⭐ Вычислительная математика (все ответы на тест Синергия / МТИ / МосАП, ноябрь 2022)

Вычислительная математика

• ответы на все 60 вопросов
• результат 50...60 баллов из 100
• вопросы отсортированы по алфавиту

Вычислительная математика

1. Важно!. Информация по изучению курса
2. Тема 1. Элементы теории погрешностей
3. Тема 2. Решение нелинейных уравнений
4. Тема 3. Численные методы линейной алгебры
5. Тема 4. Численные методы теории приближений
6. Тема 5. Интерполирование с кратными узлами и сплайны
7. Тема 6. Численное интегрирование функций одной переменной
8. Тема 7. Численное решение дифференциальных уравнений

Верно выражение: …

Тип ответа: Одиночный выбор

• δ(a* / b*) = (δa* + δb*) /│a* / b*│
• δ(a* / b*) = δa* + δb*
• δ(a* / b*) = δa* / δb*
• δ(a* / b*) = δa* − δb*

Верно выражение: …

Тип ответа: Одиночный выбор

• Δ(a* − b*) ≤ max(Δa*, Δb*)
• Δ(a* − b*) ≥ Δa* + Δb*
• Δ(a* − b*) ≤ Δa* + Δb*
• Δ(a* − b*) ≤ Δa* − Δb*

Верными цифрами числа a* = 1,1671, заданного с погрешностью Δa* = 0,03, являются …

Тип ответа: Одиночный выбор

• 167
• 71
• 116
• 11

Верными цифрами числа a* = 32,6763, заданного с относительной погрешностью δa* = 0,001, являются …

Тип ответа: Одиночный выбор

• 32676
• 32
• 326
• 3267

Для достижения точности ε применяют следующий критерий окончания метода половинного деления: …

Тип ответа: Одиночный выбор

• bₙ − aₙ ≤ ε; x* = (bₙ - aₙ) / 2
• bₙ − aₙ ≤ ε; x* = (bₙ + aₙ) / 2
• bₙ − aₙ ≤ 2ε; x* = (bₙ - aₙ) / 2
• bₙ − aₙ ≤ 2ε; x* = (bₙ + aₙ) / 2

Для погрешности интерполяции многочленом Лагранжа первой степени справедлива оценка: …

Тип ответа: Одиночный выбор

• max│f(x) − Lₙ(x)│ ≤ C / h
• max│f(x) − Lₙ(x)│ ≤ C ⋅ h
• max│f(x) − Lₙ(x)│ ≤ C ⋅ h²
• max│f(x) − Lₙ(x)│ ≤ C ⋅ √h

Для функции f(x) = e²ˣ верно выражение: …

Тип ответа: Одиночный выбор

• Δf(x*) ≤ 2 ⋅ e²ˣ ⋅ Δx*
• δf(x*) ≤ 2 ⋅ Δx*
• δf(x*) ≤ 2 ⋅ e²ˣ ⋅ δx*
• δf(x*) ≤ 2 ⋅ |x*| ⋅ δx*

Достаточное условие сходимости метода Якоби (простой итерации) можно выразить как …

Тип ответа: Одиночный выбор

• ║B║ ≤ 1
• ║A║ ≤ 1
• ║B║ < 1
• ║B║ / (1 − ║B║) ≤ 1

Если взять в качестве отрезка локализации отрезок [1; 2], решение уравнения x⁴ - 6x² + 9 = 0 …

Тип ответа: Одиночный выбор

• можно найти методом половинного деления, так как функция непрерывна
• нельзя найти методом половинного деления, так как уравнение решается только прямым методом
• нельзя найти методом половинного деления, так как условия применимости метода не выполняются
• можно найти методом половинного деления, так как отрезок локализации указан правильно

Если два приближенных числа a* = 5,6815 и b* = 0,056815 заданы со всеми верными

Тип ответа: Одиночный выбор

• числа заданы с одинаковой относительной погрешностью
• числа заданы с одинаковой абсолютной погрешностью
• число a* задано с большей точностью
• число b* задано с большей точностью

