Невыразимость условия конечности (связности, чётности-нечётности и др.) на языке первого порядка

Тема:Невыразимость условия конечности (связности, чётности-нечётности и др.) на языке первого порядка.
Работа выполняется с помощью игр Эренфойхта.
Я начала делать, но возникают проблемы. Нужно доказать 4 условия. Прикрепляю фаил с черновой работой. Аналогично первому условию нужно доказать остальные 3. Для каждого из случаев необходимо написать алгоритмы выигрышной стратегии Повторителя, умеренно короткие и доступные пониманию. А так же нужно доказать, что написанный алгоритм действительно описывает выигрышную стратегию Повторителя. Так же есть теория по играм Эренфойхта. Тоже прикреплю. Методички нет.
Сроки выполнения работы - чем быстрее, тем лучше. Главное, чтобы было написано доступным языком.