Гипергеометрический ряд

В настоящем разделе рассматривается функция

$\Phi(z)={}_m F_n(\alpha_1,...,\alpha_m;\, \gamma_1,...,\gamma_n;\, z)$

и связанный с ней гипергеометрический ряд (см. статью «Определения и простейшие свойства гипергеометрических функций»), а также степенной ряд, являющийся рядом разложения произведения двух гипергеометрических функций.

В формулах используется функция Похгамера

$\mathcal{F}_k (z)\equiv \prod_{j=0}^{k-1}(z+j) \;.$

Сходимость гипергеометрического ряда

Допустим, что ни один из параметров функции $\Phi(z)$ не равен нулю или целому отрицательному числу, и рассмотрим гипергеометрический ряд, являющийся рядом разложения функции $\Phi(z)$.

Радиус сходимости данного ряда равен

$c = \begin{cases} \infty & \ {при } m\le n \;,\\ 1 & \ {при } m=n+1 \;,\\ 0 & \ {при } m>n+1 \;. \end{cases}$

Пусть $m=n+1$ и $|z|=1$. Обозначим
$h \equiv \mathrm{Re}\,\left(\sum\limits_{k=1}^{n} \gamma_k -\sum\limits_{k=1}^{n+1} \alpha_k\right)$.
Тогда

a) при $h>0$ ряд абсолютно сходится;

b) при $-1<h\le 0$ и $z\ne 1$ ряд условно сходится;

c) при $h<-1$ ряд расходится.

$<<$

Доказательство данных утверждений см. в приложении A.1.

$>>$

Гипергеометрические полиномы

Если какой-либо верхний параметр функции $\Phi(z)$ равен нулю или целому отрицательному числу, то данная функция является полиномом (гипергеометрический полином).

Пусть, например, $\alpha_m =-N$ $(N=0,1,2,...)$. Тогда

$\Phi(z) = \sum_{k=0}^{N} (-1)^k \,C_N^k \cdot \frac{ \mathcal{F}_{k}(\alpha_1)\cdot \mathcal{F}_{k}(\alpha_2)\cdot ...\cdot \mathcal{F}_{k}(\alpha_{m-1}) } { \mathcal{F}_{k}(\gamma_1)\cdot \mathcal{F}_{k}(\gamma_2)\cdot ...\cdot \mathcal{F}_{k}(\gamma_n) } \cdot z^k \;.$

Разложение по гипергеометрическим полиномам

Функция $\Phi(z)$ может быть также представлена в виде ряда (сходящегося или асимптотического) по гипергеометрическим полиномам:

${}_m F_n (\alpha_1,...,\alpha_{m-1},\sigma;\, \gamma_1,...,\gamma_n ;\, \beta z)$

$=(1 -\beta)^{-\sigma} \,\sum_{k=0}^{\infty} \frac{ \mathcal{F}_k (\sigma) }{k!}\cdot \left(\frac{\beta}{\beta -1}\right)^k \cdot {}_m F_n (\alpha_1,...,\alpha_{m-1}, -k;\, \gamma_1,...,\gamma_n;\, z) \;.$

Остатки разложений в степенные ряды

Следующие формулы могут быть использованы для оценки $M$-го остатка разложения гипергеометрической функции в степенной ряд:

$\Phi(z) =\sum_{k=0}^{M-1} w_k \,z^k +w_M \,z^M \cdot \varrho_M (z) \;,$

где

$w_k =\frac{1}{k!}\cdot \frac{ \mathcal{F}_{k}(\alpha_1)\cdot ...\cdot \mathcal{F}_{k}(\alpha_m) } { \mathcal{F}_{k}(\gamma_1)\cdot ...\cdot \mathcal{F}_{k}(\gamma_n) } \;,$

$\varrho_M (z) ={}_{m+1}F_{n+1}(\alpha_1 +M,...,\alpha_m +M, 1 ;\, \gamma_1 +M,...,\gamma_n +M, M+1 ;\, z) \;.$

Если числа $z$, $\alpha_R +M$, $\gamma_L +M$ – действительны и положительны
$(R=1,...,m;\,L=1,...n)$,
и если ряд $\sum w_k \,z^k$ является сходящимся,
то

$\varrho_M (z) ={}_m F_n(\alpha_1, \alpha_2 +M,...,\alpha_m +M ;\, \gamma_1 +M,...,\gamma_n +M ;\, b \,z) \;,$

