Математика//ТЕСТ 2/Витте
точки на совпадение Ответ 3 Выберите... построить каноническое уравнение 2. Дан четырехугольник ABCD с вершинами Найти угол между диагоналями. (ответ записать в виде числа, например, получив
Математика (ответы на вступительный тест МТИ/МОИ)
*Параллелограмм – четырехугольник, у которого равны все стороны *Параллелограмм – четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны *Параллелограмм – четырехугольник, у которого две
Найдите площадь четырехугольника ABCD с вершинами в точках A(2;7), B(1;4) , C(2;-1) и D(-4;4) Желательно с…
Найдите площадь четырехугольника ABCD с вершинами в точках A(2;7), B(1;4) , C(2;-1) и D(-4;4) Желательно с решением, а не просто ответ. Более важно просто понять как это решается, а не сам ответ
Ответ на вопрос
Для того чтобы найти площадь четырехугольника ABCD, нужно разбить его на два треугольника и найти их площади, а затем сложить их.Площадь треугольника можно найти по формуле Герона: S = √p(p-a)(p-b)(p-c), где p - полупериметр треугольника, a, b, c - длины сторон треугольника.Длины сторон треугольника ABC:
AB = √((1-2)^2 + (4-7)^2) = √((-1)^2 + (-3)^2) = √(1 + 9) = √10
BC = √((2-1)^2 + (-1-4)^2) = √(1 + 25) = √26
AC = √((2-2)^2 + (-1-7)^2) = √(64) = 8Полупериметр треугольника ABC:
p = (AB + BC + AC) / 2 = (√10 + √26 + 8) / 2 ≈ (3.16 + 5.10 + 8) / 2 ≈ 16.26 / 2 ≈ 8.13Площадь треугольника ABC:
S(ABC) = √(8.13 (8.13 - √10) (8.13 - √26) (8.13 - 8)) ≈ √(8.13 5.13 3.13 0.13) ≈ √(169.647) ≈ 13.02Точно также находим длины сторон треугольника BCD и его площадь, после чего складываем две найденные площади.Получаем, что площадь четырехугольника ABCD ≈ 13.02 + S(BCD).
Еще
В четырехугольнике ABCD AB=5, BC=3, AD= √3, ∠B=60° и ∠D=90°. Найдите CD.
В четырехугольнике ABCD AB=5, BC=3, AD= √3, ∠B=60° и ∠D=90°. Найдите CD.
Ответ на вопрос
Для начала, найдем длину стороны AC с помощью теоремы косинусов в треугольнике ABC:
AC² = AB² + BC² - 2ABBCcos(∠B)
AC² = 5² + 3² - 253cos(60°)
AC² = 25 + 9 - 30*0.5
AC² = 25 + 9 - 15
AC² = 19
AC = √19Теперь найдем длину стороны CD с помощью теоремы Пифагора в треугольнике ACD:
CD² = AC² + AD²
CD² = 19 + 3
CD² = 22
CD = √22Итак, CD = √22.
Еще
Является ли ABCD паралеллограммом? В окружность вписан четырехугольник ABCD, BC||AD, AB = CD. ABCD - паралеллограмм?…
Является ли ABCD паралеллограммом? В окружность вписан четырехугольник ABCD, BC||AD, AB = CD. ABCD - паралеллограмм?
Ответ на вопрос
Да, ABCD - параллелограмм.Поскольку BC||AD, углы BCD и ADC равны (альтернативный угол). Также, углы в центральной окружности, соответствующие углам BCD и ADC, также равны. Следовательно, углы BCD и ADC равны и углы ABC и CDA равны.Таким образом, все углы параллелограмма ABCD равны, и он является параллелограммом.
Еще
Дан четырехугольник ABCD, AB = CD, BC = AD, ∠A=30°. Точка E∈BC, ∠CDE=60°. Докажите, что ABED - прямоугольная…
Дан четырехугольник ABCD, AB = CD, BC = AD, ∠A=30°. Точка E∈BC, ∠CDE=60°. Докажите, что ABED - прямоугольная трапеция. Желательно с чертежом.
