ИДЗ по векторам

Вариант № 18
1. Даны три вектора
Найти:
а) вектор , его модуль, направляющие косинусы, орт
б) скалярное произведение ;
в) векторное произведение ;
г) смешанное произведение .
Решение
а) Находим вектор

Находим модуль:

направляющие косинусы вектора
.
Орт вектора
б) Находим коэффициенты векторов:

Зная коэффициенты найдем скалярное произведение

в) Найдем векторное произведение

г) Смешанное произведение векторов

Ответ: а) ; б) ;
в) ; г)
2. Определить координаты точки С на отрезке АВ, если
А(1; 5; -7), В(1;-1;2) и
Решение
Формула отношения отрезков:
Подставим значения: АС: СВ= 4:1.

Ответ: C (1; ; )
3. Найти длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах , , если ,
Решение
Подставляем значение, находим длины диагоналей:

4. Даны три вершины параллелограмма АВСD
А(-1;2;3), В(2; -1; 1), С(1;-3;-1)
Определить:
А) координаты четвертой вершины D
Б) длину высоты, опущенной из вершины D на сторону АВ
в) косинус острого угла между диагоналями АС и BD.
Решение
А) Находим середину отрезка АС – точка пересечения диагоналей.

Подставляем значения

ОВ = ОD. Находим координаты вектора ОВ

Теперь вычтем из координат точки О вычетам координаты вектора ОВ

б) Найдем площадь треугольника ABD построенного на векторах АВ и АD


Площадь


Из формулы площади:


в) Находим координаты диагоналей ВD и АС




5. Даны векторы и . Найти вектор х, если известно, что и .
Решение
Запишем условие параллельности (коллинеарности)

Записываем скалярное произведение:

Тогда
Ответ:
6. Вектор , перпендикулярный векторам и и образует с осью Ох острый угол. Найти его координаты, если известно, что
Решение
Условие перпендикулярности:

Следовательно,
Проверим направление


7. Даны вершины пирамиды А(0, -3, 5) В(-3, 6, 3), С(-2,7,3), D(2,4,-2). Найти объем пирамиды и длину высоты, опущенной на грань АВD
Решение
Объем пирамиды;
Смешанное произведение трех векторов по абсолютной величине равно объему параллелепипеда, построенного на векторах , , , как на ребрах:




Так как объем пирамиды равен части объема параллелепипеда, построенного на векторах , , , кб. ед.
Длину высоты, опущенной из вершины C на плоскость АВD;
Площадь грани АВD, находим как векторное произведение векторов.
Найдем координаты вектора



Тогда

Высоту, опущенную из вершины C на плоскость АВD, найдем из формулы:
, следовательно, высота:

8. Доказать, что векторы а=(0, 1, 2), b=(1, 0, 1), c(-1, 2, 4) образуют базис, и найти разложение вектора x=(-2,4,7) в этом базисе
Решение
Если векторы линейно независимы, то они образуют базис
Или

Имеет место лишь при . Решим

Из этого следует, что векторы линейно независимы и образуют базис.
Разложить вектор x по векторам, это значит представить его в виде линейной комбинации этих векторов

Подставим значение векторов:

Учитывая равенство векторов, получаем систему линейных уравнений для нахождения

Тогда искомое разложение запишется

Ответ: