t

=limNN!Nzj=1N(z+j)1=Π(z) ,=\lim_{N\to \infty} N! \cdot N^z \cdot \prod_{j=1}^N (z+j)^{-1} =\mathbf{\Pi}(z) \;,

откуда следует необходимый результат.

Интегральные представления для Ψ(z)

Здесь будут выведены формулы п. 2.

При Re z>1\mathrm{Re}\, z >-1,

011tz1t dt=k=001tk (1tz) dt=k=0z(k+1)(z+k+1) ,\int_0^1 \frac{ 1-t^z }{1-t} \,d t = \sum_{k=0}^{\infty} \int_0^1 t^k \,(1 -t^z) \,d t = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{z}{ (k+1)(z+k+1) } \;,

откуда следует формула a).

При выводе b) мы используем вспомогательные соотношения

γ/z=0γ et z dt(Re z>0);\gamma/z =\int_0^{\infty} \gamma \,e^{-t \,z} \,d t \qquad (\mathrm{Re}\, z>0);

ln(ξ/η)=0(eη teξ t)t1 dt(Re ξ>0 , Re η>0).\ln(\xi/\eta) =\int_0^{\infty} \bigl(e^{-\eta \,t} -e^{-\xi \,t}\bigr)\cdot t^{-1} \,d t \qquad (\mathrm{Re}\, \xi >0 \;,\; \mathrm{Re}\, \eta >0).

В качестве исходной используем формулу

Ψ(z1)=limm(lnmk=0m1z+k) .\Psi(z-1) =\lim_{m\to \infty} \left(\ln m -\sum_{k=0}^{m} \frac{1}{z+k}\right) \;.

Подставляя в ее правую часть

lnm=lnξ+0(eξ tem t)t1 dt и1z+k=0et (z+k) dt\ln m =\ln \xi +\int_0^{\infty} \bigl(e^{-\xi \,t} - e^{-m \,t}\bigr)\cdot t^{-1} \,d t \quad \ {и} \quad \frac{1}{z+k} = \int_0^{\infty} e^{-t \,(z+k)} \,d t

(Re ξ>0\mathrm{Re}\, \xi >0; \ Re z>0\mathrm{Re}\, z >0; \ k=0,1,...k=0,1,...), получим

Ψ(z1)=lnξ+limm0((eξ tem t)t1et zem t1et1) dt\Psi(z-1) =\ln \xi + \lim_{m \to \infty} \int_0^{\infty} \left(\bigl(e^{-\xi \,t} - e^{-m \,t}\bigr)\cdot t^{-1} -e^{-t \,z}\cdot \frac{ e^{-m \,t} -1 }{ e^{-t} -1 }\right) \,d t

=lnξ+0(t1 eξ tet z (1et)1) dt=\ln \xi +\int_0^{\infty} \left(t^{-1} \,e^{-\xi \,t} -e^{-t \,z} \,\bigl(1 -e^{-t}\bigr)^{-1}\right) \,d t

+limm0em t (t1+et z (1et)1) dt .+\lim_{m \to \infty} \int_0^{\infty} e^{-m \,t} \,\left(-t^{-1} +e^{-t \,z} \,\bigl(1 -e^{-t}\bigr)^{-1}\right) \,d t \;.

Второй интеграл в правой части последнего равенства стремится к нулю при
mm \to \infty.

В результате получаем частный случай формулы b) при η=1\eta =1.

При выводе c) мы используем формулу

ddz Ψ(z1)=k=01(z+k)2 .\frac{d}{d z} \,\Psi(z-1) =\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(z+k)^2} \;.

Применим здесь формулу суммирования Плана

k=0f(k)=12 f(0)+0f(t) dt+i 0f(i t)f(i t)e2π t1 dt .\sum_{k=0}^{\infty} f(k) =\frac{1}{2} \,f(0) +\int_0^{\infty} f(t) \,d t +i \,\int_0^{\infty} \frac{f(i \,t) -f(-i \,t)}{ e^{2\pi \,t} -1 } \,d t \;.