Ответ на вопрос
Для начала обозначим точку M - середину отрезка CD. Тогда AB = CD = DM, BC = AD = AM. Рассмотрим треугольник CME.Так как CD = DM, ∠C = ∠D = 30°, то треугольник CDM равнобедренный. Следовательно, ∠CDM = 75°, а значит, ∠MCD = 180° - 75° = 105°.Так как CD = DM, то M находится на середине CD. Следовательно, AM = MC и ∠AMC = ∠MCD = 105°.Теперь рассмотрим треугольник AED. Из условия ∠A = ∠D = 30°, AB = CD = DM, AD = BC = AM, получаем, что треугольники AED и CDM равны по трем сторонам. Следовательно, ∠AED = ∠CMD.Теперь вернемся к треугольнику CDM. Так как ∠CDM = 75°, а ∠CMD = ∠AED, то ∠AED = 75°. Также из равенства сторон AB = CD = DM и AD = BC = AM следует, что AE = DM = AB и ED = AM = BC. Поэтому ABED можно назвать прямоугольной трапецией.Чертеж:
A_____D
\ /
\ /
B \ / E
\ /
\ /
C
Еще
В четырехугольнике ABCD AB=3, BC=5, CD=6, AD=4, АС=7. Диагонали пересекаются в точке О. Найдите угол AOВ…
В четырехугольнике ABCD AB=3, BC=5, CD=6, AD=4, АС=7. Диагонали пересекаются в точке О. Найдите угол AOВ
Ответ на вопрос
Для начала найдем длины диагоналей. Рассмотрим треугольник AOB, в котором известны стороны AB=3, AO и BO - неизвестные стороны. По теореме косинусов:AO^2 + BO^2 - 2 AO BO * cos(AOB) = AB^2AO^2 + BO^2 - 2 AO BO * cos(AOB) = 3^2Аналогично для треугольника COD, в котором известны стороны CD=6, CO и DO - неизвестные стороны:CO^2 + DO^2 - 2 CO DO * cos(COD) = CD^2CO^2 + DO^2 - 2 CO DO * cos(COD) = 6^2Так как AC - диагональ, то она равна AO + OC = 7, а значит AO = CO. Так как AD - диагональ, то она равна BO + DO = 4, а значит BO = DO. Таким образом, мы получаем систему уравнений:AO^2 + BO^2 - 2 AO BO cos(AOB) = 9 --------------(1)
AO^2 + BO^2 - 2 AO BO cos(AOB) = 9 --------------(2)Выразим cos(AOB) и cos(COD) из уравнения (1) и (2) соответственно и подставим их в выражения для углов:cos(AOB) = (AO^2 + BO^2 - 9) / (2 AO BO)
cos(COD) = (CO^2 + DO^2 - 36) / (2 CO DO)Учитывая равенство длин диагоналей, из уравнений было также следует, что AO^2 + BO^2 = CO^2 + DO^2 получаем, чтоcos(AOB) = (AO^2 + BO^2 - 9) / (2 AO BO) = (CO^2 + DO^2 - 36) / (2 CO DO) Выразим cos(AOB) через угол BOC. Введем обозначение --> AOB = x, AOC = y уравним теперь cos(AOB) и cos(y + x):cos(x) = cos(y + x)cosx = cosycosx - sinysiny1 = cos(BOC)Осталось сосчитать угол --> x = arcsin(1/3) ≈ 1.82 рад. ≈ 104 °.
Еще
В четырехугольнике ABCD стороны AD и CD равны, АВ = а. ВС = b. В четырехугольнике ABCD стороны AD и CD равны, АВ =…
В четырехугольнике ABCD стороны AD и CD равны, АВ = а. ВС = b. В четырехугольнике ABCD стороны AD и CD равны, АВ = а. ВС = b. Окружности, вписанные в треугольники ABD и CBD, касаются BD в точках К и
Ответ на вопрос
Поскольку вписанная окружность касается стороны треугольника в точке касания, то она делит эту сторону на два отрезка, равные радиусу окружности. Поэтому BD = BK + KD и BD = BM + MD.Так как треугольники ABD и CBD являются прямоугольными, то AB^2 = AK AD и BC^2 = BC CM.Из условия известно что AB = a и BC = b. Также из условия известно что к K, D, A мы можем провести прямую. Таким образом AK = AD - KD = 2r и через него мы можем найти катет АD. А из него найти гипотенузу BD. После этого через BD и BC мы можем найти КМ.
