363
19 Июл в 14:3919.07.2018 в 14:39

Умножение матриц

Содержание

Нами были рассмотрены действия сложения, вычитания и умножения матриц на число. Еще одним действием над ними является умножение. Выполняется оно сложнее, а само правило может показаться немного странным. При его выполнении важно уметь определять размер матриц. Это понятие было рассмотрено в теме «Что такое матрица».

Как умножать матрицы

Приступим к рассмотрению умножения матриц.

Нам известно, что складывать и вычитать можно матрицы, которые имеют одинаковый размер. С умножением дела обстоят немного сложнее.

Какие матрицы можно умножать

Матрицу P можно умножить на матрицу K только в том случае, если число столбцов матрицы P равняется числу строк матрицы K. Матрицы, для которых данное условие не выполняется, умножать нельзя.

Пример 1

Определим, можно ли умножить матрицу

K=(15271810)K=\begin{pmatrix}15&27\\18&10\end{pmatrix} на матрицу L=(3516)L=\begin{pmatrix}35\\16\end{pmatrix}.

Матрица KK состоит из 2 строк и 2 столбцов, а матрица LL — из 2 строк и 1 столбца. Число столбцов матрицы KK равно числу строк матрицы LL, значит, матрицу KK можно умножить на матрицу LL.

Пример 2

Переставим матрицы местами и определим, можно ли умножить матрицу

F=(3516)F=\begin{pmatrix}35\\16\end{pmatrix} на матрицу C=(15271810)C=\begin{pmatrix}15&27\\18&10\end{pmatrix}.

Матрица FF состоит из 2 строк и 1 столбца, а матрица CC — из 2 строк и 2 столбцов. Число столбцов матрицы FF не равно числу строк матрицы CC, значит, матрицу FF нельзя умножить на матрицу CC.

Правило умножения матриц

Произведение матрицы AA размера m×nm\times n и матрицы BB размера n×kn\times k — это матрица CC размера m×km\times k, в которой элемент cijc_{ij} равен сумме произведений элементов ii строки матрицы AA на соответствующие элементы jj столбца матрицы B:cij=ai1b1j+ai2b2j+...+ainbnjB: c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+...+a_{in}b_{nj}.

Умножение матриц осуществляется путем умножения строки на столбец. Находятся произведения первого элемента строки и первого элемента столбца, второго элемента строки и второго элемента столбца и т.д. Затем полученные произведения суммируются.

Алгоритм нахождения произведения матриц

  1. определить размеры матриц;
  2. если число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы, то выполнять умножение.

Рассмотрим пример умножения матрицы

A=(a11a12a21a22a31a32a41a42)A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\\a_{41}&a_{42}\end{pmatrix}

на матрицу

B=(b11b12b13b21b22b23)B=\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\end{pmatrix}.

Матрица AA состоит из 4 строк и 2 столбцов, а матрица BB — из 2 строк и 3 столбцов. Число столбцов матрицы AA равно числу строк матрицы BB, значит, можно найти произведение C=ABC=A\cdot B. Причем матрица CC будет иметь размер 4×34\times 3. Найдем элементы c12c_{12} (выделен красными стрелками) и c33c_{33} (выделен синими стрелками):

умножение матриц .png

Для того чтобы найти элемент c12c_{12} нужно перемножать соответствующие элементы 1 строки матрицы AA и 2 столбца матрицы B:c12=a11b12+a12b22B: c_{12}=a_{11}\cdot b_{12}+a_{12}\cdot b_{22}. Для того чтобы найти элемент c33c_{33} нужно перемножать соответствующие элементы 3 строки матрицы AA и 3 столбца матрицы BB: c33=a31b13+a32b23c_{33}=a_{31}\cdot b_{13}+a_{32}\cdot b_{23}. Так находят все элементы.

Таким образом, матрица CC может быть найдена следующим образом:

AB=(a11a12a21a22a31a32a41a42)(b11b12b13b21b22b23)=A\cdot B=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\\a_{41}&a_{42}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\end{pmatrix}=

=(a11b11+a12b21a11b12+a12b22a11b13+a12b23a21b11+a22b21a21b12+a22b22a21b13+a22b23a31b11+a32b21a31b12+a32b22a31b13+a32b23a41b11+a42b21a41b12+a42b22a41b13+a42b23)=\begin{pmatrix}a_{11}\cdot b_{11}+a_{12}\cdot b_{21}&a_{11}\cdot b_{12}+a_{12}\cdot b_{22}&a_{11}\cdot b_{13}+a_{12}\cdot b_{23}\\a_{21}\cdot b_{11}+a_{22}\cdot b_{21}&a_{21}\cdot b_{12}+a_{22}\cdot b_{22}&a_{21}\cdot b_{13}+a_{22}\cdot b_{23}\\a_{31}\cdot b_{11}+a_{32}\cdot b_{21}&a_{31}\cdot b_{12}+a_{32}\cdot b_{22}&a_{31}\cdot b_{13}+a_{32}\cdot b_{23}\\a_{41}\cdot b_{11}+a_{42}\cdot b_{21}&a_{41}\cdot b_{12}+a_{42}\cdot b_{22}&a_{41}\cdot b_{13}+a_{42}\cdot b_{23}\end{pmatrix}

Произведение BAB\cdot A нельзя найти, поскольку число столбцов матрицы BB неравно числу строк матрицы AA.

Пример 1

Найти произведение матрицы C=(15271810)C=\begin{pmatrix}15&27\\18&10\end{pmatrix} на матрицу F=(3516)F=\begin{pmatrix}35\\16\end{pmatrix}.

