226
27 Июн в 17:2027.06.2018 в 17:20

Умножение вектора на число

Кроме складывания и вычитания векторов существует ещё одна, последняя линейная операция над векторами. Это умножение векторов на числа. Числа мы будем здесь рассматривать только действительные. При умножении вектора на число, в общем случае может изменится как длина, так и направление исходного вектора. Общее правило такое:

Правило умножения вектора на число

При умножении вектора a\vec{a} на число λ\lambda получаем вектор λa\lambda \vec{a}. Длина этого вектора λa=λa|\lambda\vec{a}|=|\lambda||\vec{a}|. Направление вектора λa\lambda \vec{a} совпадает с направлением вектора a\vec{a} при λ>0\lambda>0, и противоположно вектору a\vec{a} если λ<0\lambda<0.

Рассмотрим пару примеров.

Пример 1

λ=0\lambda=0.
Тогда λa=0a=0\lambda \vec{a}=0\cdot \vec{a}=\vec{0}. То есть, умножение любого вектора a\vec{a} на число ноль дает нулевой вектор (о том, что это за вектор речь шла в статье Понятие вектора). Часто стрелочку над нулем не пишут и обозначают просто: 0a=00\cdot \vec{a}=0.

1.png

Пример 2

λ=1\lambda=1.
Тогда λa=1a=a\lambda \vec{a}=1\cdot \vec{a}=\vec{a}. Умножение любого вектора a\vec{a} на единицу никак не изменяет вектор a\vec{a}.

2.png

Пример 3

λ=1\lambda=-1.
Тогда λa=1a=a\lambda \vec{a}=-1\cdot \vec{a}=-\vec{a}. Умножение любого вектора a\vec{a} на минус единицу меняет направление вектора a\vec{a} на противоположное, но никак не влияет на длину вектора aa. То есть, эта операция ставит вектору a\vec{a} в соответствие вектор a-\vec{a}.

3.png

Пример 4

λ=3\lambda=3.
Получаем: λa=3a\lambda \vec{a}=3\cdot \vec{a}. Получим вектор, длина которого в три раза больше исходного. Так как 3>03>0, то направление вектора 3a3\cdot \vec{a} совпадает с направлением вектора a\vec{a}.

4.png

Пример 5

λ=110\lambda=-\frac{1}{10}.
Получаем λa=110a\lambda \vec{a}=-\frac{1}{10}\cdot \vec{a}. В результате, получим вектор, длина которого в десять раз меньше вектора a\vec{a}. Поскольку 110<0-\frac{1}{10}<0, то направление вектора 110a-\frac{1}{10}\cdot \vec{a} противоположно направлению вектора a\vec{a}.

Рисунок здесь попробуйте нарисовать сами.

Для умножения векторов на числа имеют место следующие свойства:

Свойства умножения векторов на числа

Ассоциативность умножения вектора на число:
λ(μa)=(λμ)a\lambda(\mu \vec{a})=(\lambda\mu)\vec{a}
Дистрибутивность умножения вектора на число относительно сложения чисел:
(λ+μ)a=λa+μa(\lambda+\mu)\vec{a}=\lambda\vec{a}+\mu\vec{a}
Дистрибутивность умножения вектора на число относительно сложения векторов:
λ(a+b)=λa+λb\lambda(\vec{a}+\vec{b})=\lambda\vec{a}+\lambda\vec{b}

Может возникнуть вопрос, для чего нам вообще нужно умножать векторы на числа. Дело в том, что эта операция, вместе с двумя другими линейными операциями над векторами (сложение и вычитание) представляет собой возможность получать новые векторы из уже данных нам. Например, во втором законе Ньютона в векторной форме:

2-й закон Ньютона

ma=Fm\vec{a}=\vec{F},

где

mm — масса тела;
a\vec{a} — вектор ускорения тела;
F\vec{F} — приложенный вектор силы к телу.

масса mm тела умножается на его ускорение a\vec{a}. Вот вам и пример умножения вектора на число.

+0
-0
Комментарии
Нет комментариев

Интересные статьи за сегодня

Как защищать курсовую работу

О том, как преподнести себя публике и уберечь нервную систему (не только свою), представляя свое научное детище, – читайте в нашей статье.
132 +20
1

Кто в России счастлив на работе

Кто в России счастлив на работе?
359 +20
3

Антиплагиат: что это такое

Детальный обзор систем антиплагиата: как с ними работать и как повысить уникальность
3462 +17
0

Сессия досрочно

Можно ли сдать экзамены раньше срока?
1306 +15
1
Хотите выполнять заказы?
Стать автором
Хотите заказать работу?
Разместить заказ