86
26 Ноя 2018 в 12:39 26.11.2018 в 12:39

Вычисление неопределенного интеграла

Содержание

Задача дифференциального исчисления – нахождение производной от заданной функции y = f (x). Задача интегрального исчисления противоположная: нужно определить функцию, производная от которой известна. Фундаментальными понятиями интегрального исчисления является понятие первообразной и неопределенного интеграла.

Понятие неопределенного интеграла

Пусть функция FF – первоначальная для ff на JJ.

Неопределенный интеграл

Неопределенным интегралом от функции ff называется совокупность всех первообразных этой функции, то есть выражение

f(x)dx=F(x) +C,xJ,\int{f(x)dx}=F(x)\text{ }+C,x\in J,

где CRC ∈ R – произвольная постоянная.

Функция ff называется подынтегральной функцией, f(x)dxf (x) dx – подынтегральное выражение, CC – постоянной интегрирования, xx – переменной интегрирования.

С геометрической точки зрения неопределенный интеграл – это совокупность (семья) линий F(x)+CF (x) + C:

интеграл.png

Неопределенным интегралом от функции f(x)=2xf (x) = 2x является совокупность ее первоначальных x2+Cx^2 + C, где CC – произвольная постоянная.

Свойства неопределенного интеграла

Из определения первоначальной и неопределенного интеграла вытекают следующие свойства (при условии существования первообразныхи производных на интервале JJ):

  1. ddxf(x)dx=f(x),xJ\frac{d}{dx}\int{f(x)}dx=f(x),x\in J;
  2. f(x)dx=f(x),xJ\int{{f}'(x)}dx=f(x),x\in J;
  3. αR,α0:αf(x)dx=αf(x)dx,xJ\forall \alpha \in R,\alpha \ne 0:\int{\alpha f(x)}dx=\alpha \int{f(x)}dx,x\in J;
  4. (f1(x)+f2(x))dx=f1(x)dx+f2(x)dx,xJ.\int{({{f}_{1}}(x)+{{f}_{2}}(x))}dx=\int{{{f}_{1}}(x)}dx+\int{{{f}_{2}}(x)}dx,x\in J.

Методы вычисления неопределенных интегралов

Для вычисления неопределенных интегралов используются
• Таблица основных формул интегрирования
• Метод подстановки (или формула замены переменной)
• Метод интегрирования по частям

Таблица основных интегралов

таблица неопределенных интегралов.jpg

Метод подстановки (замены переменной)

Этот метод включает два приема.

a) Если для нахождения заданного интеграла f(x)dx∫f(x)dx сделать подстановку x=φ(t)x = φ(t), тогда имеет место равенство: f(x)dx=f[φ(t)]φ˙(t)dt∫f(x)dx = ∫f[φ(t)]φ˙(t)d t

После нахождения последнего интеграла надо вернуться к исходной переменной интегрирования х. Для применения этого приема нужно, чтобы функция хφ(t)х - φ (t) имела обратную t=ψ(х)t = ψ (х).

б) Если сделать замену переменной, то есть t=φ(x)t = φ (x), тогда имеет место равенство: f[φ(x)]φ(x)dx=f(t)dt∫ f[φ(x)]φ'(x)dx = ∫f(t)dt

После нахождения последнего интеграла надо вернуться к переменной х, используя равенство t=φ(х)t = φ (х).

Пример 1

Найти интеграл
I=x2dx25x2I=\int{\frac{{{x}^{2}}dx}{\sqrt{25-{{x}^{2}}}}}

Решение

Сделаем подстановку x=5sintx = 5 sin t, тогда

Таким образом, получим

I=25sin2t5costdt5cost=25sin2tdt=2512(1cos2t)dt=252(dtcos2tdt)=252t254sin2t+CI=\int{\frac{25{{\sin }^{2}}t\cdot 5\cos tdt}{5\cos t}}=25\int{{{\sin }^{2}}t}dt=25\frac{1}{2}\int{(1-cos2t)}dt=\frac{25}{2}(\int{dt-\int{\cos 2tdt}})=\frac{25}{2}t-\frac{25}{4}\sin 2t+C

Из равенства x=5sintx = 5sint получим t=arcsin(x/5)t = arcsin(x/5);

sin2t=2sintcost=2x51525x2sin2t=2sint\cdot cost=\frac{2x}{5}\cdot \frac{1}{5}\sqrt{25-{{x}^{2}}}

Итак,

I=252arcsinx5x225x2+CI=\frac{25}{2}\arcsin \frac{x}{5}-\frac{x}{2}\sqrt{25-{{x}^{2}}}+C

Метод интегрирования по частям

Этот метод применяется тогда, когда под интегралом находится произведение функций, и хотя бы одна из них является трансцендентной (не степенной).
Пусть uu и vv – некоторые функции xx, то есть u=u(x)u = u (x), v=v(x)v = v (x)

Рассмотрим дифференциал произведения этих функций.

d(uv)=udv+vdud (u v) = u dv + v du

Интегрируя обе части равенства, получим d(uv)=udv+vdu∫ d(u ⋅ v) = ∫ u dv + ∫ v du

Отсюда, учитывая свойство неопределенного интеграла, имеем

uv=udv+vduu ⋅ v = ∫ u dv + ∫ v du

Итак, получили формулу udv=uvvdu∫ u d v = u v - ∫ v du, которую называют формулой интегрирования по частям.

Эта формула позволяет свести поиск интеграла u dvdv.

Пример 2

Найти lnxdx∫ lnx dx
Решение. Пусть u=lnxu = lnx,$ v=xv = x, dv=dxdv = dx, du/dx=d(lnx)/dx=1/xdu / dx = d (ln x) / dx = 1 / x, du=d(lnx)=dx/xdu = d (ln x) = dx / x.
По формуле интегрирования по частям получим:

lnxdx=xlnxdx=xlnxx+C\int{\ln xdx}=x\ln x-\int{dx=x\ln x-x+C}.

Автор статьи
+0
-0
Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат

Интересные статьи за сегодня

Мы изучили несколько самых необычных предложений насчет ЕГЭ и решили пофантазировать, что будет, если их решат принять.
27614 +3867
0
Что делать, если не сдал ЕГЭ?
8635 +362
0
Блоги, стажировки, собственные проекты – возможностей масса, но что выбрать?
498 +241
0
Почему Оксфорд был самым опасным городом в Средние века?
280 +139
0
Детальный обзор систем антиплагиата: как с ними работать и как повысить уникальность
8064 +73
6
Хотите выполнять заказы?
Стать автором
Хотите заказать работу?
Разместить заказ
Доверьте свою работу экспертам
Разместите заказ
Наша система отправит ваш заказ на оценку более 30 337 авторам
Первые отклики появятся уже в течение 10 минут