где $b$ – действительный параметр, удовлетворяющий неравенствам

$\min \left\{1, \frac{1+M}{1 +M/\alpha_1}\right\} \le b \le \max \left\{1, \frac{1+M}{1 +M/\alpha_1}\right\} \;.$

Разложение в ряд произведения гипергеометрических функций

Произведение двух гипергеометрических функций может быть представлено в виде степенного ряда (сходящегося или асимптотического):

${}_m F_n(\alpha_1,...,\alpha_m;\, \gamma_1,...,\gamma_n;\, \beta z)\cdot {}_M F_N(\xi_1,...,\xi_M;\, \eta_1,...,\eta_N;\, \sigma z) =\sum_{k=0}^{\infty} W_k \,z^k \;,$

где

$W_k =\frac{ \mathcal{F}_k (\xi_1)\cdot ...\cdot \mathcal{F}_k (\xi_M) }{ \mathcal{F}_k (\eta_1)\cdot ...\cdot \mathcal{F}_k(\eta_N) } \cdot \frac{\sigma^k}{k!}$

$\cdot {}_{m+N+1}F_{M+n} \bigl(\alpha_1,...,\alpha_m,\, 1-k -\eta_1,...,1-k -\eta_N,\, -k;\,$

$\gamma_1,...,\gamma_n,\, 1-k -\xi_1,...,1-k -\xi_M;\, (-1)^{M+N+1}\cdot \beta/\sigma\bigr) \;,$

если ни один из нижних параметров $1-k -\xi_j$ не является нулем или целым отрицательным числом. В противном случае правая часть последнего уравнения заменяется ее предельным значением.

В частности, если $\xi_M =-r$, т.е. ${}_M F_N(\xi_1,...,\xi_M;\, \eta_1,...,\eta_N;\, \sigma z)$ – есть полином степени $r$, то в приведенном выше равенстве для $W_k$
при $k>r$ необходимо положить $\xi_M =-r-\varepsilon$, а затем устремить $\varepsilon$ к нулю; в результате получаем

$W_{r+k} =\frac{ \beta^k \,(-\sigma)^r }{k!} \cdot \frac { \mathcal{F}_k (\alpha_1)\cdot ...\cdot \mathcal{F}_k (\alpha_m)\cdot \mathcal{F}_r (\xi_1)\cdot ...\cdot \mathcal{F}_r (\xi_{M-1}) } { \mathcal{F}_k (\gamma_1)\cdot ...\cdot \mathcal{F}_k(\gamma_n)\cdot \mathcal{F}_r (\eta_1)\cdot ...\cdot \mathcal{F}_r (\eta_N) }$

$\cdot {}_{m+N+1}F_{M+n}\bigl(\alpha_1 +k,...,\alpha_m +k,\, 1 -\eta_1 -r,...,1 -\eta_N -r,\, -r;\,$

$\gamma_1 +k,...,\gamma_n +k,\, 1 -\xi_1 -r,...,1 -\xi_{M-1} -r,\, k+1;\, (-1)^{M+N+1}\cdot \beta/\sigma\bigr)$

($k=1,2,...$).

Приложение. Вывод формул и доказательства теорем

Сходимость гипергеометрического ряда

Здесь будут доказаны утверждения п. 1.

Рассмотрим гипергеометрический ряд, являющийся рядом разложения функции

$\Phi(z) ={}_m F_n(\alpha_1,...,\alpha_m;\, \gamma_1,...,\gamma_n;\, z) \;.$

При $m=n+1$ и $|z|=1$ условия сходимости гипергеометрического ряда следуют из модификаций признака Гаусса (см. далее) с учетом того, что коэффициенты $\xi_k$ данного ряда удовлетворяют соотношению

$\frac{ \xi_{k+1} }{\xi_k} = 1 -\frac{\eta+1}{k} +\frac{\sigma_k}{k} \;,$

где

$\eta =\sum\limits_{k=1}^{n} \gamma_k - \sum\limits_{k=1}^{n+1} \alpha_k$

и $\sigma_k$ – ограниченная последовательность.

Признак Гаусса для степенных рядов

Теорема:

Пусть коэффициенты $\xi_k$ степенного ряда $\sum \xi_k \,z^k$ удовлетворяют соотношению

$\frac{\xi_k}{ \xi_{k+1} } = \lambda \cdot \left(1 +\frac{\mu}{k} +\frac{\sigma_k}{k}\right) \;,$

где $\lambda, \mu =\mathrm{const}$; \ $\sigma_k \to 0$ при $k\to \infty$.

