ТулГу Метрология, стандартизация и сертификация (семестр 3)

Работа выполнена на проходной бал.

Вариант 9

1. Общие положения

Контрольная работа представляет собой самостоятельную учебно-исследовательскую работу, обеспечивает закрепление знаний, полученных студентами на занятиях по курсу.

Настоящие методические указания разработаны в соответствии с программой курса. Они определяют цели, основную тематику, объем, структуру и содержание контрольной работы, требования к ней, порядок выполнения, оформления и защиты курсовой работы, а также список рекомендуемой литературы.

Основные цели и задачи курсовой работы состоят в следующем:

· углубить и закрепить знания по курсу;

· развить навыки самостоятельной работы с научной и справочной литературой, нормативными документами, материалами, опубликованными в периодической печати и др.;

· приобрести опыт их творческого использования;

· развить умение связывать теоретические положения с условиями современной практики;

Работа должна быть выполнена студентом самостоятельно на основании глубокого изучения научной литературы по проблемам изучаемой дисциплины.

Контрольная работа должна показать умение студента работать с литературой, делать самостоятельные выводы, анализировать и обобщать статистический и другие материалы, обосновывать собственную точку зрения по изучаемой проблеме, находить пути ее разрешения.

В процессе работы студент должен применять методологию системного и комплексного подходов, широко использовать арсенал современных методов анализа.

Раскрывая тему, необходимо соблюдать логическую последовательность изложения материала.

Текст работы должен сопровождаться схемами, графиками, диаграммами, таблицами, рисунками и другим иллюстративным материалом, который придает тексту ясность, конкретность и наглядность. Количество иллюстраций определяется содержанием работы.

Результаты измерений

28.81 29.29 29.37 29.05 29.52 29.16 28.87 29.02 29.24 29.16 29.02 28.98 29.07 29.12 29.56 29.00 29.15 29.05 29.18 29.52 29.26 29.06 28.86 29.01 29.56 29.07 29.08 28.96 29.11 29.01 29.20 28.92 28.83 29.23 28.98 28.72 28.85 29.00 28.90 28.95 29.00 29.13 29.42 28.92 29.12 29.28 29.09 29.33 29.30 29.23 29.00 29.29 29.29 29.04 29.29 28.93 28.94 29.07 29.09 28.75 29.13 29.29 28.81 28.94 29.14 29.07 29.13 28.80 28.97 28.82 28.82 29.16 29.09 29.24 29.51 28.79 29.43 29.03 29.08 28.93 28.92 28.90 28.85 29.10 29.24 29.50 29.40 28.95 28.91 29.10 29.16 29.20 28.99 29.17 29.33 28.86 29.22 29.07 28.95 28.98

Определить вид ЗРВ по критерию Пирсона;

Записать результат с доверительной вероятностью P= 0.97

2.1. Порядок обработки результатов прямых многократных равноточных измерений

Для 100 независимых числовых значений результата измерения некоторой физической величины необходимо:

· проверить гипотезу о нормальности распределения вероятности результатов измерения;

· записать результат в принятой форме, исходя из уровня доверительной вероятности 0,95;

· представить два варианта доверительного интервала – для нормального и для неизвестного закона распределения вероятности среднего арифметического значения измеряемого напряжения

Равноточными называются измерения, у которых все значения отсчетов «Xi» имеют одинаковую дисперсию (точность).

Обработка результатов многократных равноточных измерений производится в следующем порядке:

1. Определение оценок числовых характеристик и закона распределения вероятности результата измерения ( и – среднее арифметическое и оценка среднего квадратического отклонения измеряемой величины соответственно);

2. Исключение «грубых промахов», если таковые имеются, из результатов измерений и пересчет оценок числовых характеристик закона распределения вероятности результата измерения;

3. Проверка гипотезы о виде закона распределения вероятности результата измерения (чаще всего проверяется гипотеза о его нормальности);

4. Представление результата измерения в виде доверительного интервала, соответствующего определенному уровню доверительной вероятности.

2.1.1 Определение оценок числовых характеристик закона распределения вероятности результата измерений

2.1.2 Исключение грубых промахов

· 2.1.2.1 Проверка гипотезы о наличии грубых промахов в результате измерений с помощью n-критерия

· 2.1.2.2 Проверка гипотезы о наличии грубых промахов в результате измерений с помощью правила «трех сигм»

2.1.3 Выявление вида закона распределения вероятности результата измерения

2.1.4 Представление результата в принятой форме

2.1.1 Определение оценок числовых характеристик закона распределения вероятности результата измерений

Числовые характеристики и SQ определяются по формулам:

(2.1)

(2.2)

где Qi – результат i-того параллельного наблюдения (измерения);

n – число параллельных наблюдений (измерений).