Матрица CC имеет размер 2×22\times 2, матрица FF имеет размер 2×12\times 1, значит, размер матрицы произведения будет 2×12\times 1.

CF=(15271810)(3516)=(1535+27161835+1016)=(957790)C\cdot F=\begin{pmatrix}15&27\\18&10\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}35\\16\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}15\cdot 35+27\cdot 16\\18\cdot 35+10\cdot 16\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}957\\790\end{pmatrix}.

Как отмечалось выше, произведение матриц FCF\cdot C невозможно.

Пример 2

Найти произведение матриц KLK\cdot L и LKL\cdot K, если K=(12171314)K=\begin{pmatrix}12&17\\13&14\end{pmatrix} на матрицу L=(18111210)L=\begin{pmatrix}18&11\\12&10\end{pmatrix}.

Матрица KK имеет размер 2×22\times 2, матрица LL имеет размер 2×22\times 2, значит, размер матрицы произведения будет 2×22\times 2.

KL=(12171314)(18111210)=(1218+17121211+17101318+14121311+1410)=(420302402283)K\cdot L=\begin{pmatrix}12&17\\13&14\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}18&11\\12&10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}12\cdot 18+17\cdot 12&12\cdot 11+17\cdot 10\\13\cdot 18+14\cdot 12&13\cdot 11+14\cdot 10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}420&302\\402&283\end{pmatrix}

Произведение LKL\cdot K существует и его размер — 2×22\times 2.

LK=(18111210)(12171314)=(1812+11131817+11141212+10131217+1014)=(359460274344)L\cdot K=\begin{pmatrix}18&11\\12&10\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}12&17\\13&14\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}18\cdot 12+11\cdot 13&18\cdot 17+11\cdot 14\\12\cdot 12+10\cdot 13&12\cdot 17+10\cdot 14\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}359&460\\274&344\end{pmatrix}

Произведение двух матриц в общем случае зависит от порядка сомножителей, т.е. оно некоммутативно: ABBAA\cdot B\neq B\cdot A.

Так, для матриц K=(12171314)K=\begin{pmatrix}12&17\\13&14\end{pmatrix} и L=(18111210)L=\begin{pmatrix}18&11\\12&10\end{pmatrix} из рассмотренного примера KLLKK\cdot L \neq L\cdot K.

Перестановочные матрицы

Перестановочные, или коммутирующие, матрицы – матрицы, для которых выполняется равенство AB=BAA\cdot B=B\cdot A. Они обязательно квадратные.

Пример 1

Проверить, являются ли перестановочными матрицы CC и DD, если C=(2342)C=\begin{pmatrix}2&3\\4&2\end{pmatrix}, D=(3343)D=\begin{pmatrix}3&3\\4&3\end{pmatrix}.

Найдем произведения этих матриц CDC\cdot D и DCD\cdot C.

CD=(2342)(3343)=(23+3423+3343+2443+23)=(18152018)C\cdot D=\begin{pmatrix}2&3\\4&2\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}3&3\\4&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\cdot 3+3\cdot 4&2\cdot 3+3\cdot 3\\4\cdot 3+2\cdot 4&4\cdot 3+2\cdot 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}18&15\\20&18\end{pmatrix},

DC=(3343)(2342)=(32+3433+3242+3443+32)=(18152018)D\cdot C=\begin{pmatrix}3&3\\4&3\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}2&3\\4&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\cdot 2+3\cdot 4&3\cdot 3+3\cdot 2\\4\cdot 2+3\cdot 4&4\cdot 3+3\cdot 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}18&15\\20&18\end{pmatrix}.

Таким образом, для заданных матриц выполняется равенство CDC\cdot D и DCD\cdot C, поэтому они являются перестановочными.

Пример 2

Проверить, являются ли перестановочными матрицы FF и HH, если F=(3421)F=\begin{pmatrix}3&4\\2&1\end{pmatrix}, H=(0593)H=\begin{pmatrix}0&5\\9&3\end{pmatrix}.

Найдем произведения этих матриц FHF\cdot H и HFH\cdot F.

FH=(3421)(0593)=(30+4935+4320+1925+13)=(3627913)F\cdot H=\begin{pmatrix}3&4\\2&1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}0&5\\9&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\cdot 0+4\cdot 9&3\cdot 5+4\cdot 3\\2\cdot 0+1\cdot 9&2\cdot 5+1\cdot 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}36&27\\9&13\end{pmatrix},

HF=(0593)(3421)=(03+5204+5193+3294+31)=(1053339)H\cdot F=\begin{pmatrix}0&5\\9&3\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}3&4\\2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\cdot 3+5\cdot 2&0\cdot 4+5\cdot 1\\9\cdot 3+3\cdot 2&9\cdot 4+3\cdot 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10&5\\33&39\end{pmatrix}.

Таким образом, для заданных матриц не выполняется равенство FHF\cdot H и HFH\cdot F, поэтому они не являются перестановочными.

Автор статьи
+2
-0
Комментарии
Нет комментариев

Интересные статьи за сегодня

Как составить резюме молодому специалисту

Что написать в резюме, если вы только окончили вуз и у вас нет опыта?
51 +39
0

Кто в России счастлив на работе

Кто в России счастлив на работе?
435 +27
4

Антиплагиат: что это такое

Детальный обзор систем антиплагиата: как с ними работать и как повысить уникальность
3538 +26
0

Как защищать курсовую работу

О том, как преподнести себя публике и уберечь нервную систему (не только свою), представляя свое научное детище, – читайте в нашей статье.
200 +25
1
Хотите выполнять заказы?
Стать автором
Хотите заказать работу?
Разместить заказ