Умножение вектора на число

Кроме складывания и вычитания векторов существует ещё одна, последняя линейная операция над векторами. Это умножение векторов на числа. Числа мы будем здесь рассматривать только действительные. При умножении вектора на число, в общем случае может изменится как длина, так и направление исходного вектора. Общее правило такое:

Правило умножения вектора на число

При умножении вектора a\vec{a} на число λ\lambda получаем вектор λa\lambda \vec{a}. Длина этого вектора λa=λa|\lambda\vec{a}|=|\lambda||\vec{a}|. Направление вектора λa\lambda \vec{a} совпадает с направлением вектора a\vec{a} при λ>0\lambda>0, и противоположно вектору a\vec{a} если λ<0\lambda<0.

Рассмотрим пару примеров.

Пример 1

λ=0\lambda=0.
Тогда λa=0a=0\lambda \vec{a}=0\cdot \vec{a}=\vec{0}. То есть, умножение любого вектора a\vec{a} на число ноль дает нулевой вектор (о том, что это за вектор речь шла в статье Понятие вектора). Часто стрелочку над нулем не пишут и обозначают просто: 0a=00\cdot \vec{a}=0.

1.png

Пример 2

λ=1\lambda=1.
Тогда λa=1a=a\lambda \vec{a}=1\cdot \vec{a}=\vec{a}. Умножение любого вектора a\vec{a} на единицу никак не изменяет вектор a\vec{a}.

2.png

Пример 3

λ=1\lambda=-1.
Тогда λa=1a=a\lambda \vec{a}=-1\cdot \vec{a}=-\vec{a}. Умножение любого вектора a\vec{a} на минус единицу меняет направление вектора a\vec{a} на противоположное, но никак не влияет на длину вектора aa. То есть, эта операция ставит вектору a\vec{a} в соответствие вектор a-\vec{a}.

3.png

Пример 4

λ=3\lambda=3.
Получаем: λa=3a\lambda \vec{a}=3\cdot \vec{a}. Получим вектор, длина которого в три раза больше исходного. Так как 3>03>0, то направление вектора 3a3\cdot \vec{a} совпадает с направлением вектора a\vec{a}.

4.png

Пример 5

λ=110\lambda=-\frac{1}{10}.
Получаем λa=110a\lambda \vec{a}=-\frac{1}{10}\cdot \vec{a}. В результате, получим вектор, длина которого в десять раз меньше вектора a\vec{a}. Поскольку 110<0-\frac{1}{10}<0, то направление вектора 110a-\frac{1}{10}\cdot \vec{a} противоположно направлению вектора a\vec{a}.

Рисунок здесь попробуйте нарисовать сами.

Для умножения векторов на числа имеют место следующие свойства:

Свойства умножения векторов на числа

Ассоциативность умножения вектора на число:
λ(μa)=(λμ)a\lambda(\mu \vec{a})=(\lambda\mu)\vec{a}
Дистрибутивность умножения вектора на число относительно сложения чисел:
(λ+μ)a=λa+μa(\lambda+\mu)\vec{a}=\lambda\vec{a}+\mu\vec{a}
Дистрибутивность умножения вектора на число относительно сложения векторов:
λ(a+b)=λa+λb\lambda(\vec{a}+\vec{b})=\lambda\vec{a}+\lambda\vec{b}

Может возникнуть вопрос, для чего нам вообще нужно умножать векторы на числа. Дело в том, что эта операция, вместе с двумя другими линейными операциями над векторами (сложение и вычитание) представляет собой возможность получать новые векторы из уже данных нам. Например, во втором законе Ньютона в векторной форме:

2-й закон Ньютона

ma=Fm\vec{a}=\vec{F},

где

mm — масса тела;
a\vec{a} — вектор ускорения тела;
F\vec{F} — приложенный вектор силы к телу.

масса mm тела умножается на его ускорение a\vec{a}. Вот вам и пример умножения вектора на число.

+6
-0
Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат

Интересные статьи за сегодня

Делимся основными ошибками, которые из года в год допускают старшеклассники.
1402 +169
0
Как к ним подготовиться и что отвечать.
3339 +145
3
Признаки хорошего колледжа.
765 +104
0
Автор
Хотите выполнять заказы? Стать автором
Заказчик
Хотите заказать работу? Разместить заказ
Доверьте свою работу экспертам
Разместите заказ
Наша система отправит ваш заказ на оценку 33 747 авторам
Первые отклики появятся уже в течение 10 минут
Напишем уникальную работу
Скидка 10%