💯 Математический анализ [Тема 4-6] (ответы на тесты Синергия / МОИ / МТИ / МосАП, декабрь 2023)

Математический анализ > Тест 4 / Тест 5 / Тест 6 / Итоговый тест

• правильные ответы на вопросы из тестов по данной дисциплине
• вопросы отсортированы в лексикографическом порядке

Математический анализ

• Тема 4. Интегральное исчисление
• Тема 5. Функции нескольких переменных
• Тема 6. Числовые ряды
• Заключение
• Итоговая аттестация

Внутренними точками области определения функции z = f(x;y) называются точки…

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• содержащиеся на границе области
• в которых dz ≠ 0
• не лежащие на границе области

Геометрический смысл неопределенного интеграла – это …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• площадь трапеции
• площадь криволинейной трапеции
• траектория движения

График первообразной представляет собой…

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• дифференциальную кривую
• ломаную
• интегральную кривую

Данный ряд Σ (−1)ⁿ ⋅ (n² + 5) / (n⁴ − 6), n=1..∞ … @43.PNG

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• сходится абсолютно
• расходится
• сходится условно

Данный ряд Σ (n + 4)n / (2n − 1), n=1..∞ … @46.PNG

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• расходится
• сходится условно
• сходится

Данный ряд Σ 5ⁿ / n³, n=1..∞ … @41.PNG

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• сходится
• расходится
• сходимость нельзя установить

Дифференциал от неопределенного интеграла равен …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• подынтегральной функции
• переменной интегрирования
• подынтегральному выражению

Дифференцируемая функция всегда …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• интегрируема
• имеет предел, равный 0
• непрерывна

Для записи определенного интеграла функции y = f(x) верной будет формула … @image008.png

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 1
• 2
• 3

Для знакочередующихся рядов … выполняются условия признака Лейбница. @image005.png

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 1
• 2
• 3

Для нахождения определенного интеграла используют формулу…

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• Лагранжа
• Ньютона – Лейбница
• Коши

Для применения метода … (нахождение интеграла) подынтегральное выражение разбивается на два множителя.

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• замены переменной
• непосредственного интегрирования
• интегрирования по частям

Для функции z = х – у2 +1 установите соответствие:

Тип ответа: Сопоставление

• A. Δz
• B. zх′
• C. dуz
• D. dz
• E. полное приращение функции
• F. частная производная функции по х
• G. частный дифференциал функции по у
• H. полный дифференциал функции

Для функции z = f(x, y, u) установите соответствие между видом приращения функции и формулой для его вычисления:

Тип ответа: Сопоставление

• A. Δхz =
• B. Δuz =
• C. Δyz =
• D. f(x+Δx,y,u)-f(x,y,u)
• E. f(x,y,u+Δu)-f(x,y,u)
• F. f(x,y+Δy,u)-f(x,y,u)

Допустимая область называется замкнутой, если…

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• функция z имеет равные значения на границе области
• к ней относится и вся ее граница
• вне этой области z = 0

Если все частичные суммы положительного ряда ограничены, то ряд…

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• расходится
• сходится условно
• сходится

Если для ряда a₁ + a₂ + … + aₙ + … существует конечный предел lim aₙ₊₁ / aₙ = p (n⟶∞), то при p > 1 ряд … @55.PNG

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• может быть как сходящимся, так и расходящимся
• расходится
• сходится

Если предел частичных сумм ряда конечен, то…

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• числовой ряд расходится
• числовой ряд сходится
• числовой ряд бесконечен

Если предел n-го члена ряда равен нулю, то …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• ряд расходится
• выполняется необходимое условие сходимости ряда
• выполняется необходимое и достаточное условие сходимости ряда

Если пределы интегрирования в определенном интеграле поменять местами, то интеграл …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• не изменится
• поменяет знак на противоположный
• будет равен 0

Если ряд сходится в единственной точке х = а, то его радиус сходимости будет равен…

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• R = ∞
• R = а
• R = 0

Если степенной ряд расходится на обоих концах интервала сходимости, то…

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• ряд не имеет предела
• область сходимости совпадает с интервалом сходимости
• область сходимости – это полуинтервал

Если точка М0(х0;у0) является точкой экстремума функции z = f(x,y), то верно, что …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• f 'x (x0, y0) ≠ f 'y (x0, y0).
• f 'x (x0, y0) < f 'y (x0, y0)< 0
• f 'x (x0, y0) = f 'y (x0, y0) = 0

Если функция z = f(x,y) определена и непрерывна в замкнутой области D, то…

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• она принимает в этой области наибольшее значение
• она принимает в этой области наибольшее и наименьшее значение
• она принимает в этой области наименьшее значение

