260
18 Июл в 09:1118.07.2018 в 09:11

Умножение матрицы на число

Содержание

Мы уже знакомы с действиями сложения и вычитания матриц. Прежде чем начать изучение умножения матрицы на число, вам следует повторить тему «Что такое матрица». Особое внимание необходимо уделить размеру матрицы. Приступим к рассмотрению темы.

Умножение матрицы на число

Произведением матрицы AA и числа kk называется новая матрица BB, полученная из исходной путем умножения соответствующих элементов матрицы AA на число kk.

Элемент b11=ka11b_{11}=k\cdot a_{11}, b12=ka12,...b_{12}=k\cdot a_{12}, ...

Так можно получить все элементы матрицы BB.

В общем виде умножение матрицы на число выглядит следующим образом. Даны некоторое число kk и матрица

A=(a11a12...a1na21a22...a2n............am1am2...amn)A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\...&...&...&...\\a_{m1}&a_{m2}&...&a_{mn}\end{pmatrix}.

Найдем произведения kAk\cdot A и AkA\cdot k:

B=kA=Ak=(ka11ka12...ka1nka21ka22...ka2n............kam1kam2...kamn)B=k\cdot A=A\cdot k=\begin{pmatrix}k\cdot a_{11}&k\cdot a_{12}&...&k\cdot a_{1n}\\k\cdot a_{21}&k\cdot a_{22}&...&k\cdot a_{2n}\\...&...&...&...\\k\cdot a_{m1}&k\cdot a_{m2}&...&k\cdot a_{mn}\end{pmatrix}.

Свойства умножения матрицы на число

Пусть kk и nn — числа, AA и BB — матрицы.

  1. При умножении произвольной матрицы на единицу получаем исходную матрицу:

1A=A1\cdot A=A.

  1. При умножении произвольной матрицы на нуль получаем нулевую матрицу, размер которой равен размеру исходной матрицы:

0A=O0\cdot A=O, где OO — нулевая матрица.

  1. При умножении числа на матрицу, которая также умножается на число можно найти произведение этих чисел, а затем умножить на матрицу

k(nA)=(kn)Ak\cdot (n\cdot A)=(k\cdot n)\cdot A.

  1. При умножении суммы чисел на матрицу можно каждое из этих чисел умножить на матрицу, а полученные результаты сложить

(k+n)A=kA+nA(k+n)\cdot A=k\cdot A+n\cdot A.

  1. При умножении числа на сумму матриц можно это число умножить на каждую из матриц, а полученные результаты сложить

k(A+B)=kA+kBk\cdot (A+B)=k\cdot A+k\cdot B.

Пример 1

Умножить матрицу H=(13261481925172320)H=\begin{pmatrix}13&26&14\\8&19&25\\17&23&20\end{pmatrix} на число 22.

Умножим каждый элемент матрицы HH на 22:

2H=(21322621428219225217223220)=(265228163850344640)2\cdot H=\begin{pmatrix}2\cdot13&2\cdot26&2\cdot14\\2\cdot8&2\cdot19&2\cdot25\\2\cdot17&2\cdot23&2\cdot20\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}26&52&28\\16&38&50\\34&46&40\end{pmatrix}

Пример 2

Умножить матрицу T=(1014915251347381510)T=\begin{pmatrix}10&14&9&15\\25&13&4&7\\3&8&15&10\end{pmatrix} на число 1515.

Умножим каждый элемент матрицы TT на 1515:

15T=15(1014915251347381510)=(1510151415915151525151315415715315815151510)=15\cdot T=15\cdot\begin{pmatrix}10&14&9&15\\25&13&4&7\\3&8&15&10\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}15\cdot10&15\cdot14&15\cdot9&15\cdot15\\15\cdot25&15\cdot13&15\cdot4&15\cdot7\\15\cdot3&15\cdot8&15\cdot15&15\cdot10\end{pmatrix}=

=(1502101352253751956010545120225150)=\begin{pmatrix}150&210&135&225\\375&195&60&105\\45&120&225&150\end{pmatrix}

Автор статьи
+1
-0
Комментарии
Нет комментариев

Интересные статьи за сегодня

Как составить резюме молодому специалисту

Что написать в резюме, если вы только окончили вуз и у вас нет опыта?
51 +39
0

Как защищать курсовую работу

О том, как преподнести себя публике и уберечь нервную систему (не только свою), представляя свое научное детище, – читайте в нашей статье.
199 +27
1

Кто в России счастлив на работе

Кто в России счастлив на работе?
435 +27
4

Антиплагиат: что это такое

Детальный обзор систем антиплагиата: как с ними работать и как повысить уникальность
3538 +26
0
Хотите выполнять заказы?
Стать автором
Хотите заказать работу?
Разместить заказ