174
8 Авг в 07:5208.08.2018 в 07:52

Свойства определителя матрицы

Мы уже знакомы с понятием определителя матрицы. Было рассмотрено вычисление определителей первого, второго, третьего и высших порядков. Познакомимся со свойствами определителей, позволяющими значительно упростить их вычисление.

Ряды определителя

Под рядами определителя будем понимать строки и столбцы.

Свойства определителя матрицы

Значение определителя останется прежним, если заменить его строки столбцами (т.е. при транспонировании).

Это свойство можно обозначить следующим образом: A=AT|A|=|A^{T}|. В общем виде оно выглядит так:

a11a12...a1na21a22...a2n............am1am2...amn=a11a21...am1a12a22...am2............a1na2n...amn\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\...&...&...&...\\a_{m1}&a_{m2}&...&a_{mn}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{21}&...&a_{m1}\\a_{12}&a_{22}&...&a_{m2}\\...&...&...&...\\a_{1n}&a_{2n}&...&a_{mn}\end{vmatrix}.

Пример 1

1015142=1014152=190\begin{vmatrix}10&15\\14&2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}10&14\\15&2\end{vmatrix}=-190.

Пример 2

101173814151921=103151181971421=3962\begin{vmatrix}10&11&-7\\3&-8&14\\15&19&21\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}10&3&15\\11&-8&19\\-7&14&21\end{vmatrix}=-3962.

Если переставить два параллельных ряда, то определитель изменит свой знак.

Пример 1

Переставим местами строки №1 и №3 и вычислим определитель:

1529371914115128=5128191411152937=3333\begin{vmatrix}-15&29&-37\\19&14&-11\\-5&-12&8\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}-5&-12&8\\19&14&-11\\-15&29&-37\end{vmatrix}=3333.

Пример 2

Переставим местами столбцы №1 и №2 и вычислим определитель:

1529371914115128=2915371419111258=3333\begin{vmatrix}-15&29&-37\\19&14&-11\\-5&-12&8\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}29&-15&-37\\14&19&-11\\-12&-5&8\end{vmatrix}=3333.

Определитель равен нулю, если среди его рядов есть два одинаковых ряда.

Пример 1

Определитель содержит две одинаковые строки: №1 и №3:

111792514211179=0\begin{vmatrix}11&17&9\\25&14&2\\11&17&9\end{vmatrix}=0.

Пример 2

Определитель содержит два одинаковых столбца: №1 и №2:

252545191934393922=0\begin{vmatrix}25&25&45\\19&19&34\\39&39&22\end{vmatrix}=0.

Определитель равен нулю, если среди его рядов есть два пропорциональных ряда.

Пример 1

Определитель содержит две пропорциональных строки – №1 и №3:

1015265711203052=0\begin{vmatrix}10&15&26\\5&7&11\\20&30&52\end{vmatrix}=0.

Пример 2

Определитель содержит два пропорциональных столбца – №2 и №3:

539154129721=0\begin{vmatrix}5&3&9\\15&4&12\\9&7&21\end{vmatrix}=0.

Определитель, содержащий ряд, состоящий из нулей, равен нулю.

Пример 1

11825000191432=0\begin{vmatrix}11&8&25\\0&0&0\\19&14&32\end{vmatrix}=0.

Пример 2

91702514013160=0\begin{vmatrix}9&17&0\\25&14&0\\13&16&0\end{vmatrix}=0.

Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.

Пример 1

Вынесем общий множитель — 5 из строки №2 и вычислим определитель:

19153752540131810=5191537158131810=5(2115)=10575\begin{vmatrix}19&15&37\\5&25&40\\13&18&10\end{vmatrix}=5\cdot\begin{vmatrix}19&15&37\\1&5&8\\13&18&10\end{vmatrix}=5\cdot(-2115)=-10575.

Пример 2

Вынесем общий множитель — число 7 из столбца №1 и вычислим определитель:

7281114139211045=712811213931045=7(1478)=10346\begin{vmatrix}7&28&11\\14&13&9\\21&10&45\end{vmatrix}=7\cdot\begin{vmatrix}1&28&11\\2&13&9\\3&10&45\end{vmatrix}=7\cdot(-1478)=-10346.

В случае если все элементы некоторого ряда определителя представимы в виде суммы двух слагаемых, то определитель может быть записан как сумма двух определителей, у которых элементы рассматриваемого ряда равны соответствующим слагаемым, а остальные элементы одни и те же.

Пример 1

Представим в виде суммы двух слагаемых элементы второй строки и вычислим определитель:

135268351=1351+14+25+3351=135145351+135123351=14+6=8\begin{vmatrix}1&3&5\\2&6&8\\3&5&1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&3&5\\1+1&4+2&5+3\\3&5&1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&3&5\\1&4&5\\3&5&1\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}1&3&5\\1&2&3\\3&5&1\end{vmatrix}=-14+6=-8.

Пример 2

Представим в виде суммы двух слагаемых элементы столбца №2 и вычислим определитель:

153168351=12+3313+3832+31=123138321+133138331=12+30=42\begin{vmatrix}1&5&3\\1&6&8\\3&5&1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&2+3&3\\1&3+3&8\\3&2+3&1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&2&3\\1&3&8\\3&2&1\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}1&3&3\\1&3&8\\3&3&1\end{vmatrix}=12+30=42.

Значение определителя останется прежним, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы другого ряда, предварительно умножив их на любое число.

Пример 1

К элементам строки №3 прибавим элементы строки №1, умноженные на -3:

132211325=132211071=28\begin{vmatrix}1&3&-2\\2&-1&1\\3&2&-5\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&3&-2\\2&-1&1\\0&-7&1\end{vmatrix}=28.

Пример 2

К элементам столбца №3 прибавим элементы столбца №1, умноженные на -4:

154248351=1502403511=66\begin{vmatrix}1&5&4\\2&4&8\\3&5&1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&5&0\\2&4&0\\3&5&-11\end{vmatrix}=66.

Данные свойства могут применяться для нахождения определителей любого порядка. Их знание и применение значительно упростит процесс вычисления детерминантов.

Автор статьи
+1
-0
Комментарии
Нет комментариев

Интересные статьи за сегодня

Кто в России счастлив на работе

Кто в России счастлив на работе?
358 +21
3

Как защищать курсовую работу

О том, как преподнести себя публике и уберечь нервную систему (не только свою), представляя свое научное детище, – читайте в нашей статье.
132 +20
1

Антиплагиат: что это такое

Детальный обзор систем антиплагиата: как с ними работать и как повысить уникальность
3462 +17
0

Образование за рубежом: все ли так идеально?

Студенты за рубежом выступают против платного образования и поддельных дипломов.
20 +14
0
Хотите выполнять заказы?
Стать автором
Хотите заказать работу?
Разместить заказ