Если известно приближенное значение a* = 6178 и граница абсолютной погрешности Δa* = 5,6, то можно записать, что a = …

Тип ответа: Одиночный выбор

• 6178
• 6178 ± 5,6
• 6183,6
• 6178 (1 ± 6)

Если известны значения функции в 7-ми точках, то многочлен Ньютона … степени можно построить, используя все значения функции

Тип ответа: Одиночный выбор

• 6
• 7
• 8
• 9

Если функция задана таблицей своих значений в точках x₀, x₁, …, x₁₂, то многочлен Лагранжа … степени можно построить по этой таблице, используя все значения функции

Тип ответа: Одиночный выбор

• 10
• 11
• 12
• 13

Задача отыскания приближения к корню x* уравнения f(x) = 0 с заданной точностью ε состоит в поиске числа xₙ, удовлетворяющего условию: …

Тип ответа: Одиночный выбор

• 0 ≤ xₙ − x* ≤ ε
• |xₙ − x*| ≤ ε
• xₙ = x* + ε
• |f(xₙ)| ≤ ε

Значащая цифра называется верной если …

Тип ответа: Одиночный выбор

• относительная погрешность числа не превосходит 50%
• абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы разряда, в котором стоит значащая цифра
• она отлична от нуля

Значащие цифры в записи числа – это все цифры в записи числа, …

Тип ответа: Одиночный выбор

• начиная с первой слева отличной от нуля
• отличные от нуля
• кроме цифры ноль стоящей слева и справа от ненулевой цифры

Интерполирование многочленом Лагранжа 2-ой степени обеспечивает порядок … точности по h

Тип ответа: Одиночный выбор

• 1
• 2
• 3
• 4

К неустранимым относят погрешность …

Тип ответа: Одиночный выбор

• метода решения
• округления
• исходных данных

К устранимым относят погрешность …

Тип ответа: Одиночный выбор

• математической модели
• округления
• исходных данных

Конечная разность вперед 1-го порядка определяется следующим образом: …

Тип ответа: Одиночный выбор

• Δyⱼ = yⱼ − yⱼ₋₁
• Δyⱼ = Δyⱼ − Δyⱼ₊₁
• Δyⱼ = yⱼ₊₁ − yⱼ₋₁
• Δyⱼ = yⱼ₊₁ − yⱼ

Конечная разность вперед порядка k ≥ 1 определяется следующим образом: …

Тип ответа: Одиночный выбор

• Δᵏyⱼ = Δᵏ⁺¹yⱼ − Δᵏ⁻¹yⱼ
• Δᵏyⱼ = Δᵏ⁺¹yⱼ₊₁ − Δᵏ⁻¹yⱼ₋₁
• Δᵏyⱼ = Δᵏ⁻¹yⱼ₊₁ − Δᵏ⁻¹yⱼ
• Δᵏyⱼ = Δᵏyⱼ₋₁ − Δᵏ⁻¹yⱼ₋₁

Критерий остановки метода Ньютона имеет вид:

Тип ответа: Одиночный выбор

• │x* − xₙ│ ≤ ε
• │xₙ − xₙ₋₁│ ≤ ε
• │x* − xₙ│ ≤ │xₙ − xₙ₋₁│
• │xₙ − xₙ₋₁│≤ q / (1 − q) ⋅ ε

Норма ║A║₂ матрицы A = ((1, -2), (-1, 3)) равна …

Тип ответа: Одиночный выбор

• 3
• 4
• 5
• 15

Норма ║x║₁ вектора x = (10, -10, 0, -1) равна …

Тип ответа: Одиночный выбор

• 21
• √201
• 10
• 1

Нормой матрицы А, согласованной с нормой вектора x, называется величина …

Тип ответа: Одиночный выбор

• ║A║= sup(║A ⋅ x║ / ║x║), x ≠ 0
• ║A║= sup(║A ⋅ x║ / ║x║²), x ≠ 0
• ║A║= sup(║A║ / ║x║), x ≠ 0
• ║A║= sup((A ⋅ x, x) / (x, x)), x ≠ 0