При проведении расчетов числовых характеристик и других параметров всегда встает вопрос о точности их вычисления, т.е. о том с каким числом значащих цифр записывать полученные значения. При обработке результатов измерений следует руководствоваться следующими правилами:

1. Значение оценок средних квадратических отклонений и может быть определено максимум с двумя значащими цифрами, причем вторую значащую цифру следует округлять до 0 или 5. Под значащими цифрами понимается всякая отличная от нуля цифра десятичной записи числа и нуль, если он находится между значащими цифрами или является представителем сохраненного десятичного разряда. Например, у приближенного числа 0,002080 подчеркнутые нули не являются значащими цифрами, т. к. они указывают только порядок числа (10–3). Остальные два нуля являются значащими цифрами, т. к. первый из них находится между значащими цифрами 2 и 8, а второй указывает, что округленное число отличается от неокругленного менее чем на ±5 единиц седьмого разряда;

2. Для предотвращения накопления погрешности промежуточных расчетов среднее квадратическое отклонение следует определять как минимум с одной запасной значащей цифрой, т.е. с 3-мя значащими цифрами, округляя его при окончательной записи до двух значащих цифр, как было указано в п. 1. Таким же образом следует поступать с любыми промежуточными данными;

3. Среднее арифметическое следует рассчитывать с таким количеством знаков после запятой, которое соответствует последней значащей цифре среднего квадратического отклонения среднего арифметического после его округления (окончательной записи). Например: если по расчетам среднее квадратическое отклонение среднего арифметического получилось =0,0273, то его следует округлить до значения =0,025, а среднее арифметическое необходимо определять до третьего знака после запятой.

В дальнейшем для построения доверительного интервала понадобится еще оценка среднего квадратического отклонения среднего арифметического значения :

(2.3)

Окончательное определение среднего арифметического и оценок средних квадратических отклонений самой измеряемой величины и ее среднего арифметического значения осуществляется только после исключения грубых промахов.

2.1.2 Исключение грубых промахов

Существует несколько способов проверки гипотезы о наличии грубых промахов в результате измерений. Наиболее распространенными являются: проверка наличия грубых промахов с помощью n-критерия и с помощью правила «трех сигм».

2.1.2.1 Проверка гипотезы о наличии грубых промахов в результате измерений с помощью n-критерия

Этот способ применяется при малом числе измерений n ≤ 25...30, если их вероятность распределена по нормальному закону. Из всех полученных значений измеряемой величины на наличие грубых промахов проверяют, как правило, минимальный Qmin и максимальный Qmax результаты. Если они не содержат грубых погрешностей, то промежуточные результаты тем более. При проверке сначала рассчитывают значения n-критерия, соответствующие максимальному и минимальному результатам измерений:

(2.4)

(2.5)

Если значение νmax или νmin больше критического νT , выбираемого из таблицы значений n при различных числах измерений n, то один или оба проверяемых результата измерений являются грубыми промахами, т.е. содержат грубые погрешности. Критическое значение νT выбирается, исходя из уровня доверительной вероятности Р (уровня значимости, равного 1 – Р) и числа результатов измерений n.

Грубые промахи исключаются из экспериментальных данных (отбрасываются), значения параметров и пересчитываются заново, после чего опять проводится аналогичная проверка и так до тех пор, пока все гру­бые промахи не будут отброшены. После исключения грубых промахов окончательно определяются значения и .

Примечание:

1. Индексы «min» и «max» в обозначении n-критерия говорят не о его величине, а о соответствии минимальному или максимальному значению измеряемой величины. Вполне может оказаться, что νmin > νmax;

2. Не обязательно рассчитывать оба критерия νmax или νmin и сравнивать их с табличным значением νT . Грубым промахом, скорее всего, будет то значение Qmax или Qmin, которое в наибольшей степени удалено от среднего значения ;

2.1.2.2 Проверка гипотезы о наличии грубых промахов в результате измерений с помощью правила «трех сигм»

Данный способ проверки наличия грубых промахов менее надежен, чем предыдущий и применяется, как правило, при соблюдении следующих условий:

1. Закон распределения вероятности результатов измерений соответствует нормальному;

2. Число измерений больше 25…30, т.е. n ≥ 25...30

3. Числовые характеристики закона распределения вероятности известны достаточно точно.

Для проведения данной проверки сначала вычисляют значения и . Далее определяют допустимые значения и измеряемой величины, которые с доверительной вероятностью Р = 0,9973 еще не являются грубыми промахами:

(2.6)

(2.7)

Все значения измеряемой величины, выходящие за пределы интервала признаются грубыми промахами с вероятностью Р = 0,9973.

После отбрасывания грубых промахов необходимо пересчитать значения и и повторять проверку до тех пор, пока все грубые промахи не будут исключены из результата измерений. В дальнейших расчетах используются числовые характеристики и закона распределения вероятности, рассчитанные для результата измерений, не содержащего грубых промахов.

2.1.3 Выявление вида закона распределения вероятности результата измерения

При большом числе измерений n ≥ 50 для выявления вида закона распределения вероятности чаще используют универсальные критерии, с помощью которых можно проверять гипотезу о соответствии любому виду распределения. Поскольку заранее не известно, какой из возможных законов лучше описывает эмпирическое распределение вероятности результата измерения, необходимо предварительно исследовать полученный закон и уже на основании этого исследования выдвинуть гипотезу о виде распределения вероятности.

Такое предварительное исследование производят чаще всего с помощью гистограммы. По ее виду можно предположить, какой теоретический закон распределения вероятности лучше соответствует данной гистограмме, т.е. эмпирическому распределению, полученному при измерении.