Если lim f(x, y) = f(x₀, y₀), то функция z = f(x, y) — … @image001.png

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 1
• 2
• 3

Задан обший член ряда: aₙ = nⁿ⁻¹ / n!. Член этого ряда с номером n+1 равен … @image001.png

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 1
• 2
• 3

Знакопеременным называется ряд, членами которого являются …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• действительные числа
• вещественные числа произвольного знака
• отрицательные числа

Инвариантность полного дифференциала позволяет…

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• получить формулы дифференцирования элементарных функций
• находить дифференциал обратной функции
• дифференцировать неявную функцию

Инвариантность полного дифференциала функции – это …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• сохранение формулы при любых переменных
• изменение формулы в зависимости от переменных
• существование предела функции:

Касательная плоскость имеет уравнение…

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• z = ∂z/∂x ⋅ (x − x₀) + ∂z/∂y ⋅ (y − y₀)
• z − z₀ = ∂z/∂x + ∂z/∂y
• z − z₀ = ∂z/∂x ⋅ (x − x₀) + ∂z/∂y ⋅ (y − y₀)

Метод замены переменной интегрирования х на функцию новой переменной φ(t) можно применять, если выполняются условия …

Тип ответа: Множественный выбор • с выбором нескольких правильных ответов из предложенных вариантов

• функция х = φ(t) дифференцируема
• функция разрывна
• функция х = φ(t) существует и непрерывна
• функция х = φ(t) имеет обратную функцию

Метод интегрирования, при котором подынтегральное выражение приводится к табличной форме, называется методом…

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• замены переменной (подстановки)
• частичного преобразования
• внесения под знак дифференциала
• непосредственного интегрирования

Метод интегрирования, при котором часть подынтегральной функции заменяется на новую переменную, называется методом…

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• замены переменной (подстановки)
• внесение под знак дифференциала
• непосредственного интегрирования

Методом замены переменной находятся интегралы …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• ∫ (3x² + 6x) dx
• ∫ cos² sinx dx
• ∫ (x² − 1) / (x + 1) dx

На функцию F(x,y,z), чтобы уравнение F(x,y,z) = 0 определяло действительную функцию z = f(x,y), накладывают ограничения …

Тип ответа: Множественный выбор • с выбором нескольких правильных ответов из предложенных вариантов

• F(x,y,z) непрерывна в окрестности точки М(х₀, y₀ ,z₀)
• F(x,y,z) разрывна в окрестности точки М(х₀, y₀ ,z₀)
• F(х₀ , y₀, z₀) = max

Нахождение неопределенного интеграла – это поиск …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• семейства первообразных функций
• численного значения
• первообразной функции

Необходимый признак сходимости ряда — это … @image011.png

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 1
• 2
• 3

Необходимым условием существования экстремума функции двух переменных в точке Р(х0, y0) является …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• непрерывность функции
• непрерывность частных производных функции
• равенство нулю всех ее первых частных производных в этой точке

Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа интегрируемых функций равен …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• алгебраической сумме неопределенных интегралов от слагаемых
• сумме произведений интегрируемых функций
• произведению суммы интегрируемых функций

Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• некоторой функции
• некоторой функции плюс константа
• дифференциалу функции

Неопределенный интеграл функции f(x) = sin(3x) равен …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• -1/3cos(3x) + C
• 3cos(3x)
• -1/3sin(3x)

Неопределенный интеграл функции y = f(x) – это …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• ∫ f(x)dx
• ∫ f(x)
• ∫_a^b f(x)dx

Ниже представлен пример способа интегрирования … ∫ x ⋅ cosx dx = (u = x; du = dx; dv = cosx ⋅ dx v = sinx) = u ⋅ v − ∫ v ⋅ du = x ⋅ sinx + cosx + C @4.PNG

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• по частям
• заменой переменной
• непосредственного интегрирования

Нормаль к поверхности в точке – это…

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• прямая, параллельная плоскости
• прямая, перпендикулярная к касательной плоскости в точке касания
• касательная к плоскости

Область определения функции двух переменных может быть представлена …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• отрезками на осях Ox и Oy
• множеством точек пространства xOy
• отрезком на оси Oу

Область определения функции двух переменных может быть представлена…

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• отрезками на осях Ox и Oy
• множеством точек пространства xOy
• отрезком на оси Oу

Область сходимости ряда – это…

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• множество значений, при которых ряд сходится
• область действительных значений ряда
• область, где сумма членов ряда равна нулю

Общее решение неопределенного интеграла ∫ f(x)dx имеет вид …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• у = F(x)
• у = f(x)
• у = F(x) + С, С - const

Определенный интеграл функции y = cosx в пределах от 0 до π равен …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 0
• 1
• 1/2

Основные методы интегрирования – это …

Тип ответа: Множественный выбор • с выбором нескольких правильных ответов из предложенных вариантов

• интегрирование по частям
• с заменой переменной интегрирования
• интегрирование по формулам сокращенного умножения.