Обратная задача теории погрешностей – это …

Тип ответа: Одиночный выбор

• округление числа с заданной точностью и вычисление общей погрешности
• определение погрешности, с которой допустимо использовать аргументы, так чтобы погрешность функции не превосходит заданной величины
• получение точного значения числа, зная его приближенное значение и величину погрешности

Отрезок локализации корня уравнения f(x) = 0 это отрезок, …

Тип ответа: Одиночный выбор

• содержащий только один корень уравнения
• границы которого - корни уравнения
• содержащий по крайней мере один корень уравнения
• содержащий все корни уравнения

Оценка погрешности в методе Адамса решения задачи Коши имеет вид: …

Тип ответа: Одиночный выбор

• R(h) = C ⋅ h²
• R(h) = C ⋅ h³
• R(h) = C ⋅ h⁴
• R(h) = C ⋅ h⁵

Оценка погрешности в методе половинного деления имеет вид: …

Тип ответа: Одиночный выбор

• │x* − xₙ│ ≤ (b − a) / 2ⁿ
• │x* − xₙ│ ≤ (b − a) / 2ⁿ⁻¹
• │x* − xₙ│ ≤ (b − a) / 2ⁿ⁺¹
• │x* − xₙ│ ≤ ((a + b) / 2ⁿ)ⁿ

Оценка погрешности в методе Рунге-Кутты 4-го порядка точности решения задачи Коши имеет вид: …

Тип ответа: Одиночный выбор

• R(h) = C ⋅ h²
• R(h) = C ⋅ h³
• R(h) = C ⋅ h⁴
• R(h) = C ⋅ h⁵

Оценка погрешности в методе Эйлера решения задачи Коши имеет вид: …

Тип ответа: Одиночный выбор

Тип ответа: Одиночный выбор

• R(h) = C ⋅ h²
• R(h) = C ⋅ h³
• R(h) = C ⋅ h⁴
• R(h) = C ⋅ h⁵

Оценка погрешности в методе Эйлера-Коши решения задачи Коши имеет вид: …

Тип ответа: Одиночный выбор

• R(h) = C ⋅ h²
• R(h) = C ⋅ h³
• R(h) = C ⋅ h⁴
• R(h) = C ⋅ h⁵

Оценка погрешности метода простой итерации имеет вид:

Тип ответа: Одиночный выбор

• │x* − xₙ│ ≤ q / (1 − q) ⋅ │xₙ − xₙ₋₁│
• │x* − xₙ│ ≤ (1 − q) / q ⋅ │xₙ − xₙ₋₁│
• │x* − xₙ│ ≤ q ⋅ │xₙ − x*│²
• │x* − xₙ│ ≤ qⁿ ⋅ │x₀ − x*│

Оценка погрешности метода хорд имеет вид: …

Тип ответа: Одиночный выбор

• │x* − xₙ│ ≤ │f(xₙ)│ / max f'(xₙ)
• │x* − xₙ│ ≤ │f(xₙ)│ / min f'(xₙ)
• │x* − xₙ│ ≤ │f(xₙ)│ / f'(xₙ)
• │x* − xₙ│ ≤ f'(xₙ) / │f(xₙ)│

Оценка погрешности метода Якоби (простой итерации) имеет вид …

Тип ответа: Одиночный выбор

• ║x* − xₖ║ ≤ ((1 − ║B║) / ║B║)ⁿ ⋅ ║xₖ − xₖ₋₁║
• ║x* − xₖ║ ≤ ║B║ ⋅ ║xₖ − x*║
• ║x* − xₖ║ ≤ ║B║ / (1 − ║B║) ⋅ ║xₖ − xₖ₋₁║
• ║x* − xₖ║ ≤ ║A║ ⋅ ║x₀ − x*║

Погрешность – это …

Тип ответа: Одиночный выбор

• округление числа с заданной точностью
• расхождение между точным и приближенным числовым значением
• результат использования неточных методов вычисления

Погрешность численного решения задачи определяется …

Тип ответа: Множественный выбор

• числом уравнений, составляющих метод решения задачи
• погрешностью представления вещественных чисел в ЭВМ
• чувствительностью вычислительного алгоритма к погрешностям округления
• обусловленностью решаемой задачи

