406
23 Июл в 16:2923.07.2018 в 16:29

Возведение матрицы в степень

Мы уже знакомы с понятием матрицы, с основными действиями над ней. Перед тем, как начать изучение новой темы необходимо вспомнить операцию умножения матриц. В процессе изучения темы нами будет рассмотрен новый материал и отработаны действия над матрицами. Приступим к рассмотрению темы.
Операция возведения в степень kk определена только для квадратных матриц, т.е. матриц размера k×kk\times k (матриц kk-го порядка) — 2×22\times 2, 3×33\times 3 и т.д. Кроме того, показатель степени (число в которое мы возводим матрицу) должен быть натуральным: 1,2,3,4,5,1, 2, 3, 4, 5, …

Возведение матрицы в степень

Для того чтобы возвести матрицу AA в степень kk, необходимо умножить матрицу AA саму на себя kk раз: Ak=AA...AA^{k}=A\cdot A\cdot...\cdot A.

Таким образом,

A2=AAA^{2}=A\cdot A,

A3=AAAA^{3}=A\cdot A\cdot A,

A4=AAAAA^{4}=A\cdot A\cdot A\cdot A и т.д.

Для степеней матрицы справедливо следующее свойство: AtAf=At+fA^{t}\cdot A^{f}=A^{t+f}.

Пример 1

Найти A3A^{3} для матрицы A=(25171011)A=\begin{pmatrix}25&17\\10&11\end{pmatrix}.

По свойству степеней: A3=A2AA^{3}=A^{2}\cdot A.

A2=AA=(25171011)(25171011)=A^{2}=A\cdot A=\begin{pmatrix}25&17\\10&11\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}25&17\\10&11\end{pmatrix}=

=(2525+17102517+17111025+11101017+1111)=(795612360291)=\begin{pmatrix}25\cdot25+17\cdot10&25\cdot17+17\cdot11\\10\cdot25+11\cdot10&10\cdot17+11\cdot11\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}795&612\\360&291\end{pmatrix}.

A3=A2A=(795612360291)(25171011)=A^{3}=A^{2}\cdot A=\begin{pmatrix}795&612\\360&291\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}25&17\\10&11\end{pmatrix}=

=(79525+6121079517+6121136025+2911036017+29111)=(2599520247119109321)=\begin{pmatrix}795\cdot25+612\cdot10&795\cdot17+612\cdot11\\360\cdot25+291\cdot10&360\cdot17+291\cdot11\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}25995&20247\\11910&9321\end{pmatrix}.

Значит, A3=(2599520247119109321)A^{3}=\begin{pmatrix}25995&20247\\11910&9321\end{pmatrix}.

Пример 2

Найти B4B^{4} для матрицы B=(573418962)B=\begin{pmatrix}5&7&3\\4&1&8\\9&6&2\end{pmatrix}.

По свойству степеней: B4=B2B2B^{4}=B^{2}\cdot B^{2}.

B2=BB=(573418962)(573418962)=B^{2}=B\cdot B=\begin{pmatrix}5&7&3\\4&1&8\\9&6&2\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}5&7&3\\4&1&8\\9&6&2\end{pmatrix}=

=(55+74+3957+71+3653+78+3245+14+8947+11+8643+18+8295+64+2997+61+2693+68+22)=(806077967736878179)\begin{pmatrix}5\cdot5+7\cdot4+3\cdot9&5\cdot7+7\cdot1+3\cdot6&5\cdot3+7\cdot8+3\cdot2\\4\cdot5+1\cdot4+8\cdot9&4\cdot7+1\cdot1+8\cdot6&4\cdot3+1\cdot8+8\cdot2\\9\cdot5+6\cdot4+2\cdot9&9\cdot7+6\cdot1+2\cdot6&9\cdot3+6\cdot8+2\cdot2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}80&60&77\\96&77&36\\87&81&79\end{pmatrix}.

B4=B2B2=(806077967736878179)(806077967736878179)=B^{4}=B^{2}\cdot B^{2}=\begin{pmatrix}80&60&77\\96&77&36\\87&81&79\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}80&60&77\\96&77&36\\87&81&79\end{pmatrix}=

=(8080+6096+77878060+6077+77818077+6036+77799680+7796+36879660+7777+36819677+7736+36798780+8196+79878760+8177+79818777+8136+7979)==\begin{pmatrix}80\cdot80+60\cdot96+77\cdot87&80\cdot60+60\cdot77+77\cdot81&80\cdot77+60\cdot36+77\cdot79\\96\cdot80+77\cdot96+36\cdot87&96\cdot60+77\cdot77+36\cdot81&96\cdot77+77\cdot36+36\cdot79\\87\cdot80+81\cdot96+79\cdot87&87\cdot60+81\cdot77+79\cdot81&87\cdot77+81\cdot36+79\cdot79\end{pmatrix}=

=(188591565714403182041460513008216091785615856)=\begin{pmatrix}18859&15657&14403\\18204&14605&13008\\21609&17856&15856\end{pmatrix}.

Значит, B4=(188591565714403182041460513008216091785615856)B^{4}=\begin{pmatrix}18859&15657&14403\\18204&14605&13008\\21609&17856&15856\end{pmatrix}.

Автор статьи
+1
-0
Комментарии
Нет комментариев

Интересные статьи за сегодня

Кто в России счастлив на работе

Кто в России счастлив на работе?
358 +21
3

Как защищать курсовую работу

О том, как преподнести себя публике и уберечь нервную систему (не только свою), представляя свое научное детище, – читайте в нашей статье.
132 +20
1

Антиплагиат: что это такое

Детальный обзор систем антиплагиата: как с ними работать и как повысить уникальность
3462 +17
0

Образование за рубежом: все ли так идеально?

Студенты за рубежом выступают против платного образования и поддельных дипломов.
20 +14
0
Хотите выполнять заказы?
Стать автором
Хотите заказать работу?
Разместить заказ