Тогда

a) при $|z/\lambda|<1$ ряд сходится;

b) при $|z/\lambda|>1$ ряд расходится;

c) при $|z/\lambda|=1$ и $\mathrm{Re}\, \mu >1$ ряд сходится;

d) при $|z/\lambda|=1$, \ $z/\lambda \ne 1$ и $0< \mathrm{Re}\, \mu \le 1$ ряд сходится;

e) при $|z/\lambda|=1$ и $\mathrm{Re}\, \mu <0$ ряд расходится.

Доказательство:

Не ограничивая общности, можно считать $\lambda =1$.

Если данное условие не выполнено, то вводится новая перменная $z'=z/\lambda$ и рассматривается ряд относительно $z'$.

Из условия, которому удовлетворяют коэффициенты $\xi_k$ следует

$\left|\frac{\xi_k}{ \xi_{k+1} }\right| =1 +\frac{\mathrm{Re}\, \mu}{k} +\frac{s_k}{k} \;,$

где $s_k \to 0$ при $k\to \infty$.

a) и b) доказывается с помощью признака Даламбера;

c) можно получить с помощью признака Раабе (см. \cite{Fikhtengolts-64});

d) можно получить с помощью признака Абеля, с учетом того, что при $|z|=1$ и $z\ne 1$ ряд $\sum z^k$ сходится, а значит и сходится ряд $\sum \exp(i\,\varphi_k)\,z^k$, где $\varphi_k \to 0$ при $k\to \infty$.

Модификация признака Гаусса для степенных рядов

Теорема:
Пусть коэффициенты $\xi_k$ степенного ряда $\sum \xi_k \,z^k$ удовлетворяют соотношению

$\frac{ \xi_{k+1} }{\xi_k} =\lambda \cdot \left(1 -\frac{\mu}{k} +\frac{\sigma_k}{k}\right) \;,$

где $\lambda, \mu =\mathrm{const}$; \ $\sigma_k \to 0$ при $k\to \infty$.

Тогда

a) при $|z \lambda|<1$ ряд сходится;

b) при $|z \lambda|>1$ ряд расходится;

c) при $|z \lambda|=1$ и $\mathrm{Re}\, \mu >1$ ряд сходится;

d) при $|z \lambda|=1$, \ $z \lambda \ne 1$ и
$0< \mathrm{Re}\, \mu \le 1$ ряд сходится;

e) при $|z \lambda|=1$ и $\mathrm{Re}\, \mu <0$ ряд расходится.

Доказательство данной теоремы аналогично доказательству метода Гаусса с учетом того, что при $\lambda =1$ коэффициенты $\xi_k$ удовлетворяют соотношению

$\left|\frac{ \xi_{k+1} }{\xi_k}\right| = 1 -\frac{\mathrm{Re}\, \mu}{k} +\frac{s_k}{k} \;,$

где $s_k \to 0$ при $k\to \infty$.

Литература

1. Под ред. М.Абрамовица, И.Стиган. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками, математическими таблицами. – Москва, «Наука», 1979, 830 с. Перевод с английского: Edited by M.Abramowitz and I.A.Stegun. Handbook of Mathematical Functions with formulas, graphs and mathematical tables. – National bureau of standards. Applied mathematics series – 55, 1964.

2. Г.Бейтмен, А.Эрдейи. Высшие трансцендентные функции, т. 1. СБМ. – Москва, `«Наука», 1973; 297 с.
   Перевод с английского: H.Bateman, A.Erdelyi. Higher Transcendental Functions, Volume 1. MC Graw-Hill Book Company, Inc., New York - Toronto - London, 1953.

3. http://www.wolfram.com – Internet-page of the firm WolframResearch.

4. А.Ф.Никифоров, В.Б.Уваров. Специальные функции математической физики. – Москва, «Наука», 1984, 344 с.

5. А.П.Прудников, Ю.А.Брычков, О.И.Маричев. Интегралы и ряды. Дополнительные главы. – Москва, «Наука», 1986, 800 с.

6. Г.М.Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том 2. – Москва, «Наука», 1964, 800 с.

7. Е.Янке, Ф.Эмде, Ф.Леш. Специальные функции. – Москва, «Наука», 1968, 344 с. Перевод с немецкого: E.Janke, F.Emde, F.Lösch. Tafeln Höherer Funktionen. B.G. Teubner–Verlagsgesellschaft–Stuttgart, 1960, 344 p.

Нужна работа по низкой цене? У нас вы можете заказать статью по математике недорого!