Подинтегральная функция интерполируется многочленом 1-й степени, построенным по значениям функции в концах отрезка интегрирования - при интегрировании этого многочлена получается элементарная формула …

Тип ответа: Одиночный выбор

• Симпсона
• трапеций
• левых прямоугольников
• центральных прямоугольников

Правило Рунге оценки погрешности для формул прямоугольников и трапеций имеет вид: …

Тип ответа: Одиночный выбор

• J ≈ Jₕ + 1/2 ⋅ (Jₕ − J₂ₕ)
• J − Jₕ ≈ (Jₕ − J₂ₕ) / (2ᵏ − 1)
• J − J₂ₕ ≈ 1/2 ⋅ (Jₕ₎₂ − Jₕ)
• J − Jₕ₎₂ ≈ 1/15 ⋅ (J₂ₕ − Jₕ)

Правило четной цифры при округлении означает, что если при округлении …

Тип ответа: Одиночный выбор

• отбрасываемые цифры составляют четное число, то последняя оставляемая цифра остается без изменения
• цифра старшего отбрасываемого разряда четная, то предыдущая цифра остается без изменения, иначе увеличивается на единицу
• отбрасываемые цифры составляют ровно половину единицы последнего оставляемого разряда, то последняя оставляемая цифра остается без изменения, если она четная, и увеличивается на единицу, если не четная

Приближенное значение корня xₙ - это такое значение, для которого …

Тип ответа: Одиночный выбор

• относительная погрешность xₙ не превышает ε
• относительная погрешность f(xₙ) не превышает ε
• абсолютная погрешность f(xₙ) не превышает ε
• абсолютная погрешность xₙ не превышает ε

Приближенное число a* = 0,0410 задано со всеми верными цифрами в широком смысле - тогда относительная погрешность числа равна …

Тип ответа: Одиночный выбор

• 0.00001%
• 2.5%
• 0.25%
• 0.03%

Прямая задача теории погрешностей – это определение …

Тип ответа: Одиночный выбор

• погрешности значения функции, зная величины погрешностей аргументов
• значащих и верных цифр в записи числа
• погрешности при округлении числа

Пусть уравнение f(x) = 0 преобразовано к виду, удобному для итерации x = φ(x) - тогда для сходимости метода простой итерации в некоторой окрестности корня должно выполняться условие: …

Тип ответа: Одиночный выбор

• │f'(x)│ < 1
• │φ'(x)│ < 1
• │φ(x)│ ≤ 1
• │φ'(x)│ ≤ 1

Расчетная формула метода Ньютона имеет вид: …

Тип ответа: Одиночный выбор

• xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ) / f'(xₙ)
• xₙ₊₁ = xₙ − f'(xₙ) / f(xₙ)
• xₙ₊₁ = xₙ + f(xₙ) / f'(xₙ)
• xₙ₊₁ = xₙ + f'(xₙ) / f(xₙ)

Расчетная формула метода хорд имеет вид: …

Тип ответа: Одиночный выбор

• xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ) / (f(c) − f'(xₙ)) ⋅ (c − xₙ)
• xₙ₊₁ = xₙ + f(xₙ) / (f(c) − f(xₙ)) ⋅ (c − xₙ)
• xₙ₊₁ = xₙ + f'(xₙ) / (f(c) − f(xₙ)) ⋅ (c − xₙ)
• xₙ₊₁ = xₙ + │f(xₙ) / (f(c) − f(xₙ))│ ⋅ (c − xₙ)

Расчетные формулы метода Якоби (простой итерации) имеют вид …

Тип ответа: Одиночный выбор

• xₖ₊₁ = b − Axₖ
• xₖ₊₁ = Axₖ − b
• xₖ₊₁ = Bxₖ₋₁ + c
• xₖ₊₁ = Bxₖ + c

Результат округления числа a* = 0,026974 до трех значащих цифр равен …

Тип ответа: Одиночный выбор

• 0,02
• 0,03
• 0,0269
• 0,0270

Результат округления числа a* = 0,056965 до трех значащих цифр равен …

Тип ответа: Одиночный выбор

• 0,06
• 0,057
• 0,056
• 0,0570

Сравнивая между собой скорости сходимости метода Якоби (простой итерации) и метода Зейделя, можно утверждать, что …

