569
22 Мая в 16:0822.05.2018 в 16:08

Таблица производных

Вычисление производных – одна из самых распространенных задач школьной и вузовской программ. Как минимум один вопрос на ЕГЭ будет связан с этой темой. Эксперты Студворк составили таблицу со списком формул для вашего удобства.

Таблица производных

Функция Производная

f(x)=constf(x)=const

f(x)=xf(x)=x

f(x)=xnf(x)=x^n

f(x)=1xf(x)=\frac{1}{x}

f(x)=xf(x)=\sqrt{x}

f(x)=axf(x)=a^x

f(x)=exf(x)=e^x

f(x)=logaxf(x)=\log_{a}x

f(x)=lnxf(x)=\ln x

f(x)=sinxf(x)=\sin x

f(x)=cosxf(x)=\cos x

f(x)=tgxf(x)=\tg x

f(x)=ctgxf(x)=\ctg x

f(x)=secxf(x)=\sec x

f(x)=cosecxf(x)=\cosec x

f(x)=shxf(x)=\sh x

f(x)=chxf(x)=\ch x

f(x)=thxf(x)=\th x

f(x)=cthxf(x)=\cth x

f(x)=sech xf(x)=\text{sech}\ x

f(x)=csch xf(x)=\text{csch}\ x

f(x)=arcsinxf(x)=\arcsin x

f(x)=arccosxf(x)=\arccos x

f(x)=arctgxf(x)=\arctg x

f(x)=arcctgxf(x)=\arcctg x

f(x)=arsh xf(x)=\text{arsh}\ x

f(x)=arch xf(x)=\text{arch}\ x

f(x)=arth xf(x)=\text{arth}\ x

f(x)=arcth xf(x)=\text{arcth}\ x

f(x)=arsech xf(x)=\text{arsech}\ x

f(x)=arcsch xf(x)=\text{arcsch}\ x

f(x)=0f'(x)=0

f(x)=1f'(x)=1

f(x)=nxn1f'(x)=nx^{n-1}

f(x)=1x2f'(x)=-\frac{1}{x^2}

f(x)=12xf'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}

f(x)=axlnaf'(x)=a^x\ln a

f(x)=exf'(x)=e^x

f(x)=1xlnaf'(x)=\frac{1}{x\ln a}

f(x)=1xf'(x)=\frac{1}{x}

f(x)=cosxf'(x)=\cos x

f(x)=sinxf'(x)=-\sin x

f(x)=1cos2xf'(x)=\frac{1}{\cos^2 x}

f(x)=1sin2xf'(x)=-\frac{1}{\sin^2 x}

f(x)=tgxsecxf'(x)=\tg x\sec x

f(x)=ctgxcosecxf'(x)=-\ctg x\cosec x

f(x)=chxf'(x)=\ch x

f(x)=shxf'(x)=\sh x

f(x)=sech2xf'(x)=\text{sech}^2 x

f(x)=csch2xf'(x)=-\text{csch}^2 x

f(x)=thx sech xf'(x)=-\th x\ \text{sech}\ x

f(x)=cthx csch xf'(x)=-\cth x\ \text{csch}\ x

f(x)=11x2f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

f(x)=11x2f'(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

f(x)=11+x2f'(x)=\frac{1}{1+x^2}

f(x)=11+x2f'(x)=-\frac{1}{1+x^2}

f(x)=1x2+1f'(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}

f(x)=1x21f'(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}

f(x)=11x2       x<1f'(x)=\frac{1}{1-x^2}\ \ \ \ \ \ \ |x|<1

f(x)=11x2       x>1f'(x)=\frac{1}{1-x^2}\ \ \ \ \ \ \ |x|>1

f(x)=1x1x2f'(x)=-\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}

f(x)=1x1+x2f'(x)=-\frac{1}{|x|\sqrt{1+x^2}}

Напомним определение производной функции y=f(x)y=f(x) в точке xDx\in D.

DD — область определения функции f(x)f(x).

f(x)=limΔx0ΔyΔx=limΔx0f(x+Δx)f(x)Δxf'(x)=\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}

Докажем некоторые из производных и разберем примеры.

Производная от константы

f(x)=cf(x)=c

f(x)=0f'(x)=0

Для всех c=constc=const

Доказательство

f(x)=limΔx0ΔyΔx=limΔx0ccΔx=0f'(x)=\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{c-c}{\Delta x}=0

Пример 1

f(x)=1f(x)=1

f(x)=limΔx0ΔyΔx=limΔx011Δx=0f'(x)=\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{1-1}{\Delta x}=0

Производная степенной функции

f(x)=xaf(x)=x^a

f(x)=axa1f'(x)=ax^{a-1}

aa — вещественное число.

Доказательство

Начнем со случая, когда a=na=n, nn — натуральное число.