Гистограмма строится следующим образом:

1. Результаты отдельных измерений Qi располагают в вариационный ряд по возрастанию их численных значений;

2. Участок оси абсцисс, на котором располагается вариационный ряд значений Qi , разбивают на k желательно одинаковых интервалов ΔQ. При этом по возможности следует придерживаться следующих рекомендаций по выбору числа «k»:

Число измерений «n»

Число интервалов «k»

40…100

100…500

500…1000

1000…10000

7…9

8…12

10…16

12…22

3. Ширину интервала ΔQ желательно выбирать так, чтобы с ее значением было удобно работать, т.е. округлять до возможно меньшего числа значащих цифр и так, чтобы последняя цифра равнялась бы «0» или «5».

(2.8)

При этом целесообразно определять такое количество значащих цифр в значении длины интервала ΔQ, которое не совпадает с количеством значащих цифр в результатах параллельных наблюдений. Это позволит исключить совпадение значений каких-либо результатов с границами интервалов гистограммы;

4. Начало первого интервала располагают на оси абсцисс перед минимальным значением Qmin, а конец последнего – после максимального значения Qmax;

5. Масштаб гистограммы выбирают так, чтобы ее высота относилась бы к основанию примерно как 5 к 8;

6. Подсчитывают количество результатов mj , попавших в каждый интервал, и определяют высоту ρj каждого столбца гистограммы по формуле:

(2.9)

7. Строят саму гистограмму.

После выдвижения гипотезы о виде закона распределения вероятности результата измерений осуществляют проверку ее непротиворечивости (правдивости или правильности) с помощью какого-либо критерия согласия. Наиболее распространенным критерием является критерий χ2 Пирсона. При использовании этого критерия за меру расхождения экспериментальных данных с теоретическим законом распределения вероятности результата измерений принимается сумма квадратов отклонений частостей от теоретической вероятности Pj попадания отдельного результата измерений в j-ый интервал, причем, каждое слагаемое берется с весовым коэффициентом n / Pj:

(2.10)

где χ2 критерий Пирсона;

– частость или экспериментальное значение вероятности попадания результата измерений в j-ый интервал:

(2.11)

Pj – теоретическая вероятность попадания результата измерений в i-ый интервал (рассчитывается или определяется по таблице с принятой гипотезой о виде закона распределения вероятности результата измерений).

Проверка нормальности закона распределения вероятности результата измерений согласно критерию χ2 сводится к следующему:

1. Данные наблюдений группируют по интервалам, как при построении гистограммы, и подсчитывают частоты mj. Если в некоторые интервалы попадает менее пяти наблюдений, то такие интервалы объединяются с соседними. При этом соответственно уменьшается число степеней свободы:

r = k - 3,

(2.12)

где k – число интервалов гистограммы после объединения.

2. Принимают величины и , рассчитанные по формулам (2.1) и (2.2) в качестве параметров теоретического закона распределения вероятности результата измерений.

3. Для каждого интервала находят вероятности попадания в них результатов наблюдений по таблице нормированного нормального распределения вероятности:

(2.13)

где Ф( zj - 1 ) и Ф(z j ) – значения интегральной функции нормированного нормального распределения (выбирается по таблице интегральной функции нормированного нормального распределения) в начале и конце i-го интервала соответственно;

zj - 1 и zj – значения аргумента интегральной функции распределения вероятности, соответствующие границам i-го интервала:

(2.14)

где Qj - 1 , Qj – начало и конец i-го интервала.

4. Для каждого интервала вычисляют значение критерия Пирсона:

(2.15)

и суммируют эти значения для всех k интервалов, т.е.:

5. Исходя из числа степеней свободы (см. формулу (2.16)) и уровня значимости q = 1 - P (Р – вероятность, с которой принимается или отвергается выдвинутая гипотеза) определяют по таблице интегральной функции χ2- распределения Пирсона допустимое (критическое) значение .

Если , то гипотеза о нормальности закона распределения вероятности результата измерений принимается с доверительной вероятностью Р. В противном случае гипотеза с той же вероятностью отвергается.

Примечание:

1. При определении числа степеней свободы r (формула 2.16) следует иметь в виду, что k – это число интервалов, оставшихся после их объединения, если таковое было (см. п.п. 1 и 5).

2. Доверительную вероятность Р принимают обычно на уровне 0,9…0,95, т.е. Р = 0,9…0,95

2.1.4 Представление результата в принятой форме

Обычно принято результат любого измерения представлять в виде доверительного интервала с доверительной вероятностью попаданий в него результата измерений Q:

(2.16)

где t – относительная ширина доверительного интервала, зависящая от вероятности Р и вида закона распределения вероятности результата измерений;

Q – истинное значение измеряемой величины.

При многократном измерении в качестве меры рассеяния результата используют оценку среднего квадратического отклонения среднего арифметического значения (см. формулу (2.3)). Поэтому доверительный интервал примет вид:

(2.17)

Относительная ширина доверительного интервала t выбирается по-разному в зависимости от числа измерений n. Если измерений мало, т.е. n ≤ 25...30, то параметр t выбирается по таблицам распределения Стьюдента, а если достаточно много, т.е. n ≥ 25...30, то по таблицам нормированного нормального распределения.

