Вектор-строка и вектор-столбец

Напомним определение матрицы.

Определение матрицы

Матрицей размера m×nm\times n называется прямоугольная таблица чисел, в которой mm строк и nn столбцов.

A=(a11...a1n.........am1...amn)A=\begin{pmatrix} a_{11}&...&a_{1n}\\ ...&...&...\\ a_{m1}&...&a_{mn} \end{pmatrix}

Рассмотрим два специальных вида матриц: вектор-строка и вектор-столбец.

Вектор-строка

Пусть m=1m=1. Тогда матрица называется вектор-строкой. Число nn будет называться длиной вектора-строки:

B=(b1...bn)B=\begin{pmatrix} b_1&...&b_n \end{pmatrix}

Вектор-столбец

Пусть n=1n=1. Тогда матрица называется вектор-столбцом. Число mm будет называться высотой вектора-столбца:

C=(c1...cm)C=\begin{pmatrix} c_1\\ ...\\ c_m \end{pmatrix}

В случае m=1m=1 и n=1n=1 получаем одноэлементную матрицу A=(a)A=(a), которую отождествляем с самим числом aa. В качестве примера: A=(3)=3A=(3)=3.

Операция транспонирования превращает вектор-строку в вектор-столбец и наоборот.

Пример

A=(158)A=\begin{pmatrix} 1&5&8 \end{pmatrix}

Если эту матрицу транспонировать, то есть заменить строки на столбцы, то получим:

AT=(158)A^T=\begin{pmatrix} 1\\ 5\\ 8 \end{pmatrix}

Теперь рассмотрим операции над вектор-строками и вектор-столбцами.

Сложение

Очевидно, что к одному вектору-столбцу высотой mm можно прибавить другой той же высоты, а к вектору-строке длиной nn можно прибавить другую той же длины и получить новый вектор-столбец или вектор-строку соответственно.

Пример

A=(271)A=\begin{pmatrix} 2\\ 7\\ 1 \end{pmatrix}

B=(370)B=\begin{pmatrix} 3\\ -7\\ 0 \end{pmatrix}

A+B=(2+3771+0)=(501)A+B=\begin{pmatrix} 2+3\\ 7-7\\ 1+0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}

Из правила сложения матриц следует, что вектор-строку к вектору-столбцу прибавить нельзя.

Умножение

Напомним, что умножение матриц в общем случае не коммутативно.

Рассмотрим произвольную матрицу:

A=(a11...a1n.........am1...amn)A=\begin{pmatrix} a_{11}&...&a_{1n}\\ ...&...&...\\ a_{m1}&...&a_{mn} \end{pmatrix}

Мы можем умножить ее на вектор-столбец по обычному правилу умножения матриц: количество столбцов в матрице АА должно равняться количеству строк вектора-столбца.

Пример

A=(012325160)A=\begin{pmatrix} 0&1&-2\\ 3&2&5\\ -1&6&0 \end{pmatrix}

B=(241)B=\begin{pmatrix} 2\\ 4\\ 1 \end{pmatrix}

AB=(012325160)(241)=(21922)A\cdot B=\begin{pmatrix} 0&1&-2\\ 3&2&5\\ -1&6&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2\\ 4\\ 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2\\ 19\\ 22 \end{pmatrix}

Аналогично можно умножить вектор строку на матрицу. Главное, чтобы длина этой строки (количество столбцов) равнялось числу строк матрицы.

Рассмотрим произвольные вектор-столбец и вектор-строку. Нас интересует, в каком случае их можно перемножить между собой.

B=(b1...bn)B=\begin{pmatrix} b_1&...&b_n \end{pmatrix}

C=(c1...cm)C=\begin{pmatrix} c_1\\ ...\\ c_m \end{pmatrix}

Можно выполнить умножение вектора-строки на вектор-столбец, если длина строки равна высоте столбца. Это очевидным образом следует из общего правила умножения матриц. Результатом будет одноэлементная матрица, которой, как было сказано выше, ставится в соответствие просто число.

Пример

B=(051)B=\begin{pmatrix} 0&-5&1 \end{pmatrix}

C=(113)C=\begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 3 \end{pmatrix}

BC=(051)(113)=0+5+3=8B\cdot C=\begin{pmatrix} 0&-5&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 3 \end{pmatrix}=0+5+3=8

Можно выполнить умножение CC на BB. Результатом будет квадратная матрица размером n×nn\times n (или, что то же самое, m×mm\times m, поскольку эти параметры одинаковы).

Пример

C=(113)C=\begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 3 \end{pmatrix}

B=(051)B=\begin{pmatrix} 0&-5&1 \end{pmatrix}

CB=(113)(051)=(0510510153)C\cdot B= \begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0&-5&1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0&-5&1\\ 0&5&-1\\ 0&-15&3 \end{pmatrix}

Вектор-строку и вектор-столбец, как и любую матрицу, можно умножить на произвольное число α\alpha. Для этого нужно все элементы вектора-строки или вектора-столбца умножить на это число.

+5
-0
Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат

Интересные статьи за сегодня

Как к ним подготовиться и что отвечать.
3333 +150
3
Делимся основными ошибками, которые из года в год допускают старшеклассники.
1376 +149
0
Признаки хорошего колледжа.
761 +107
0
Автор
Хотите выполнять заказы? Стать автором
Заказчик
Хотите заказать работу? Разместить заказ
Доверьте свою работу экспертам
Разместите заказ
Наша система отправит ваш заказ на оценку 33 747 авторам
Первые отклики появятся уже в течение 10 минут
Напишем уникальную работу
Скидка 10%