Эта формула справедлива, если

A) функция f(z)f(z) регулярна при Re z0\mathrm{Re}\, z \ge 0;

B) равенство

limye2π yf(x+i y)=0\lim_{y\to \infty} e^{-2\pi \,|y|}\cdot f(x +i\,y) =0

выполняется равномерно при 0x<+0\le x <+\infty;

C) имеет место

limx+e2π yf(x+i y) dy=0 .\lim_{x\to \infty} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-2\pi \,|y|}\cdot |f(x +i \,y)| \,d y =0 \;.

Полагая в данной формуле суммирования f(ξ)=(z+ξ)2f(\xi) =(z +\xi)^{-2}, Re z>0\mathrm{Re}\, z >0, получаем

k=01(z+k)2=ddz Ψ(z1)=12 z2+1z+04 t z(z2+t2)2 (e2π t1)1 dt .\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(z+k)^2} =\frac{d}{d z} \,\Psi(z-1) =\frac{1}{2 \,z^2} +\frac{1}{z} +\int_0^{\infty} 4 \,t \,z\cdot (z^2 +t^2)^{-2} \,(e^{2\pi \,t} -1)^{-1} \,d t \;.

Интегрируя по zz, получаем

Ψ(z1)=A+lnz1/(2z)02 t(z2+t2)1 (e2π t1)1 dt ,\Psi(z-1) =A +\ln z -1/(2 z) -\int_0^{\infty} 2 \,t\cdot (z^2 +t^2)^{-1} \,(e^{2\pi \,t} -1)^{-1} \,d t \;,

где A=constA=\mathrm{const}. Параметр AA может быть определен следующим образом.

Пусть переменная zz действительна и положительна. Тогда

02t(z2+t2)1 (e2π t1)1 dt2z2 0te2π t1 dt .\left|\int_0^{\infty} 2 t\cdot (z^2 +t^2)^{-1} \,(e^{2\pi \,t} -1)^{-1} \,d t \right| \le \frac{2}{z^2} \,\int_0^{\infty} \frac{t}{ e^{2\pi \,t} -1 } \,d t \;.

Выражение в правой части стремится к нулю при zz\to \infty. Следовательно,

A=limz(Ψ(z)lnz1/(2z)) .A =\lim_{z\to \infty} \Bigl(\Psi(z) -\ln z -1/(2 z)\Bigr) \;.

Используя интегральное представление функции Ψ(z)\Psi(z), определяемое формулой п. 2-b) при ξ=z\xi =z и η=1/2\eta =1/2, получим

A=limz0ezt (t11/2(et1)1) dt .A =\lim_{z\to \infty} \int_0^{\infty} e^{-z t} \,\Bigl(t^{-1} -1/2 -(e^t -1)^{-1}\Bigr) \,d t \;.

Рассмотрим функцию

F(ξ)=ξ1 (1/2ξ1+(eξ1)1) .F(\xi) =\xi^{-1} \,\Bigl(1/2 -\xi^{-1} +(e^{\xi} -1)^{-1}\Bigr) \;.

При ξ<2π|\xi|<2\pi функция F(ξ)F(\xi) представима в виде степенного ряда

F(ξ)=k=0Bk+2(0)(k+2)!ξkF(\xi) =\sum_{k=0}^{\infty} \frac{ B_{k+2}(0) }{(k+2)!}\cdot \xi^k

и, следовательно, данная функция ограничена в окрестности точки ξ=0\xi =0.
Кроме того, очевидно, F(t)0F(t)\to 0 при t+t\to +\infty.

Отсюда следует, что функция F(t)F(t) ограничена при 0t<0\le t< \infty, т.е. F(t)C|F(t)|\le C.

Поэтому

0ez t (t11/2(et1)1) dt0C t ez t dt=C/z2\left|\int_0^{\infty} e^{-z \,t} \,\Bigl(t^{-1} -1/2 -(e^t -1)^{-1}\Bigr) \,d t\right| \le \int_0^{\infty} C \,t \,e^{-z \,t} \,d t =C/z^2

и, таким образом, A=0A=0.