Следует иметь в виду, что законы распределения вероятности величин Q и могут не совпадать между собой. Поэтому в общем случае, если неизвестен закон распределения вероятности величины , относительную ширину интервала t определяют из неравенства Чебышева:

(2.18)

или

(2.19)

если известно, что этот закон симметричен.

Если же известно, что вероятность величины подчиняется нормальному закону, что обычно и бывает при нормальном распределении вероятности результатов Qi , то пользуются таблицей нормированного нормального распределения вероятности.

Примечание:

1. Не рекомендуется записывать результат измерений в виде симметричного интервала , т.к. при такой записи создается ложное впечатление, что значение является единственным наиболее вероятным результатом измерений;

2. При нормальном законе распределения вероятности часто используют следующие значения относительной ширины интервала:

t = ± 3 при доверительной вероятности Р = 0,9973;

t = ± 1,96 при доверительной вероятности Р = 0,95;

t = ± 1,6449 при доверительной вероятности Р = 0,9.

3.1. Нормированное нормальное распределение. Интегральная функция

z

–0,09

–0,08

–0,07

–0,06

–0,05

–0,04

–0,03

–0,02

–0,01

–0,00

–3,5

0,00017

0,00017

0,00018

0,00019

0,00019

0,0002

0,00021

0,00022

0,00022

0,00023

–3,4

0,00024

0,00025

0,00026

0,00027

0,00028

0,00029

0,00030

0,00031

0,00032

0,00034

–3,3

0,00035

0,00036

0,00038

0,00039

0,0004

0,00042

0,00043

0,00045

0,00047

0,00048

–3,2

0,00050

0,00052

0,00054

0,00056

0,00058

0,0006

0,00062

0,00064

0,00066

0,00069

–3,1

0,00071

0,00074

0,00076

0,00079

0,00082

0,00084

0,00087

0,00090

0,00094

0,00097

–3,0

0,00100

0,00104

0,00107

0,00111

0,00114

0,00118

0,00122

0,00126

0,00131

0,00135

–2,9

0,00139

0,00144

0,00149

0,00154

0,00159

0,00164

0,00169

0,00175

0,00181

0,00187

–2,8

0,00193

0,00199

0,00205

0,00212

0,00219

0,00226

0,00233

0,00240

0,00248

0,00256

–2,7

0,00264

0,00272

0,0028

0,00289

0,00298

0,00307

0,00317

0,00326

0,00336

0,00347

–2,6

0,00357

0,00368

0,00379

0,00391

0,00402

0,00415

0,00427

0,00440

0,00453

0,00466

–2,5

0,00480

0,00494

0,00508

0,00523

0,00539

0,00554

0,00570

0,00587

0,00604

0,00621

–2,4

0,00639

0,00657

0,00676

0,00695

0,00714

0,00734

0,00755

0,00776

0,00798

0,00820

–2,3

0,00842

0,00866

0,00889

0,00914

0,00939

0,00964

0,00990

0,01017

0,01044

0,01072

–2,2

0,01101

0,01130

0,01160

0,01191

0,01222

0,01255

0,01287

0,01321

0,01355

0,01390

–2,1

0,01426

0,01463

0,01500

0,01539

0,01578

0,01618

0,01659

0,01700

0,01743

0,01786

–2,0

0,01831

0,01876

0,01923

0,01970

0,02018

0,02068

0,02118

0,02169

0,02222

0,02275

–1,9

0,02330

0,02385

0,02442

0,02500

0,02559

0,02619

0,02680

0,02743

0,02807

0,02872

–1,8

0,02938

0,03005

0,03074

0,03144

0,03216

0,03288

0,03362

0,03438

0,03515

0,03593

–1,7

0,03673

0,03754

0,03836

0,03920

0,04006

0,04093

0,04182

0,04272

0,04363

0,04457

–1,6

0,04551

0,04648

0,04746

0,04846

0,04947

0,0505

0,05155

0,05262

0,05370

0,05480

–1,5

0,05592

0,05705

0,05821

0,05938

0,06057

0,06178

0,06301

0,06426

0,06552

0,06681

–1,4

0,06811

0,06944

0,07078

0,07215

0,07353

0,07493

0,07636

0,07780

0,07927

0,08076

–1,3

0,08226

0,08379

0,08534

0,08691

0,08851

0,09012

0,09176

0,09342

0,09510

0,09680

–1,2

0,09853

0,10027

0,10204

0,10383

0,10565

0,10749

0,10935

0,11123

0,11314

0,11507

–1,1

0,11702

0,11900

0,12100

0,12302

0,12507

0,12714

0,12924

0,13136

0,13350

0,13567

–1,0

0,13786

0,14007

0,14231

0,14457

0,14686

0,14917

0,15151

0,15386

0,15625

0,15866

–0,9

0,16109

0,16354

0,16602

0,16853

0,17106

0,17361

0,17619

0,17879

0,18141

0,18406

–0,8

0,18673

0,18943

0,19215

0,19489

0,19766

0,20045

0,20327

0,20611

0,20897

0,21186

–0,7

0,21476

0,21770

0,22065

0,22363

0,22663

0,22965

0,23270

0,23576

0,23885

0,24196

–0,6

0,24510

0,24825