Δy=(x+Δx)nxn=\Delta y={(x+\Delta x)}^n-x^n=

=Cn0xn+Cn1xn1Δx+Cn2xn2Δx2+...+Cnn1xΔxn1+CnnΔxnxn==C^0_nx^n+C^1_nx^{n-1}\Delta x+C^2_nx^{n-2}{\Delta x}^2+...+C_n^{n-1}x{\Delta x}^{n-1}+C_n^n{\Delta x}^n-x^n=

=xnxn+Cn1xn1Δx+Cn2xn2Δx2+...+Cnn1xΔxn1+CnnΔxn==x^n-x^n+C^1_nx^{n-1}\Delta x+C^2_nx^{n-2}{\Delta x}^2+...+C_n^{n-1}x{\Delta x}^{n-1}+C_n^n{\Delta x}^n=

=Cn1xn1Δx+Cn2xn2Δx2+...+Cnn1xΔxn1+CnnΔxn==C^1_nx^{n-1}\Delta x+C^2_nx^{n-2}{\Delta x}^2+...+C_n^{n-1}x{\Delta x}^{n-1}+C_n^n{\Delta x}^n=

=Δx(Cn1xn1+Cn2xn2Δx+...+Cnn1xΔxn2+CnnΔxn1)=\Delta x(C^1_nx^{n-1}+C_n^2x^{n-2}\Delta x+...+C_n^{n-1}x{\Delta x}^{n-2}+C_n^n{\Delta x}^{n-1})

Здесь мы воспользовались тем, что nn натуральное и разложили первое слагаемое по формуле бинома Ньютона. Затем привели подобные слагаемые (xnx^n сократилось) и вынесли общий множитель Δx\Delta x.

f(x)=limΔx0ΔyΔx=limΔx0Δx(Cn1xn1+Cn2xn2Δx+...+Cnn1xΔxn2+CnnΔxn1)Δxf'(x)=\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta x(C^1_nx^{n-1}+C_n^2x^{n-2}\Delta x+...+C_n^{n-1}x{\Delta x}^{n-2}+C_n^n{\Delta x}^{n-1})}{\Delta x}

f(x)=limΔx0(Cn1xn1+Cn2xn2Δx+...+Cnn1xΔxn2+CnnΔxn1)f'(x)=\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}(C^1_nx^{n-1}+C_n^2x^{n-2}\Delta x+...+C_n^{n-1}x{\Delta x}^{n-2}+C_n^n{\Delta x}^{n-1})

f(x)=Cn1xn1=n!(n1)!xn1=nxn1f'(x)=C^1_nx^{n-1}=\frac{n!}{(n-1)!}x^{n-1}=nx^{n-1}

Что и требовалось доказать.

Этот результат может быть обобщен на случай произвольного вещественного числа aa.

Пример 2

f(x)=x3f(x)=x^3

f(x)=3x2f'(x)=3x^2

Пример 3

f(x)=1x35f(x)=\frac{1}{\sqrt[5]{x^3}}

Первым делом преобразуем это выражение так, чтобы стало очевидно, что перед нами действительно степенная функция:

1x35=1x35=x35\frac{1}{\sqrt[5]{x^3}}=\frac{1}{x^{\frac{3}{5}}}=x^{-\frac{3}{5}}

f(x)=35x351=35x85f'(x)=-\frac{3}{5}x^{-\frac{3}{5}-1} = -\frac{3}{5}x^{-\frac{8}{5}}

Производная показательной функции

f(x)=axf(x)=a^x

f(x)=axlnaf'(x)=a^x\ln a

aa — вещественное число.

Следствие:

Пусть a=ea=e, тогда:

f(x)=exlne=exf'(x)=e^x\ln e=e^x

Поскольку по определению натурального логарифма: lne=1\ln e=1.

Пример 4

f(x)=(12)xf(x)=\big(\frac{1}{2}\big)^x

f(x)=(12)xln12f'(x)=\big(\frac{1}{2}\big)^x\ln \frac{1}{2}

Это выражение можно упростить, пользуясь свойствами логарифмов:

f(x)=(12)xln12=(12)x(ln1ln2)=(12)x(0ln2)=(12)xln2f'(x)=\Big(\frac{1}{2}\Big)^x\ln \frac{1}{2}=\Big(\frac{1}{2}\Big)^x(\ln 1-\ln 2)=\Big(\frac{1}{2}\Big)^x(0-\ln 2)=-\Big(\frac{1}{2}\Big)^x\ln 2

Производная логарифмической функции

f(x)=logaxf(x)=\log_a x

f(x)=1xlnaf'(x)=\frac{1}{x\ln a}

Следствие:

Пусть a=ea=e, тогда:

f(x)=1xlne=1xf'(x)=\frac{1}{x\ln e}=\frac{1}{x}

Пример 5

f(x)=log13exf(x)=\log_{13e}x

f(x)=1xln(13e)f'(x)=\frac{1}{x\ln(13e)}

Здесь тоже можно воспользоваться свойствами логарифмов для упрощения результата:

f(x)=1xln(13e)=1x(ln13+lne)=1x(ln13+1)f'(x)=\frac{1}{x\ln(13e)}=\frac{1}{x(\ln 13 +\ln e)}=\frac{1}{x(\ln 13+1)}

+0
-0
Комментарии
Нет комментариев

Интересные статьи за сегодня

Кто в России счастлив на работе

Кто в России счастлив на работе?
358 +21
3

Как защищать курсовую работу

О том, как преподнести себя публике и уберечь нервную систему (не только свою), представляя свое научное детище, – читайте в нашей статье.
131 +20
1

Антиплагиат: что это такое

Детальный обзор систем антиплагиата: как с ними работать и как повысить уникальность
3462 +17
0

Образование за рубежом: все ли так идеально?

Студенты за рубежом выступают против платного образования и поддельных дипломов.
20 +14
0
Хотите выполнять заказы?
Стать автором
Хотите заказать работу?
Разместить заказ