Вступительное испытание по математике / 50 вопросов

Ответы на 50 вопросов

1. Футболка стоила 800 рублей. После снижения цены она стала стоить 680 рублей. На сколько процентов была снижена цена на футболку?
2. На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. По горизонтали указывается дата и время суток, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку наибольшую температуру воздуха 15 октября. Ответ дайте в градусах Цельсия.
3. Найдите площадь параллелограмма, изображенного на рисунке.
4. Строительной фирме нужно приобрести 40 кубометров строительного бруса у одного из трех поставщиков. Какова наименьшая стоимость такой покупки с доставкой (в рублях)? Цены и условия доставки приведены в таблице.
5. Найдите корень уравнения: √39 - 2x = 5
6. В треугольнике ABC AC = BC, AB = 15, AH - высота, BH = 3. Найдите cosBAC
7. Найдите значение выражения: 49⁹ ∙ 3¹² ∶ 147⁹
8. На рисунке изображен график y = ∫' (x) — производной функции ∫ (x), определенной на интервале (-2; 10). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции ∫ (x) параллельна прямой y = x - 17 или совпадает с ней
9. Найдите квадрат расстояния между вершинами D и C₁ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.
10. Найдите значение выражения 4⁶p ∙ 4⁻⁴p при p = ¼
11. Представьте в виде степени выражение 5⅔ ∙ 5⁴/₃
12. Найдите значение выражения ½ ∙ 2log₂¹⁰
13. На одном из следующих рисунков изображен график нечетной функции. Укажите этот рисунок.
14. Найдите область определения функции ∫ (x) = log₀,₅ (2x - x²)
15. Укажите наибольшее значение функции y = 1 - cos3x
16. На рисунке изображены графики функций y = ∫ (x) и y = g (x), заданных на промежутке [- 3; 6]. Найдите все значения x, для которых выполняется неравенство ∫ (x) ≤ g (x).
17. Укажите множество решений неравенства (2x - 3)(x + 2) / x - 6 ≤ 0
18. Вычислите значение производной функции у = sinx – 2х в точке х₀ = 0.
19. Найдите область определения функции y = 6√1 - log₀,₇ x
20. Найдите множество значений функции у = 6х – 12.
21. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 150 качественных сумок приходится пятнадцать сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность покупки качественной сумки. Результат округлите до сотых.
22. Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания которого равен 3. Площадь боковой поверхности призмы равна 288. Найдите высоту цилиндра.
23. Сила тока в цепи I (в амперах) определяется напряжением в цепи и сопротивлением электроприбора по закону Ома: I = U/R, где U — напряжение в вольтах, R — сопротивление электроприбора в омах. В электросеть включен предохранитель, который плавится, если сила тока превышает 25 А. Определите, какое минимальное сопротивление должно быть у электроприбора, подключаемого к розетке в 220 вольт, чтобы сеть продолжала работать. Ответ выразите в омах.
24. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 60 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 35 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 2 часа 48 минут позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.
25. Найдите наименьшее значение функции y = 11x - In (x + 15)¹¹ на отрезке [-14,5;0]
26. Розничная цена учебника 180 рублей, она на 20% выше оптовой цены. Какое наибольшее число учебников можно купить по оптовой цене на 10000 рублей?
27. На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. По горизонтали указывается дата и время суток, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку разность между наибольшей и наименьшей температурами воздуха 24 января. Ответ дайте в градусах Цельсия.
28. Найдите площадь треугольника, изображенного на рисунке.
29. Для транспортировки 6 тонн груза на 250 км можно воспользоваться услугами одной из трех фирм-перевозчиков. Стоимость перевозки и грузоподъемность автомобилей для каждого перевозчика указана в таблице. Сколько рублей придется заплатить за самую дешевую перевозку?
30. Найдите решение уравнения: (1/6)x⁺⁸ = 6x
31. В треугольнике ABC угол C равен 90º, AB = 24, tgA = 3√55/55. Найдите BC.
32. Найдите значение выражения: √313² - 312²
33. На рисунке изображены график функции y = ∫ (x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции ∫ (x) в точке x0.
34. Найдите тангенс угла C₂B₂D₂ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.
35. Вычислите: 4√48 ∙ 27
36. Упростите выражение 3√54 ∙ √16 / 3√250
37. Найдите значение выражения log₄ (64c), если log₄ c = -3,5
38. Укажите множество значений функции, график которой изображен на рисунке.
39. Вычислите: -15 ∙ 81⅟₄ - 19
40. Упростите выражение 3√25b² ∙ 3√5b⁴
41. Найдите значение выражения log₅ b, если log₅ b³ = 9
42. Найдите tga, если cosa = 1/√5 и -π/2 < a < 0
43. Найдите производную функции y = (x-3)cosx
44. Укажите множество значений функции y = 2x +5
45. Какое из следующих чисел входит в множество значений функции у = 2х + 4
46. В ходе случайного эксперимента бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 10 очков. Результат округлите до сотых.
47. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 4 и 2. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите объем параллелепипеда.
48. К источнику с ЭДС ԑ = 95 В и внутренним сопротивлением r = 0,5ом, хотят подключить нагрузку с сопротивлением R ом. Напряжение на этой нагрузке, выражаемое в вольтах, даeтся формулой U = ԑR/R+r. При каком наименьшем значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет не менее 90 В? Ответ выразите в омах.
49. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 504 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 23 км/ч, стоянка длится 3 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 49 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.
50. Найдите наименьшее значение функции y = (x - 6)ex⁻⁵ на отрезке [4;6]