0,25143

0,25463

0,25785

0,26109

0,26435

0,26763

0,27093

0,27425

–0,5

0,27760

0,28096

0,28434

0,28774

0,29116

0,2946

0,29806

0,30153

0,30503

0,30854

–0,4

0,31207

0,31561

0,31918

0,32276

0,32636

0,32997

0,33360

0,33724

0,34090

0,34458

–0,3

0,34827

0,35197

0,35569

0,35942

0,36317

0,36693

0,37070

0,37448

0,37828

0,38209

–0,2

0,38591

0,38974

0,39358

0,39743

0,40129

0,40517

0,40905

0,41294

0,41683

0,42074

–0,1

0,42465

0,42858

0,43251

0,43644

0,44038

0,44433

0,44828

0,45224

0,45620

0,46017

–0,0

0,46414

0,46812

0,47210

0,47608

0,48006

0,48405

0,48803

0,49202

0,49601

0,50000

z

+0,00

+0,01

+0,02

+0,03

+0,04

+0,05

+0,06

+0,07

+0,08

+0,09

+0,0

0,5000

0,5040

0,5080

0,5120

0,5160

0,5199

0,5239

0,5279

0,5319

0,5359

+0,1

0,5398

0,5438

0,5478

0,5517

0,5557

0,5596

0,5636

0,5675

0,5714

0,5753

+0,2

0,5793

0,5832

0,5871

0,5910

0,5948

0,5987

0,6026

0,6064

0,6103

0,6141

+0,3

0,6179

0,6217

0,6255

0,6293

0,6331

0,6368

0,6406

0,6443

0,6480

0,6517

+0,4

0,6554

0,6591

0,6628

0,6664

0,6700

0,6736

0,6772

0,6808

0,6844

0,6879

+0,5

0,6915

0,6950

0,6985

0,7019

0,7054

0,7088

0,7123

0,7157

0,7190

0,7224

+0,6

0,7257

0,7291

0,7324

0,7357

0,7389

0,7422

0,7454

0,7486

0,7517

0,7549

+0,7

0,7580

0,7611

0,7642

0,7673

0,7704

0,7734

0,7764

0,7794

0,7823

0,7852

+0,8

0,7881

0,7910

0,7939

0,7967

0,7995

0,8023

0,8051

0,8078

0,8106

0,8133

+0,9

0,8159

0,8186

0,8212

0,8238

0,8264

0,8289

0,8315

0,8340

0,8365

0,8389

+1,0

0,8413

0,8438

0,8461

0,8485

0,8508

0,8531

0,8554

0,8577

0,8599

0,8621

+1,1

0,8643

0,8665

0,8686

0,8708

0,8729

0,8749

0,8770

0,8790

0,8810

0,8830

+1,2

0,8849

0,8869

0,8888

0,8907

0,8925

0,8944

0,8962

0,8980

0,8997

0,9015

+1,3

0,9032

0,9049

0,9066

0,9082

0,9099

0,9115

0,9131

0,9147

0,9162

0,9177

+1,4

0,9192

0,9207

0,9222

0,9236

0,9251

0,9265

0,9279

0,9292

0,9306

0,9319

+1,5

0,9332

0,9345

0,9357

0,9370

0,9382

0,9394

0,9406

0,9418

0,9429

0,9441

+1,6

0,9452

0,9463

0,9474

0,9484

0,9495

0,9505

0,9515

0,9525

0,9535

0,9545

+1,7

0,9554

0,9564

0,9573

0,9582

0,9591

0,9599

0,9608

0,9616

0,9625

0,9633

+1,8

0,9641

0,9649

0,9656

0,9664

0,9671

0,9678

0,9686

0,9693

0,9699

0,9706

+1,9

0,9713

0,9719

0,9726

0,9732

0,9738

0,9744

0,9750

0,9756

0,9761

0,9767

+2,0

0,9772

0,9778

0,9783

0,9788

0,9793

0,9798

0,9803

0,9808

0,9812

0,9817

+2,1

0,9821

0,9826

0,9830

0,9834

0,9838

0,9842

0,9846

0,9850

0,9854

0,9857

+2,2

0,9861

0,9864

0,9868

0,9871

0,9875

0,9878

0,9881

0,9884

0,9887

0,9890

+2,3

0,9893

0,9896

0,9898

0,9901

0,9904

0,9906

0,9909

0,9911

0,9913

0,9916

+2,4

0,9918

0,9920

0,9922

0,9925

0,9927

0,9929

0,9931

0,9932

0,9934

0,9936

+2,5

0,9938

0,9940

0,9941

0,9943

0,9945

0,9946

0,9948

0,9949

0,9951

0,9952

+2,6

0,9953

0,9955

0,9956

0,9957

0,9959

0,9960

0,9961

0,9962

0,9963

0,9964

+2,7

0,9965

0,9966

0,9967

0,9968

0,9969

0,9970

0,9971

0,9972

0,9973

0,9974

+2,8

0,9974

0,9975

0,9976

0,9977

0,9977

0,9978

0,9979

0,9979

0,9980

0,9981

+2,9

0,9981

0,9982

0,9982

0,9983

0,9984

0,9984

0,9985

0,9985

0,9986

0,9986

+3,0

0,9987

0,9987

0,9987

0,9988

0,9988

0,9989

0,9989

0,9989

0,9990

0,9990

+3,1

0,9990

0,9991

0,9991

0,9991

0,9992

0,9992

0,9992

0,9992

0,9993

0,9993

+3,2

0,9993

0,9993

0,9994

0,9994

0,9994

0,9994

0,9994

0,9995

0,9995

0,9995

+3,3

0,9995

0,9995

0,9995

0,9996

0,9996

0,9996

0,9996

0,9996

0,9996

0,9997

+3,4

0,9997

0,9997

0,9997

0,9997

0,9997

0,9997

0,9997

0,9997

0,9997

0,9998

+3,5

0,9998

0,9998

0,9998

0,9998

0,9998

0,9998

0,9998

0,9998

0,9998

0,9998

©2008-2021, Интернет-институт ТулГУ

3.2. Распределение Стьюдента. Значение аргумента t для различных значений доверительной вероятности Р и чисел степеней свободы k = n – 1

