Смешанное произведение векторов равно определителю матрицы, составленной из этих векторов.
Если векторное произведение является вектором, то смешанное произведение – числом. Обозначается смешанное произведение следующим образом: a ⃗ ⋅ b ⃗ ⋅ c ⃗ , a ⃗ b ⃗ c ⃗ , ( a ⃗ , b ⃗ , c ⃗ ) . \vec{a} \cdot \vec{b} \cdot \vec{c}, \vec{a}\vec{b}\vec{c}, (\vec{a},\vec{b},\vec{c}). a ⋅ b ⋅ c , a b c , ( a , b , c ) .
Смешанное произведение векторов a ⃗ = { a x ; a y ; a z } , b ⃗ = { b x ; b y ; b z } , c ⃗ = { c x ; c y ; c z } \vec{a}=\left \{ a_{x};a_{y};a_{z} \right \}, \vec{b}=\left \{ b_{x};b_{y};b_{z} \right \}, \vec{c}=\left \{ c_{x};c_{y};c_{z} \right \} a = { a x ; a y ; a z } , b = { b x ; b y ; b z } , c = { c x ; c y ; c z } a ⃗ ⋅ b ⃗ ⋅ c ⃗ = ∣ a x a y a z b x b y b z c x c y c z ∣ . \vec{a} \cdot \vec{b} \cdot \vec{c}=\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\end{vmatrix}. a ⋅ b ⋅ c = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a x b x c x a y b y c y a z b z c z ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ .
Пример 1
Найти смешанное произведение векторов a ⃗ = { 1 ; 2 ; 3 } , b ⃗ = { − 1 ; − 1 ; − 3 } \vec{a}=\left \{ 1;2;3 \right \}, \vec{b}=\left \{ -1;-1;-3 \right \} a = { 1 ; 2 ; 3 } , b = { − 1 ; − 1 ; − 3 } c ⃗ = { 5 ; 3 ; 0 } . \vec{c}=\left \{ 5;3;0 \right \}. c = { 5 ; 3 ; 0 } .
Решение
Подставим в формулу a ⃗ ⋅ b ⃗ ⋅ c ⃗ = ∣ a x a y a z b x b y b z c x c y c z ∣ \vec{a} \cdot \vec{b} \cdot \vec{c}=\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\end{vmatrix} a ⋅ b ⋅ c = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a x b x c x a y b y c y a z b z c z ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ определитель третьего порядка .
Получим: a ⃗ ⋅ b ⃗ ⋅ c ⃗ = ∣ 1 2 3 − 1 − 1 − 3 5 3 0 ∣ = 1 ⋅ ( − 1 ) 2 ⋅ ∣ − 1 − 3 3 0 ∣ + 2 ⋅ ( − 1 ) 3 ⋅ ∣ − 1 − 3 5 0 ∣ + 3 ⋅ ( − 1 ) 4 ⋅ ∣ − 1 − 1 5 3 ∣ = 0 + 9 − 2 ⋅ 15 + 3 ⋅ ( − 3 + 5 ) = 9 − 30 + 6 = − 15. \vec{a} \cdot \vec{b} \cdot \vec{c}=\begin{vmatrix}1&2&3\\-1&-1&-3\\5&3&0\end{vmatrix}=1\cdot(-1)^2\cdot\begin{vmatrix}-1&-3\\3&0\end{vmatrix}+2\cdot(-1)^3\cdot\begin{vmatrix}-1&-3\\5&0\end{vmatrix}+3\cdot(-1)^4\cdot\begin{vmatrix}-1&-1\\5&3\end{vmatrix}=0+9-2\cdot15+3\cdot(-3+5)=9-30+6=-15. a ⋅ b ⋅ c = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 − 1 5 2 − 1 3 3 − 3 0 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 1 ⋅ ( − 1 ) 2 ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ − 1 3 − 3 0 ∣ ∣ ∣ ∣ + 2 ⋅ ( − 1 ) 3 ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ − 1 5 − 3 0 ∣ ∣ ∣ ∣ + 3 ⋅ ( − 1 ) 4 ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ − 1 5 − 1 3 ∣ ∣ ∣ ∣ = 0 + 9 − 2 ⋅ 1 5 + 3 ⋅ ( − 3 + 5 ) = 9 − 3 0 + 6 = − 1 5 .
Пример 2
Найти смешанное произведение векторов e ⃗ = { 0 ; 4 ; 2 } , k ⃗ = { − 1 ; 2 ; 6 } и f ⃗ = { 3 ; 0 ; 1 } . \vec{e}=\left \{0;4;2 \right \}, \vec{k}=\left \{ -1;2;6 \right \} и \vec{f}=\left \{ 3;0;1 \right \}. e = { 0 ; 4 ; 2 } , k = { − 1 ; 2 ; 6 } и f = { 3 ; 0 ; 1 } .
Решение
Подставим в формулу a ⃗ ⋅ b ⃗ ⋅ c ⃗ = ∣ a x a y a z b x b y b z c x c y c z ∣ \vec{a} \cdot \vec{b} \cdot \vec{c}=\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\end{vmatrix} a ⋅ b ⋅ c = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a x b x c x a y b y c y a z b z c z ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ определитель третьего порядка .
Получим: e ⃗ ⋅ k ⃗ ⋅ f ⃗ = ∣ 0 4 2 − 1 2 6 3 0 1 ∣ = 0 ⋅ ( − 1 ) 2 ⋅ ∣ 2 6 0 1 ∣ + 4 ⋅ ( − 1 ) 3 ⋅ ∣ − 1 6 3 1 ∣ + 2 ⋅ ( − 1 ) 4 ⋅ ∣ − 1 2 3 0 ∣ = 0 ⋅ 2 − 4 ⋅ ( − 1 − 18 ) + 2 ⋅ ( 0 − 6 ) = 0 − 4 ⋅ ( − 19 ) − 2 ⋅ 6 = 76 − 12 = 64. \vec{e} \cdot \vec{k} \cdot \vec{f}=\begin{vmatrix}0&4&2\\-1&2&6\\3&0&1\end{vmatrix}=0\cdot(-1)^2\cdot\begin{vmatrix}2&6\\0&1\end{vmatrix}+4\cdot(-1)^3\cdot\begin{vmatrix}-1&6\\3&1\end{vmatrix}+2\cdot(-1)^4\cdot\begin{vmatrix}-1&2\\3&0\end{vmatrix}=0\cdot2-4\cdot(-1-18)+2\cdot(0-6)=0-4\cdot(-19)-2\cdot6=76-12=64. e ⋅ k ⋅ f = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 0 − 1 3 4 2 0 2 6 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 0 ⋅ ( − 1 ) 2 ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ 2 0 6 1 ∣ ∣ ∣ ∣ + 4 ⋅ ( − 1 ) 3 ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ − 1 3 6 1 ∣ ∣ ∣ ∣ + 2 ⋅ ( − 1 ) 4 ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ − 1 3 2 0 ∣ ∣ ∣ ∣ = 0 ⋅ 2 − 4 ⋅ ( − 1 − 1 8 ) + 2 ⋅ ( 0 − 6 ) = 0 − 4 ⋅ ( − 1 9 ) − 2 ⋅ 6 = 7 6 − 1 2 = 6 4 .
Статья по математике на заказ от проверенных исполнителей!
Комментарии