💯 Линейная алгебра и аналитическая геометрия (правильные ответы на тест Синергия / МОИ / МТИ / МосАП, август 2023)

Линейная алгебра и аналитическая геометрия > Итоговый тест

• правильные ответы на вопросы из теста по данной дисциплине
• вопросы отсортированы в лексикографическом порядке

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

• Урок 1. Комплексные числа
• Урок 2. Комплексные числа. Часть 2
• Урок 3. Комплексные числа. Практика
• Урок 4. Матрицы
• Урок 5. Матрицы. Практика
• Урок 6. Матрицы. Завершение
• Урок 7. Аналитические свойства векторов лекция Часть 1
• Урок 8. Аналитические свойства векторов лекция Часть 2
• Урок 9. Аналитические свойства векторов практика Часть 1
• Урок 10. Аналитические свойства векторов практика Часть 2
• Урок 11. Взаимное расположение теория Часть 1
• Урок 12. Взаимное расположение теория Часть 2
• Урок 13. Кривые второго порядка Часть 1
• Урок 14. Кривые второго порядка Часть 2
• Урок 15. Кривые второго порядка практика Часть 1
• Урок 16. Кривые второго порядка практика Часть 2
• Урок 17. Некоторые методы решения линейных уравнений Часть 1
• Урок 18. Некоторые методы решения линейных уравнений Часть 2
• Урок 19. Некоторые методы решения линейных уравнений практика Часть 1
• Урок 20. Некоторые методы решения линейных уравнений практика Часть 2
• Урок 21. Общие методы решения линейных уравнений Часть 1
• Урок 22. Общие методы решения линейных уравнений Часть 2
• Урок 23. Общие методы решения линейных уравнений практика Часть 1
• Урок 24. Общие методы решения линейных уравнений практика Часть 2
• Урок 25. Общие методы решения несовместных линейных уравнений часть 1
• Урок 26. Общие методы решения несовместных линейных уравнений часть 2
• Урок 27. Общие методы решения несовместных линейных уравнений часть 3
• Урок 28. Общие методы решения несовместных линейных уравнений часть 4
• Урок 29. Поверхности второго порядка часть 1
• Урок 30. Поверхности второго порядка часть 2
• Урок 31. Поверхности второго порядка часть 3
• Урок 32. Поверхности второго порядка часть 4
• Урок 33. Поверхности второго порядка часть 5
• Итоговая аттестация

В общем виде уравнение поверхности второго порядка имеет вид:

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• a₁₁x³ + a₂₂y³ + a₃₃z³ + 2a₁₂xy + 2a₂₃yz + 2₁₃xz + 2a₁₄x + 2a₂₄y + 2a₃₄z + a₄₄ = 0
• a₁₁x² + a₂₂y² + a₃₃z² + 2a₁₂xy + 2a₂₃yz + 2₁₃xz + a₃₃ = 0
• a₁₁x² + a₂₂y² + a₃₃z² + 2a₁₂xy + 2a₂₃yz + 2₁₃xz + 2a₁₄x + 2a₂₄y + 2a₃₄z + a₄₄ = 0
• a₁₁x² + a₂₂y² + 2a₁₂xy + 2a₁₃x + 2₂₃y + a₃₃ = 0

Векторное произведение двух векторов a = {ax; ay; az} u b = {bx; by; bz} в декартовой системе координат — это вектор, значение которого можно вычислить, используя формулы вычисления векторного произведения векторов: [25.PNG]

Тип ответа: Множественный выбор • с выбором нескольких правильных ответов из предложенных вариантов

• [a, b] = (aybz − azby, azbx − bz, axby − aybx)
• [a, b] = (aybz + azby, azbx + axbz, axby + aybx)
• [a, b] =│i j k ax ay az bx by bz│

Векторным произведением двух векторов a и b, которые заданы в прямоугольной системе координат трёхмерного пространства, называется такой вектор c, что: [24.PNG]