Тип ответа: Одиночный выбор

• метод Зейделя сходится быстрее метода Якоби
• метод Якоби сходится быстрее метода Зейделя
• скорости сходимости этих методов совпадают
• скорости сходимости этих методов сопоставитьнельзя

У числа a* = 0,06460 количество значащих цифр - …

Тип ответа: Одиночный выбор

• 4
• 3
• 6
• 5

У числа a* = 0,089600 значащие цифры - …

Тип ответа: Одиночный выбор

• 896
• 00896
• 89600
• 089600

Форма записи интерполяционного многочлена первой степени, которая соответствует многочлену Лагранжа, - …

Тип ответа: Одиночный выбор

• L₁(x) = y₀(x − x₁) + y₁(x − x₀)
• L₁(x) = a₀ + a₁ ⋅ x
• L₁(x) = y₀ + (y₁ − y₀) / (x₁ − x₀) ⋅ (x − x₀)
• L₁(x) = y₀ ⋅ (x − x₁) / (x₀ − x₁) + y₁ ⋅ (x − x₀) ⋅ (x₁ − x₀)

Функция задана своими значениями в узлах x₀, x₁, …, xₙ, по этим значениям построены интерполяционные многочлены Ньютона Nₙ(x) и Лагранжа Lₙ(x) с оценкой погрешности интерполяции |f(x) - Nₙ(x)| и |f(x) - Lₙ(x)| соответственно; тогда …

Тип ответа: Одиночный выбор

• |f(x) − Nₙ(x)| = |f(x) − Lₙ(x)|
• |f(x) − Nₙ(x)| ≠ |f(x) − Lₙ(x)|
• |f(x) − Nₙ(x)| ≤ |f(x) − Lₙ(x)|
• |f(x) − Nₙ(x)| ≥ |f(x) − Lₙ(x)|

Функция задана своими значениями в узлах x0, x1, …, xn, по этим значениям построены интерполяционные многочлены Ньютона Nn(x) и Лагранжа Ln(x), тогда …

Тип ответа: Одиночный выбор

• Nₙ(x) ≠ Lₙ(x)
• Nₙ(x) ≡ Lₙ(x)
• Nₙ(x) = Lₙ(x) только в узлах интерполяции xⱼ, j = 0, 1, …, n
• Nₙ(x) ≈ Lₙ(x)

Функция f(x, y) = 3 ⋅ y − 5 ⋅ x³ вычисляется в точке (x*, y*) = (0.23; 0.31), тогда величина погрешности Δf(x*, y*) приближенно равна …

Тип ответа: Одиночный выбор

• 0,04
• 0,02
• 0,005
• 0,001

Функция f(x) = x⁵ вычисляется в точке x* = 2.02, тогда величина погрешности δf(x*) приближенно равна:

Тип ответа: Одиночный выбор

• 0,01
• 0,05
• 0,001
• 0,005

Функция y = f(x) приближается интерполяционным многочленом Ньютона 1-й степени по узлам xi, xi+1 , тогда коэффициент при старшей степени x: …

Тип ответа: Одиночный выбор

• (yⱼ₊₁ + yⱼ) / (xⱼ₊₁ + xⱼ)
• (yⱼ₊₁ − yⱼ₋₁) / (xⱼ₊₁ + xⱼ₋₁)
• (yⱼ − yⱼ₋₁) / (xⱼ₊₁ − xⱼ)
• (yⱼ₊₁ − yⱼ) / (xⱼ₊₁ − xⱼ)

Элементарная квадратурная формула трапеций для интеграла ∫ f(x)dx, x=a..b имеет вид: …

Тип ответа: Одиночный выбор

• (b − a) ⋅ (f(a) + f(b)) / 2
• f(b) ⋅ (a + b) / 2
• f(a) ⋅ (a + b) / 2
• f((a + b) / 2) ⋅ (b − a)