227
12 Сен в 16:5812.09.2018 в 16:58

Вектор-строка и вектор-столбец

Напомним определение матрицы.

Определение матрицы

Матрицей размера m×nm\times n называется прямоугольная таблица чисел, в которой mm строк и nn столбцов.

A=(a11...a1n.........am1...amn)A=\begin{pmatrix} a_{11}&...&a_{1n}\\ ...&...&...\\ a_{m1}&...&a_{mn} \end{pmatrix}

Рассмотрим два специальных вида матриц: вектор-строка и вектор-столбец.

Вектор-строка

Пусть m=1m=1. Тогда матрица называется вектор-строкой. Число nn будет называться длиной вектора-строки:

B=(b1...bn)B=\begin{pmatrix} b_1&...&b_n \end{pmatrix}

Вектор-столбец

Пусть n=1n=1. Тогда матрица называется вектор-столбцом. Число mm будет называться высотой вектора-столбца:

C=(c1...cm)C=\begin{pmatrix} c_1\\ ...\\ c_m \end{pmatrix}

В случае m=1m=1 и n=1n=1 получаем одноэлементную матрицу A=(a)A=(a), которую отождествляем с самим числом aa. В качестве примера: A=(3)=3A=(3)=3.

Операция транспонирования превращает вектор-строку в вектор-столбец и наоборот.

Пример

A=(158)A=\begin{pmatrix} 1&5&8 \end{pmatrix}

Если эту матрицу транспонировать, то есть заменить строки на столбцы, то получим:

AT=(158)A^T=\begin{pmatrix} 1\\ 5\\ 8 \end{pmatrix}

Теперь рассмотрим операции над вектор-строками и вектор-столбцами.

Сложение

Очевидно, что к одному вектору-столбцу высотой mm можно прибавить другой той же высоты, а к вектору-строке длиной nn можно прибавить другую той же длины и получить новый вектор-столбец или вектор-строку соответственно.

Пример

A=(271)A=\begin{pmatrix} 2\\ 7\\ 1 \end{pmatrix}

B=(370)B=\begin{pmatrix} 3\\ -7\\ 0 \end{pmatrix}

A+B=(2+3771+0)=(501)A+B=\begin{pmatrix} 2+3\\ 7-7\\ 1+0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}

Из правила сложения матриц следует, что вектор-строку к вектору-столбцу прибавить нельзя.

Умножение

Напомним, что умножение матриц в общем случае не коммутативно.

Рассмотрим произвольную матрицу:

A=(a11...a1n.........am1...amn)A=\begin{pmatrix} a_{11}&...&a_{1n}\\ ...&...&...\\ a_{m1}&...&a_{mn} \end{pmatrix}

Мы можем умножить ее на вектор-столбец по обычному правилу умножения матриц: количество столбцов в матрице АА должно равняться количеству строк вектора-столбца.

Пример

A=(012325160)A=\begin{pmatrix} 0&1&-2\\ 3&2&5\\ -1&6&0 \end{pmatrix}

B=(241)B=\begin{pmatrix} 2\\ 4\\ 1 \end{pmatrix}

AB=(012325160)(241)=(21922)A\cdot B=\begin{pmatrix} 0&1&-2\\ 3&2&5\\ -1&6&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2\\ 4\\ 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2\\ 19\\ 22 \end{pmatrix}

Аналогично можно умножить вектор строку на матрицу. Главное, чтобы длина этой строки (количество столбцов) равнялось числу строк матрицы.

Рассмотрим произвольные вектор-столбец и вектор-строку. Нас интересует, в каком случае их можно перемножить между собой.

B=(b1...bn)B=\begin{pmatrix} b_1&...&b_n \end{pmatrix}

C=(c1...cm)C=\begin{pmatrix} c_1\\ ...\\ c_m \end{pmatrix}

Можно выполнить умножение вектора-строки на вектор-столбец, если длина строки равна высоте столбца. Это очевидным образом следует из общего правила умножения матриц. Результатом будет одноэлементная матрица, которой, как было сказано выше, ставится в соответствие просто число.

Пример

B=(051)B=\begin{pmatrix} 0&-5&1 \end{pmatrix}

C=(113)C=\begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 3 \end{pmatrix}

BC=(051)(113)=0+5+3=8B\cdot C=\begin{pmatrix} 0&-5&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 3 \end{pmatrix}=0+5+3=8

Можно выполнить умножение CC на BB. Результатом будет квадратная матрица размером n×nn\times n (или, что то же самое, m×mm\times m, поскольку эти параметры одинаковы).

Пример

C=(113)C=\begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 3 \end{pmatrix}

B=(051)B=\begin{pmatrix} 0&-5&1 \end{pmatrix}

CB=(113)(051)=(0510510153)C\cdot B= \begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0&-5&1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0&-5&1\\ 0&5&-1\\ 0&-15&3 \end{pmatrix}

Вектор-строку и вектор-столбец, как и любую матрицу, можно умножить на произвольное число α\alpha. Для этого нужно все элементы вектора-строки или вектора-столбца умножить на это число.

+0
-0
Комментарии
Нет комментариев

Интересные статьи за сегодня

Кто в России счастлив на работе

Кто в России счастлив на работе?
358 +21
3

Как защищать курсовую работу

О том, как преподнести себя публике и уберечь нервную систему (не только свою), представляя свое научное детище, – читайте в нашей статье.
132 +20
1

Антиплагиат: что это такое

Детальный обзор систем антиплагиата: как с ними работать и как повысить уникальность
3462 +17
0

Образование за рубежом: все ли так идеально?

Студенты за рубежом выступают против платного образования и поддельных дипломов.
20 +14
0
Хотите выполнять заказы?
Стать автором
Хотите заказать работу?
Разместить заказ