k

Р

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0,95

0,98

0,99

1

0,1584

0,3249

0,5095

0,7265

1,0000

1,3764

1,9626

3,0777

6,3138

12,7062

31,8205

63,6567

2

0,1421

0,2887

0,4447

0,6172

0,8165

1,0607

1,3862

1,8856

2,9200

4,3027

6,9646

9,9248

3

0,1366

0,2767

0,4242

0,5844

0,7649

0,9785

1,2498

1,6377

2,3534

3,1824

4,5407

5,8409

4

0,1338

0,2707

0,4142

0,5686

0,7407

0,9410

1,1896

1,5332

2,1318

2,7764

3,7469

4,6041

5

0,1322

0,2672

0,4082

0,5594

0,7267

0,9195

1,1558

1,4759

2,0150

2,5706

3,3649

4,0321

6

0,1311

0,2648

0,4043

0,5534

0,7176

0,9057

1,1342

1,4398

1,9432

2,4469

3,1427

3,7074

7

0,1303

0,2632

0,4015

0,5491

0,7111

0,8960

1,1192

1,4149

1,8946

2,3646

2,9980

3,4995

8

0,1297

0,2619

0,3995

0,5459

0,7064

0,8889

1,1081

1,3968

1,8595

2,3060

2,8965

3,3554

9

0,1293

0,2610

0,3979

0,5435

0,7027

0,8834

1,0997

1,3830

1,8331

2,2622

2,8214

3,2498

10

0,1289

0,2602

0,3966

0,5415

0,6998

0,8791

1,0931

1,3722

1,8125

2,2281

2,7638

3,1693

11

0,1286

0,2596

0,3956

0,5399

0,6974

0,8755

1,0877

1,3634

1,7959

2,2010

2,7181

3,1058

12

0,1283

0,2590

0,3947

0,5386

0,6955

0,8726

1,0832

1,3562

1,7823

2,1788

2,6810

3,0545

13

0,1281

0,2586

0,3940

0,5375

0,6938

0,8702

1,0795

1,3502

1,7709

2,1604

2,6503

3,0123

14

0,1280

0,2582

0,3933

0,5366

0,6924

0,8681

1,0763

1,3450

1,7613

2,1448

2,6245

2,9768

15

0,1278

0,2579

0,3928

0,5357

0,6912

0,8662

1,0735

1,3406

1,7531

2,1314

2,6025

2,9467

16

0,1277

0,2576

0,3923

0,5350

0,6901

0,8647

1,0711

1,3368

1,7459

2,1199

2,5835

2,9208

17

0,1276

0,2573

0,3919

0,5344

0,6892

0,8633

1,0690

1,3334

1,7396

2,1098

2,5669

2,8982

18

0,1274

0,2571

0,3915

0,5338

0,6884

0,8620

1,0672

1,3304

1,7341

2,1009

2,5524

2,8784

19

0,1274

0,2569

0,3912

0,5333

0,6876

0,8610

1,0655

1,3277

1,7291

2,0930

2,5395

2,8609

20

0,1273

0,2567

0,3909

0,5329

0,6870

0,8600

1,0640

1,3253

1,7247

2,0860

2,5280

2,8453

21

0,1272

0,2566

0,3906

0,5325

0,6864

0,8591

1,0627

1,3232

1,7207

2,0796

2,5176

2,8314

22

0,1271

0,2564

0,3904

0,5321

0,6858

0,8583

1,0614

1,3212

1,7171

2,0739

2,5083

2,8188

23

0,1271

0,2563

0,3902

0,5317

0,6853

0,8575

1,0603

1,3195

1,7139

2,0687

2,4999

2,8073

24

0,1270

0,2562

0,3900

0,5314

0,6848

0,8569

1,0593

1,3178

1,7109

2,0639

2,4922

2,7969

25

0,1269

0,2561

0,3898

0,5312

0,6844

0,8562

1,0584

1,3163

1,7081

2,0595

2,4851

2,7874

26

0,1269

0,2560

0,3896

0,5309

0,6840

0,8557

1,0575

1,3150

1,7056

2,0555

2,4786

2,7787

27

0,1268

0,2559

0,3894

0,5306

0,6837

0,8551

1,0567

1,3137

1,7033

2,0518

2,4727

2,7707

28

0,1268

0,2558

0,3893

0,5304

0,6834

0,8546

1,0560

1,3125

1,7011

2,0484

2,4671

2,7633

29

0,1268

0,2557

0,3892

0,5302

0,6830

0,8542

1,0553

1,3114

1,6991

2,0452

2,4620

2,7564

30

0,1267

0,2556

0,3890

0,5300

0,6828

0,8538

1,0547

1,3104

1,6973

2,0423

2,4573

2,7500

31

0,1267

0,2555

0,3889

0,5298

0,6825

0,8534

1,0541

1,3095

1,6955

2,0395

2,4528

2,7440

32

0,1267

0,2555

0,3888

0,5297

0,6822

0,8530

1,0535

1,3086

1,6939

2,0369

2,4487

2,7385

33

0,1266

0,2554

0,3887

0,5295

0,6820

0,8526

1,0530

1,3077

1,6924

2,0345

2,4448

2,7333

34

0,1266

0,2553

0,3886

0,5294

0,6818

0,8523

1,0525

1,3070

1,6909

2,0322

2,4411

2,7284

35

0,1266

0,2553

0,3885

0,5292

0,6816

0,8520

1,0520

1,3062

1,6896

2,0301

2,4377

2,7238

©2008-2021, Интернет-институт ТулГУ

3.3. Значения критерия vα при различных числах измерения n и уровнях значимости q

n

q = 1 – α

n

q = 1 – α

0,10

0 05

0,025

0,01

0,10

0,05

0,025

0,01

3

1,406

1,412

1,414

1,414

14

2,297

2,461

2,602

2,759

4

1,645

1,68S

1,710

1,723

15

2,326

2,493

2,638

2,808

5

1,731

1,869

1,917

1,955

16

2,354

2,523

2,670

2,837

6

1,894

1,996

2,067

2,130

17

2,380

2,551

2,701

2,871

7

1,474

2,093

2,182

2,265

18

2,404

2,577

2,728

2,903

8

2,041

2,172

2,273

2,374

19

2,426

2,600

2,754

2,932

9

2,097

2,237

2,349

2,464

20

2,447

2,623

2,778

2,959

10

2,146

2,294

2,414

2,540

21

2,467

2,644

2,801

2,984

11

2,190

2,383

2,470

2,606

22

2,486

2,664

2,823

3,008

12

2,229

2,387

2,519

2,663

23

2,504

2,683

2,843

3,030

13

2,264

2,426

2,562

2,714

24

2,520

2,701

2,862

3,051

25

2,537

2,717

2,880

3,071

3.4. Распределение χ2 Пирсона. Значение χ2 для различных чисел степеней свободы k и доверительной вероятности Р