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• Новый вектор c параллелен плоскости, в которой лежат вектора a и b
• Новый вектор c компланарен плоскости, в которой лежат вектора a и b
• Новый вектор c коллинеарен плоскости, в которой лежат вектора a и b
• Новый вектор c перпендикулярен плоскости, в которой лежат вектора a и b

Векторы называются коллинеарными, если:

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых и сонаправлены
• они лежат на одной прямой
• они лежат на параллельных прямых
• они лежат на одной прямой и на параллельных прямых

Векторы называются компланарными, если

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• они параллельны одной плоскости или лежат в одной плоскости и сонаправлены.
• они перпендикулярны друг другу.
• они попарно параллельны.
• они параллельны одной плоскости или лежат в одной плоскости.

Выберите верные определители матрицы это:

Тип ответа: Множественный выбор • с выбором нескольких правильных ответов из предложенных вариантов

• Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы
• Определитель существует для любой матрицы
• Умножение всех элементов строки или столбца определителя на некоторое число λ равносильно умножению определителя на это число
• Если матрица содержит нулевую строку (столбец), то определитель этой матрицы равен нулю:

Выберите верные свойства векторного произведения:

Тип ответа: Множественный выбор • с выбором нескольких правильных ответов из предложенных вариантов

• a × b = b × a
• Модуль векторного произведения двух векторов a и b равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах.
• Если вектора коллинеарны, то векторное произведение равно нулю.

Вычислите площадь треугольника, имеющего вершины в точках A(4;5), B(6;2) и C(2;3):

Тип ответа: Текcтовый ответ

Двойное векторное произведение вычисляется по формуле:

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• [a, [b, c]] = b[a ⋅ c] + c[a ⋅ b]
• [a, [b, c]] = b(a ⋅ c) − c(a ⋅ b)
• [a, [b, c]] = b(a ⋅ c) + c(a ⋅ b)
• [a, [b, c]] = b[a ⋅ c] − c[a ⋅ b]

Деление комплексных чисел a + bi и с + di в алгебраической форме выполняется по формуле: [10.PNG]

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• (ac − bd + i(ad − bc)) / (c² + d²)
• (ac + bd + i(ad − bc)) / (c² − d²)
• (ac + bd + i(ad − bc)) / (c² + d²)
• (ac + bd + i(ad + bc)) / (c² + d²)

Деление комплексных чисел r₁(cos cos α₁ + i sin sin α₁) и r₂(cos cos α₂ + i sin sin α₂) в тригонометрической форме выполняется по формуле: [9.PNG]

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• r₁/r₂ × (cos cos (φ₁ − φ₂) − i sin sin (φ₁ − φ₂))
• r₁/r₂ × (sin sin (φ₁ − φ₂) + i cos cos (φ₁ − φ₂))
• r₁/r₂ × (cos cos (φ₁ + φ₂) + i sin sin (φ₁ + φ₂))
• r₁/r₂ × (cos cos (φ₁ − φ₂) + i sin sin (φ₁ − φ₂))

Длину вектора в n-мерном пространстве можно вычислить по формуле

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• │a│= (Σ ai)^(1/2), i=1..n
• │a│= (Σ ai²), i=1..n
• │a│= (Σ ai²)^(1/2), i=1..n

Какая пара чисел может иметь сумму 10 + 4i:

Тип ответа: Множественный выбор • с выбором нескольких правильных ответов из предложенных вариантов

• 6 + 2i и 4 + 2i
• 8 + i и 2 + 3i
• 12 − i и −2 + 3i
• −8 + 6i и −2 − 10i

Какое комплексное число получится в результате умножения 3 ⋅ (cos cos 5° + i sin sin 5°) и 4(cos cos 25° + i sin sin 25°): [8.PNG]

Тип ответа: Множественный выбор • с выбором нескольких правильных ответов из предложенных вариантов

• 12 × (cos cos 30° + i sin sin 30°)
• 7 × (cos cos 30° + i sin sin 30°)
• 6√3 + 6i
• 3√3 + 3i

Каноническое уравнение гиперболического параболоида имеет вид:

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• x²/a² + y²/b² = 2z
• x²/a² + y²/b² − 2z² = 0
• x²/a² + y²/b² − z²/c² = 1
• x²/a² − y²/b² = 2z
• x²/a² + y²/b² − 2z = −1

Каноническое уравнение двуполостного гиперболоида имеет вид:

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• x²/a² + y²/b² − z²/c² = −1
• x²/a² + y²/b² − z²/c² = 1
• x²/a² + y²/b² − 2z² = 0
• x²/a² + y²/b² + z² = 1
• x²/a² − y²/b² = 2z

Каноническое уравнение конуса имеет вид:

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• x²/a² + y²/b² − z²/c² = −1
• x²/a² + y²/b² = 2z
• x²/a² + y²/b² − 2z² = 0
• x²/a² + y²/b² − z²/c² = 1
• x²/a² − y²/b² = 2z

Каноническое уравнение однополосного гиперболоида имеет вид:

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• x²/a² + y²/b² − z²/c² = −1
• x²/a² + y²/b² − z²/c² = 1
• x²/a² + y²/b² − 2z² = 0
• x²/a² + y²/b² + z² = 1
• x²/a² − y²/b² = 2z

Каноническое уравнение точки имеет вид:

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• x²/a² + y²/b² − z²/c² = −1
• x²/a² + y²/b² + z² = 1
• x²/a² + y²/b² − z²/c² = 1
• x²/a² + y²/b² − 2z² = 0
• x²/a² − y²/b² = 2z

Каноническое уравнение эллипсоида имеет вид:

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• x²/a² + y²/b² − z²/c² = −1
• x²/a² + y²/b² = 2z
• x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1
• x²/a² + y²/b² − z²/c² = 1
• x²/a² − y²/b² = 2z

Комплексное число в тригонометрической форме имеет вид:

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• r(cos cos α + i sin sin α)
• r(sin sin α + i cos cos α)
• cos cos α + i sin sin α

Комплексные числа, это числа вида:

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• a + bi, где a, b ∈ R
• a + bi, где a, b ≥ 0
• a + bi, где a, b ∉ R
• a + bi, где a, b ≤ 0

Корень n-ой степени из комплексного числа выражается по формуле:

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• ⁿ√r (sin sin ((φ+2πk)/n) + i cos cos ((φ+2πk)/n))
• ⁿ√r (cos cos ((φ+2πk)/n) − i sin sin ((φ+2πk)/n))
• ⁿ√r (cos cos ((φ+2πk)/n) + i sin sin ((φ+2πk)/n))
• √r (cos cos ((φ+2πk)/n) + i sin sin ((φ+2πk)/n))

Кривая вторая порядка в общем виде имеет вид:

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• a₁₁x² + a₂₂y² + 2a₁₃x + 2a₂₃y + a₃₃ = 0
• a₁₁x² + a₂₂y² + 2a₁₂xy + a₂₂ = 0
• a₁₁x² + a₂₂y² + 2a₁₂xy + 2a₁₃x + 2a₂₃y + a₃₃ = 0
• a₁₁x² + a₂₂y² + 2a₁₂xy + 2a₂₂x = 0

Обратная матрица это:

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• Квадратная матрица А⁻¹ называется обратной к матрице А, если AA⁻¹ = А⁻¹А = Е, где Е — единичная матрица соответствующего порядка.
• Матрица А⁻¹ называется обратной к матрице А, если АА⁻¹ = А⁻¹A = Е, где Е — единичная матрица соответствующего порядка.
• Квадратная матрица A⁻¹ называется обратной к невырожденной матрице А, если AA⁻¹ = A⁻¹A = Е, где Е — единичная матрица соответствующего порядка. (правильный ответ)
• Матрица A⁻¹ называется обратной к невырожденной матрице А, если АА⁻¹ = A⁻¹A = Е, где Е — единичная матрица соответствующего порядка.

