Вектор-строка и вектор-столбец

Напомним определение матрицы.

Определение матрицы

Матрицей размера $m\times n$ называется прямоугольная таблица чисел, в которой $m$ строк и $n$ столбцов.

$A=\begin{pmatrix} a_{11}&...&a_{1n}\\ ...&...&...\\ a_{m1}&...&a_{mn} \end{pmatrix}$

Рассмотрим два специальных вида матриц: вектор-строка и вектор-столбец.

Вектор-строка

Пусть $m=1$. Тогда матрица называется вектор-строкой. Число $n$ будет называться длиной вектора-строки:

$B=\begin{pmatrix} b_1&...&b_n \end{pmatrix}$

Вектор-столбец

Пусть $n=1$. Тогда матрица называется вектор-столбцом. Число $m$ будет называться высотой вектора-столбца:

$C=\begin{pmatrix} c_1\\ ...\\ c_m \end{pmatrix}$

В случае $m=1$ и $n=1$ получаем одноэлементную матрицу $A=(a)$, которую отождествляем с самим числом $a$. В качестве примера: $A=(3)=3$.

Операция транспонирования превращает вектор-строку в вектор-столбец и наоборот.

Пример

$A=\begin{pmatrix} 1&5&8 \end{pmatrix}$

Если эту матрицу транспонировать, то есть заменить строки на столбцы, то получим:

$A^T=\begin{pmatrix} 1\\ 5\\ 8 \end{pmatrix}$

Теперь рассмотрим операции над вектор-строками и вектор-столбцами.

Сложение

Очевидно, что к одному вектору-столбцу высотой $m$ можно прибавить другой той же высоты, а к вектору-строке длиной $n$ можно прибавить другую той же длины и получить новый вектор-столбец или вектор-строку соответственно.

Пример

$A=\begin{pmatrix} 2\\ 7\\ 1 \end{pmatrix}$

$B=\begin{pmatrix} 3\\ -7\\ 0 \end{pmatrix}$

$A+B=\begin{pmatrix} 2+3\\ 7-7\\ 1+0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}$

Из правила сложения матриц следует, что вектор-строку к вектору-столбцу прибавить нельзя.

Умножение

Напомним, что умножение матриц в общем случае не коммутативно.

Рассмотрим произвольную матрицу:

$A=\begin{pmatrix} a_{11}&...&a_{1n}\\ ...&...&...\\ a_{m1}&...&a_{mn} \end{pmatrix}$

Мы можем умножить ее на вектор-столбец по обычному правилу умножения матриц: количество столбцов в матрице $А$ должно равняться количеству строк вектора-столбца.

Пример

$A=\begin{pmatrix} 0&1&-2\\ 3&2&5\\ -1&6&0 \end{pmatrix}$

$B=\begin{pmatrix} 2\\ 4\\ 1 \end{pmatrix}$

$A\cdot B=\begin{pmatrix} 0&1&-2\\ 3&2&5\\ -1&6&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2\\ 4\\ 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2\\ 19\\ 22 \end{pmatrix}$

Аналогично можно умножить вектор строку на матрицу. Главное, чтобы длина этой строки (количество столбцов) равнялось числу строк матрицы.

Рассмотрим произвольные вектор-столбец и вектор-строку. Нас интересует, в каком случае их можно перемножить между собой.

$B=\begin{pmatrix} b_1&...&b_n \end{pmatrix}$

$C=\begin{pmatrix} c_1\\ ...\\ c_m \end{pmatrix}$

Можно выполнить умножение вектора-строки на вектор-столбец, если длина строки равна высоте столбца. Это очевидным образом следует из общего правила умножения матриц. Результатом будет одноэлементная матрица, которой, как было сказано выше, ставится в соответствие просто число.

Пример

$B=\begin{pmatrix} 0&-5&1 \end{pmatrix}$

$C=\begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 3 \end{pmatrix}$

$B\cdot C=\begin{pmatrix} 0&-5&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 3 \end{pmatrix}=0+5+3=8$

Можно выполнить умножение $C$ на $B$. Результатом будет квадратная матрица размером $n\times n$ (или, что то же самое, $m\times m$, поскольку эти параметры одинаковы).

Пример

$C=\begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 3 \end{pmatrix}$

$B=\begin{pmatrix} 0&-5&1 \end{pmatrix}$

$C\cdot B= \begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0&-5&1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0&-5&1\\ 0&5&-1\\ 0&-15&3 \end{pmatrix}$

Вектор-строку и вектор-столбец, как и любую матрицу, можно умножить на произвольное число $\alpha$. Для этого нужно все элементы вектора-строки или вектора-столбца умножить на это число.

Заказать статью по математике у экспертов биржи Студворк!