Системы линейных дифференциальных уравнений

1. Метод исключения

а) Решите систему линейных однородных дифференциальных уравнений

x'= -4x+5y-3z;

y' = -3x+4y-2z;

z' = x-y+z;

методом исключения. Решение должно быть подробным (что к чему прибавляется, какие уравнения решаются, какие решения получаются).

Запишите общее решение в координатном, векторном и матричном виде (укажите где какой). Запишите ФСР (фундаментальную совокупность решений). Проверьте подстановкой, что все столбцы являются решением исходной системы. Проверьте линейную независимость этих столбцов с помощью определителя Вронского.

б) Используя ФСР предыдущего пункта найти матричную экспоненту еxp(t*A) , где А - матрица системы предыдущего пункта.

Запишите матрицу еxp(t) .

2. Метод неопределенных коэффициентов.

а) Решите систему пункта 1 методом неопределенных коэффициентов. Решение должно подробным до получения системы алгебраических уравнений. Решение самой алгебраической системы можно в работу не включать.

Запишите общее решение в координатном, векторном и матричном виде (укажите где какой). Запишите ФСР. Проверьте подстановкой, что все столбцы являются решением исходной системы. Проверьте линейную независимость этих столбцов с помощью определителя Вронского.

Запишите W(2)/W(0), где W(t) - определитель Вронского ФСР, полученной в этом пункте.

3. Метод вариации произвольных постоянных.

Используя ФСР из пункта 1 или 2, решите неоднородную систему

x' = -4x+5y- 3z+e^3t;

y'=-3x+4y-2z;

z' = x - y + z +2e^(3t) ;

методом вариации произвольных постоянных.

Решение должно быть подробным (решение системы, интегрирование по частям, замена переменных и т.п.), ответ должен быть упрощен и записан в координатном или векторном виде.

Запишите x(t), y(t), z(t) для случая C1=C2=C3=0, где С1, С2, С3 константы из общего решения, полученного методом вариации. Найдите значения x, y, z при t=1.

4. Задача Коши.

Используя решение из пункта 3, решите задачу Коши:

x'=-4x+5y-3z+e^3t;

y' = -3x + 4y-2z ;

z' = x - y + z +2e^3t

y(0) =- 1 ; z(0) = 0 ; x(0) = 0

Решение должно быть подробно прокомментировано (что и куда подставляется, как получается система алгебраических уравнений, как решается). Ответ запишите в координатном виде.

Найдите значения полученного в этом пункте решения при t = 1: x(1), y(1), z(1)