k

Р

0,01

0,02

0,05

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0,95

0,98

0,99

1

0,0002

0,0006

0,0039

0,0158

0,0642

0,1485

0,2750

0,4549

0,7083

1,0742

1,6424

2,7055

3,8415

5,4119

6,6349

2

0,0201

0,0404

0,1026

0,2107

0,4463

0,7133

1,0217

1,3863

1,8326

2,4079

3,2189

4,6052

5,9915

7,8240

9,2103

3

0,1148

0,1848

0,3518

0,5844

1,0052

1,4237

1,8692

2,3660

2,9462

3,6649

4,6416

6,2514

7,8147

9,8374

11,3449

4

0,2971

0,4294

0,7107

1,0636

1,6488

2,1947

2,7528

3,3567

4,0446

4,8784

5,9886

7,7794

9,4877

11,6678

13,2767

5

0,5543

0,7519

1,1455

1,6103

2,3425

2,9999

3,6555

4,3515

5,1319

6,0644

7,2893

9,2364

11,0705

13,3882

15,0863

6

0,8721

1,1344

1,6354

2,2041

3,0701

3,8276

4,5702

5,3481

6,2108

7,2311

8,5581

10,6446

12,5916

15,0332

16,8119

7

1,2390

1,5643

2,1673

2,8331

3,8223

4,6713

5,4932

6,3458

7,2832

8,3834

9,8032

12,0170

14,0671

16,6224

18,4753

8

1,6465

2,0325

2,7326

3,4895

4,5936

5,5274

6,4226

7,3441

8,3505

9,5245

11,0301

13,3616

15,5073

18,1682

20,0902

9

2,0879

2,5324

3,3251

4,1682

5,3801

6,3933

7,3570

8,3428

9,4136

10,6564

12,2421

14,6837

16,9190

19,6790

21,6660

10

2,5582

3,0591

3,9403

4,8652

6,1791

7,2672

8,2955

9,3418

10,473

11,7807

13,442

15,9872

18,3070

21,1608

23,2093

11

3,0535

3,6087

4,5748

5,5778

6,9887

8,1479

9,2373

10,341

11,530

12,8987

14,6314

17,2750

19,6751

22,6179

24,7250

12

3,5706

4,1783

5,2260

6,3038

7,8073

9,0343

10,182

11,340

12,584

14,0111

15,8120

18,5493

21,0261

24,0540

26,2170

13

4,1069

4,7654

5,8919

7,0415

8,6339

9,9257

11,129

12,340

13,636

15,1187

16,9848

19,8119

22,3620

25,4715

27,6882

14

4,6604

5,3682

6,5706

7,7895

9,4673

10,822

12,079

13,339

14,685

16,2221

18,1508

21,0641

23,6848

26,8728

29,1412

15

5,2293

5,9849

7,2609

8,5468

10,307

11,721

13,030

14,339

15,733

17,3217

19,3107

22,3071

24,9958

28,2595

30,5779

16

5,8122

6,6142

7,9616

9,3122

11,152

12,624

13,983

15,339

16,780

18,4179

20,4651

23,5418

26,2962

29,6332

31,9999

17

6,4078

7,2550

8,6718

10,085

12,002

13,531

14,937

16,338

17,824

19,5110

21,6146

24,7690

27,5871

30,9950

33,4087

18

7,0149

7,9062

9,3905

10,865

12,857

14,440

15,893

17,338

18,868

20,6014

22,7595

25,9894

28,8693

32,3462

34,8053

19

7,6327

8,5670

10,117

11,651

13,716

15,352

16,850

18,338

19,910

21,6891

23,9004

27,2036

30,1435

33,6874