Интегральные представления для LnΠ(z)

Формулы пункта 3 могут быть получены из соответствующих формул пункта 2 с помощью соотношения

Ln Π(z)=0zΨ(ξ) dξ .\mathrm{Ln}\,\mathbf{\Pi}(z) =\int_0^z \Psi(\xi) \,d\xi \;.

Интегрируя формулу п.~2-b) при η=0\eta=0, получим формулу п. 3-a).

Интегрируя формулу п.~2-b) при η=1/2\eta=1/2 и ξ=z\xi=z, получим

Ln Π(z)=γ+(z+1/2)lnzz\mathrm{Ln}\,\mathbf{\Pi}(z) =\gamma +(z+1/2)\cdot \ln z -z

+0((et1)1t1+1/2)t1 et z dt+\int_0^{\infty} \Bigl(\bigl(e^t -1\bigr)^{-1} - t^{-1} + 1/2\Bigr) \cdot t^{-1} \,e^{-t \,z} \,d t

(Re z>0; γ=const)(\mathrm{Re}\, z>0;\; \gamma =\mathrm{const}). Значение константы γ\gamma можно определить, положив в последнем равенстве z=1z=1:

1γ=0((et1)1t1+1/2)t1 et dt=112ln(2π) .1-\gamma = \int_0^{\infty} \Bigl(\bigl(e^t -1\bigr)^{-1} - t^{-1} + 1/2\Bigr) \cdot t^{-1} \,e^{-t} \,d t =1 -\frac{1}{2} \ln(2\pi) \;.

Метод вычисления данного интеграла можно найти в книге [8].

В результате получаем частный случай формулы п.~3-b):

Ln Π(z)=(z+1/2)lnzz+ln2π\mathrm{Ln}\,\mathbf{\Pi}(z) =(z+1/2)\cdot \ln z -z +\ln\sqrt{2\pi}

+0((et1)1t1+1/2)t1et z dt+\int_0^{\infty} \Bigl(\bigl(e^t -1\bigr)^{-1} - t^{-1} + 1/2\Bigr)\cdot t^{-1} e^{-t \,z} \,d t

(Re z>0)(\mathrm{Re}\, z>0). Для вывода формулы п.~3-b) в общем виде
используем соотношения

ln(z/ξ)=0(eξ tez t)t1 dt\ln(z/\xi) =\int_0^{\infty} \bigl(e^{-\xi \,t} -e^{-z \,t}\bigr)\cdot t^{-1} \,d t

и

zln(z/ξ)z+ξ=0((zξ)eξ t+t1(ez teξ t))t1 dt ;z\cdot \ln(z/\xi) -z+\xi = \int_0^{\infty} \Bigl((z -\xi)\cdot e^{-\xi \,t} + t^{-1}\cdot\bigl(e^{-z \,t} -e^{-\xi \,t}\bigr)\Bigr)\cdot t^{-1} \,d t \;;

второе из данных соотношений получается из первого при интегрировании его по zz в пределах от ξ\xi до zz.

Для вывода формулы п. 3-c) проинтегрируем по zz формулу п. 2-c); получим

Ln Π(z)=γ+(z+1/2)lnzz+2 0arctan(t/z)e2π t1 dt ,\mathrm{Ln}\,\mathbf{\Pi}(z) =\gamma +(z +1/2)\cdot \ln z -z +2 \,\int_0^{\infty} \frac{\arctan(t/z)}{ e^{2\pi \,t} -1 } \,d t \;,

где γ=const\gamma =\mathrm{const}.

Значение данной константы можно определить аналогично тому, как была определена соответствующая константа при выводе формулы п. 2-c).

Интегральные представления бета-функции

Здесь будет выведена формула из п. 4.