Определите радиус окружности имеющей каноническое уравнение следующего вида (x − 2)² + (y + 4)² = 16 [31.PNG]

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 16
• -16
• 4
• 6

Определите расположение прямых двух прямых заданных двумя прямыми: 4x² + 9y² + 6x + 9y + 12xy = 0 [30.PNG]

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• Это пара пересекающихся прямых
• Это пара мнимых пересекающихся прямых
• Это пара параллельных прямых
• Это пара мнимых параллельных прямых
• Это пара совпадающих прямых

Полярная система координат:

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• это система, в которой координаты объекта, выражаются взаимноперпендикулярными единичными векторами.
• это система координат, которая основана на двух фиксированных точках и в рамках которой положение некоторой другой точки определяется, как правило, степенью её удаления или вообще позицией относительно этих двух основных точек.
• это система, в которой координаты объекта, выражаются через направление и расстояние. (правильный ответ)

Произведение комплексных чисел r₁(cos cos α₁ + i sin sin α₁) и r₂(cos cos α₂ + i sin sin α₂) в тригонометрической форме равно: [7.PNG]

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• r₁ × r₂ × (cos cos (φ₁ + φ₂) − i sin sin (φ₁ + φ₂))
• r₁ × r₂ × (sin sin (φ₁ + φ₂) + i cos cos (φ₁ + φ₂))
• r₁ × r₂ × (cos cos (φ₁ − φ₂) + i sin sin (φ₁ − φ₂))
• r₁ × r₂ × (cos cos (φ₁ + φ₂) + i sin sin (φ₁ + φ₂))

Произведение комплексных чисел в алгебраической форме равно:

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• (a₁ + b₁i)(a₂ + b₂i) = a₁a₂ + b₂b₁ + (a, b₂ + a₂b₁)i
• (a₁ + b₁i)(a₂ + b₂i) = (a₁a₂ + b₂b₁)i + a, b₂ + a₂b₁
• (a₁ + b₁i)(a₂ + b₂i) = a₁a₂ − b₂b₁ + (a, b₂ + a₂b₁)i
• (a₁ + b₁i)(a₂ + b₂i) = (a₁a₂ − b₂b₁)i + a, b₂ + a₂b₁

Рассчитайте косинус угла между векторами a = (3; 4) и b = (4; 3) [21.PNG]

Тип ответа: Текcтовый ответ

Рассчитайте определитель матрицы: A = (41 − 89 24 – 45) [14.PNG]

Тип ответа: Текcтовый ответ

Решите систему уравнений и запишите в ответ сумму корней уравнения. {6x + 6y = 12 12х + 17y = 14 [32.PNG]

Тип ответа: Текcтовый ответ

Решите систему уравнений и запишите в ответ сумму корней уравнения. {x₁ − 2x₂ + 3x₃ = 14 2x₁ + 3x₂ − 4x₃ = −16 3x₁ − 2x₂ − 5x₃ = −8 [33.PNG]

Тип ответа: Текcтовый ответ

Скалярное произведение векторов рассчитывается по формуле:

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• (a, b) = ab cos cos (α)
• (a, b) = |a| |b|
• (a, b) = |a| |b| sin sin (α)
• (a, b) = |a| |b| cos cos (α)

Складываются два комплексных 3 + 2i и 3 − 4i числа выберите правильный ответ: [2.PNG]

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 6 + 2i
• 6 − 2i
• 4
• −2i

Следствие из теоремы Безу:

Тип ответа: Множественный выбор • с выбором нескольких правильных ответов из предложенных вариантов

• Число a является корнем многочлена P(x) ⇔ P(x)⋮(x-a).
• Свободный член многочлена P(x) делится на любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами.
• Число a является корнем многочлена P(x) ⇔ P(x-a)⋮(x-a).
• Коэффициент одночлена со старшей степенью многочлена P(x) делится на любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами.

Сопоставьте каноническое уравнение и линию второго порядка, которому оно соответствует

Тип ответа: Сопоставление

• A. Каноническое уравнение эллипса имеет вид:
• B. Каноническое уравнение гипербола имеет вид:
• C. Каноническое уравнение параболы с осью симметрии Oy имеет вид:
• D. x²/a² + y²/b² = 1
• E. x²/a² − y²/b² = 1
• F. x² = 2py