36,1909

20

8,2604

9,2367

10,851

12,443

14,578

16,266

17,809

19,337

20,951

22,7745

25,0375

28,4120

31,4104

35,0196

37,5662

21

8,8972

9,9146

11,591

13,240

15,445

17,182

18,768

20,337

21,992

23,8578

26,1711

29,6151

32,6706

36,3434

38,9322

22

9,5425

10,600

12,338

14,042

16,314

18,101

19,729

21,337

23,031

24,9390

27,3015

30,8133

33,9244

37,6595

40,2894

23

10,196

11,293

13,091

14,848

17,187

19,021

20,690

22,337

24,069

26,0184

28,4288

32,0069

35,1725

38,9683

41,6384

24

10,856

11,992

13,848

15,659

18,062

19,943

21,653

23,337

25,106

27,0960

29,5533

33,1962

36,4150

40,2704

42,9798

25

11,524

12,697

14,611

16,473

18,940

20,867

22,616

24,337

26,143

28,1719

30,6752

34,3816

37,6525

41,5661

44,3141

26

12,198

13,409

15,379

17,292

19,820

21,792

23,579

25,337

27,179

29,2463

31,7946

35,5632

38,8851

42,8558

45,6417

27

12,879

14,125

16,151

18,114

20,703

22,719

24,544

26,336

28,214

30,3193

32,9117

36,7412

40,1133

44,1400

46,9629

28

13,565

14,848

16,928

18,939

21,588

23,648

25,509

27,336

29,249

31,3909

34,0266

37,9159

41,3371

45,4188

48,2782

29

14,257

15,575

17,708

19,768

22,475

24,577

26,475

28,336

30,283

32,4612

35,1394

39,0875

42,557

46,6927

49,5879

30

14,954

16,306

18,493

20,599

23,364

25,508

27,442

29,336

31,316

33,5302

36,2502

40,2560

43,773

47,9618

50,8922

©2008-2021, Интернет-институт ТулГУ

3.5. Составной критерий

5.1. Квантили распределения статистики d в зависимости от числа измерения n и уровня значимости q

n

d0,0l

d0,05

d0,10

d0,90

d0,95

d0,99

11

0,9359

0,9073

0,8899

0,7409

0,7153

0,6675

16

0,9137

0,8884

0,8733

0,7452

0,7236

0,6829

21

0,9001

0,8768

0,8631

0,7495

0,7304

0,6950

26

0,8901

0,8686

0,8570

0,7530

0,7360

0,7040

31

0,8827

0,8625

0,8511

0,7559

0,7404

0,7110

36

0,8769

0,Р578

0,8468

0,7583

0,7440

0,7167

41

0,8722

0,8540

0,8436

0,7604

0,7470

0,7216

46

0,8682

0,8508

0,8409

0,7621

0,7496

0,7256

51

0,8648

0,8481

0,8385

0,7636

0,7518

0,7291

5.2. Значения параметров m и α в зависимости от числа измерения n и уровня значимости i и уровня значимости q

n

m

α при уровне значимости q, равном

0,01

0,02

0,05

10

1

0,98

0,98

0,96

11-14

1

0,99

0,98

0,97

15-20

1

0,99

0,99

0,98

21-22

9

0,98

0,97

0,96

23

2

0,98

0,98

0,96

23-27

2

0,98

0,98

0,97

28-32

2

0,99

0,98

0,97

33-35

2

0,99

0,98

0,98

36-49

2

0,99

0,99

0,98