Обозначим (при Re α>0\mathrm{Re}\, \alpha >0; Re β>0\mathrm{Re}\, \beta >0)

B(α,β)01tα1 (1t)β1 dt .B(\alpha,\beta)\equiv \int_0^1 t^{\alpha -1} \,(1-t)^{\beta -1} \,d t \;.

С помощью замены переменной интегрирования t=s/(1+s)t =s/(1+s) получим

B(α,β)=0sα1 (1+s)αβ dt .B(\alpha,\beta) =\int_0^{\infty} s^{\alpha -1} \,(1+s)^{-\alpha -\beta} \,d t \;.

Используем формулу интегрального представления функции Π(z)\mathbf{\Pi}(z):

0e(1+s) t tα+β1 dt=(1+s)αβΠ(α+β1) .\int_0^{\infty} e^{-(1+s) \,t} \,t^{\alpha +\beta -1} \,d t =(1+s)^{-\alpha -\beta}\cdot \mathbf{\Pi}(\alpha +\beta -1) \;.

Умножив обе части данного равенства на sα1s^{\alpha -1}, проинтегрировав по ss от 00 до \infty и изменив в левой части равенства порядок интегрирования, получим

00e(1+s) t tα+β1 sα1 ds dt=Π(α+β1)0sα1 (1+s)αβ ds ,\int_0^{\infty} \int_0^{\infty} e^{-(1+s) \,t} \,t^{\alpha +\beta -1} \,s^{\alpha -1} \,d s \,d t =\mathbf{\Pi}(\alpha +\beta -1)\cdot \int_0^{\infty} s^{\alpha -1} \,(1+s)^{-\alpha -\beta} \,d s \;,

откуда

B(α,β)=Π(α1) Π(β1)Π(α+β1) .B(\alpha,\beta) =\frac{\mathbf{\Pi}(\alpha-1) \,\mathbf{\Pi}(\beta-1)}{\mathbf{\Pi}(\alpha +\beta -1)} \;.

Литература

  1. Под ред. М. Абрамовица, И. Стиган. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками, математическими таблицами. – Москва, «Наука», 1979, 830 с. Перевод с английского:
    Edited by M. Abramowitz and I.A. Stegun. Handbook of Mathematical Functions with formulas, graphs and mathematical tables. – National bureau of standards. Applied mathematics series – 55, 1964.

  2. Г.Бейтмен, А.Эрдейи. Высшие трансцендентные функции, т. 1. СБМ.
    Высшие трансцендентные функции, т. 1. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. – Москва, «Наука», 1973; 297с.
    Перевод с английского: H. Bateman, A. Erdelyi. Higher Transcendental Functions, Volume 1. MC Graw-Hill Book Company, Inc., New York - Toronto - London, 1953.

  3. http://www.wolfram.com – Internet-page of the firm WolframResearch.

  4. А.Ф. Никифоров, В.Б. Уваров. Специальные функции математической физики. – Москва, «Наука», 1984, 344 с.

  5. А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. Интегралы и ряды. Элементарные функции. – Москва, «Наука», 1981, 800 с.

  6. А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. Интегралы и ряды. Специальные функции. – Москва, «Наука», 1983, 752 с.

  7. А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. Интегралы и ряды. Дополнительные главы. – Москва, «Наука», 1986, 800 с.

  8. Э.Т.Уиттекер, Дж.Н. Ватсон. Курс современного анализа. Часть вторая. Трансцендентные функции. – Государственное издательство физико-математической литературы; Москва, 1963; 500 с.
    Перевод с английского: E.T. Whittaker, G.N. Watson. A Course of Modern Analysis. Cambridge; At the University Press; 1927.

  9. Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Леш. Специальные функции. – Москва, «Наука», 1968, 344 с.
    Перевод с немецкого: E. Janke, F. Emde, F. Lösch. Tafeln Höherer Funktionen. B.G. Teubner–Verlagsgesellschaft–Stuttgart, 1960, 344 p.

Нужна работа по низкой цене? У нас вы можете заказать статью по математике недорого!

Комментарии

Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Прямой эфир