Еще
Четырехугольник АВСD описан около окружности. АВ = 15,2 см, ВС = 9,8 см, СD = 7,3 см. Найдите периметр ABCD 1) 45…
Четырехугольник АВСD описан около окружности. АВ = 15,2 см, ВС = 9,8 см, СD = 7,3 см. Найдите периметр ABCD 1) 45 см 2) 32,3 см 3) 50 см
Ответ на вопрос
Для решения задачи найдем радиус описанной окружности по формуле:r = (AB BC CD) / (4 * S), где S - площадь четырехугольника АBCD, которую можно найти по формуле Герона:S = √p(p - AB)(p - BC)(p - CD), где p - полупериметр четырехугольника.Далее найдем периметр ABCD, который равен сумме всех сторон четырехугольника.1) r = (15.2 9.8 7.3) / (4 √26.15 6.95 1.35 8.85) = 26.9 / 34.09 = 0.79 см
Периметр ABCD = AB + BC + CD = 15.2 + 9.8 + 7.3 + 15.2 = 32.3 см2) r = (15.2 9.8 7.3) / (4 √16.75 6.55 1.25 8.85) = 26.9 / 32.41 = 0.83 см
Периметр ABCD = AB + BC + CD = 15.2 + 9.8 + 7.3 + 15.2 = 32.3 см3) r = (15.2 9.8 7.3) / (4 √30.56 5.78 2.48 9.42) = 26.9 / 41.95 = 0.64 см
Периметр ABCD = AB + BC + CD = 15.2 + 9.8 + 7.3 + 15.2 = 47.5 смИтак, периметр ABCD равен:
1) 32.3 см
2) 32.3 см
3) 47.5 см
Еще
В выпуклом четырехугольнике ABCD угол В=21 градусов, угол D равен 125 градусов, АВ=ВС AD=CD. найдите угол А…
В выпуклом четырехугольнике ABCD угол В=21 градусов, угол D равен 125 градусов, АВ=ВС AD=CD. найдите угол А
Ответ на вопрос
Поскольку AB=BC, то угол ABC равен углу ACB. Обозначим этот угол за x.Также из условия известно, что угол D равен 125 градусов.Тогда сумма углов в четырехугольнике равна 360 градусов:
A + B + C + D = 360
A + x + x + 125 = 360
A + 2x + 125 = 360
A + 2x = 235Также из условия известно, что угол B равен 21 градус:
B + x = 180
21 + x = 180
x = 180 - 21
x = 159Подставим найденное значение x в уравнение A + 2x = 235:
A + 2*159 = 235
A + 318 = 235
A = 235 - 318
A = -83Угол А равен -83 градуса. Однако у нас нет отрицательных углов, поэтому вопрос поставлен некорректно.
Еще
Дан выпуклый четырехугольник ABCDABCD. На его диагоналях AC и BDвыбрали точки E и F соответственно. Оказалось,…
Дан выпуклый четырехугольник ABCDABCD. На его диагоналях AC и BDвыбрали точки E и F соответственно. Оказалось, что AE/EC=DF/FB=3, причем точка пересечения диагоналей четырехугольника ABCD лежит внутри
Ответ на вопрос
Обозначим точку пересечения диагоналей как O. Пусть S1 – площадь треугольника AOE, S2 – площадь треугольника COE, S3 – площадь треугольника DOF, S4 – площадь треугольника BOF, S5 – площадь четырехугольника EBCF.Так как AE/EC=3, то S1 = 3S2, и так как DF/FB=3, то S3 = 3S4.Площадь ABCD равна сумме площадей треугольников AOE, COE, DOF и BOF: S = S1 + S2 + S3 + S4 = 3S2 + S2 + 3S4 + S4 = 7S2 + 4S4 = 64.Также мы знаем, что S = S1 + S2 + S3 + S4 + S5 = 64 + S5, откуда S5 = S – 64 = 7S2 + 4S4 – 64 = 7S2 + 4S4 – 7S2 – 4S4 = 0.Таким образом, площадь четырехугольника EBCF равна 0.
Еще
Олимпиада по геометрии Дан треугольник ABC со сторонами AB = 18; BC = 15. На биссектрисе угла B отложили точку…
точку D так, что BD = AC. Известно, что площадь треугольника BCD равна 10. Найти площадь четырехугольника ABCD.
Ответ на вопрос
Обозначим через x длину стороны AC. Тогда из условия BD = AC получаем, что BD = x.Так как BD является биссектрисой угла B, то AD = CD = x.По формуле полупериметра треугольника площадь треугольника BCD равна:S_BCD = sqrt(p(p - BC)(p - BD)(p - CD))где p - полупериметр треугольника BCD, т.е.p = (BC + BD + CD) / 2
p = (15 + x + x) / 2
p = (15 + 2x) / 2
p = 7.5 + xПодставляем значение полупериметра в формулу площади:10 = sqrt((7.5 + x)(7.5 + x - 15)(7.5 + x - x)(7.5 + x - x))
10 = sqrt((7.5 + x)(-7.5 + x)(7.5 + x)(7.5))
10 = 7.5√((7.5 + x)(7.5 - x))Решая это уравнение, получаем два возможных значения для x: x = 6 или x = 4.Если x = 6, то площадь четырехугольника ABCD равна:S_ABCD = S_ABC + S_BCD
S_ABCD = S_ABC + 10
S_ABCD = 1/2 18 15 + 10
S_ABCD = 135 + 10
S_ABCD = 145Если x = 4, то площадь четырехугольника ABCD равна:S_ABCD = S_ABC + S_BCD
S_ABCD = S_ABC + 10
S_ABCD = 1/2 18 15 + 10
S_ABCD = 135 + 10
S_ABCD = 145Итак, площадь четырехугольника ABCD равна 145.
Еще