Первообразной функции у = 6х2 + 2х – 1 является …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 2x³ + x² – x
• 2x³ + x² + С
• 2x³ + x² – x + С

Подыинтегральным выражением (частью неопределенного интеграла) называется … @image003.png

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 1
• 2
• 3
• 4

Полное приращение функции двух переменных – это…

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• приращение, которое получит эта функция при изменении одной из переменных
• приращение, которое получит эта функция при изменении обеих переменных
• сумма приращений при изменении каждой переменной

Полное приращение функции трех переменных – это …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• приращение, которое получит эта функция при изменении двух переменных
• приращение, которое получит эта функция при изменении всех переменных
• приращение, которое получит эта функция при изменении одной переменной

Полный дифференциал функции — это … @image004.png

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 1
• 2
• 3

Полный дифференциал функции Z = x2 + 3xy +y2 равен …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• dz = (2x+3y)dx + (3x + 2y)dy
• dz = (2x+3y + 2у)dx + (2х + 3x + 2y)dy
• dz = (2x+3)dx + (3 + 2y)dy

Последовательность действий для исследования функции двух переменных z = f(x,y) на замкнутом множестве D следующая:

Тип ответа: Сортировка

• 1 найти частные производные функции
• 2 найти стационарные точки как внутри области D, так и на ее границах
• 3 найти значения функции в стационарных точках и крайних граничных точках области
• 4 найти максимальное и минимальное значение функции на множестве D

Последовательность действий для отыскания экстремума функции двух переменных z = f(x,y) следующая: @image007.png

Тип ответа: Сортировка

• 1 3
• 2 2
• 3 1
• 4 4

Признак Коши является …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• необходимым признаком сходимости ряда
• необходимым признаком расходящегося ряда
• достаточным признаком сходимости ряда

Признаком условной сходимости ряда является признак …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• Лейбница
• Коши
• Даламбера

Процесс нахождения первообразной называется …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• интегрированием
• дифференцированием
• логарифмированием

Разложение подынтегральной функции в степенной ряд позволяет …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• определить сходимость ряда
• вычислить интеграл с заданной точностью
• найти сумму ряда

Ряд вида a₀ − a₁(x − x₀) + a₂(x − x₀)² + … + aₙ(x − x₀)ⁿ + …, где x₀ — действительное число, называется …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• степенным рядом
• знакопеременным рядом
• гармоническим рядом

Ряд называется расходящимся, если…

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• его члены принимают положительные и отрицательные значения
• предел последовательности частичных сумм не существует или бесконечен
• предел последовательности частичных сумм равен нулю

Ряд u1(x) + u2(x) + . . . + un(x) + . . . называется …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• положительным
• гармоническим
• функциональным

Ряд, содержащий вещественные числа произвольного знака, называется…

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• знакопеременным
• знакоположительным
• гармоническим

С помощью определенного интеграла можно найти…

Тип ответа: Множественный выбор • с выбором нескольких правильных ответов из предложенных вариантов

• среднюю скорость
• площадь криволинейной трапеции
• длину дуги

Смешанная частная производная от последовательности дифференцирования …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• не зависит
• зависит

Стационарные точки функции нескольких переменных – это точки, в которых…

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• первые частные производные равны нулю
• вторые частные производные равны нулю
• функция равна нулю

Сумма вида Σ 1/n = 1 + 1/2 + … + 1/n + … называется …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• положительным рядом
• гармоническим рядом
• обратным рядом

Сумма n первых членов ряда называется …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• числовым
• частичной суммой ряда
• выборкой ряда

Точка Р(х0, y0) называется точкой минимума функции z = f(x,y), если…

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• выполняется неравенство: f(х₀, y₀) < f(x,y)
• в точке Р(х₀, y₀) функция равна нулю
• вне точки Р(х₀, y₀) функция неопределена

Точка Р(х₀,y₀) называется точкой максимума функции z = f(x,y), если… @image005.png

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 1
• 2
• 3

У степенного ряда Σ xⁿ / (n ⋅ 4ⁿ) интервал сходимости равен …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• точка x = 0
• (-4; 4)
• (-1; 1)

У степенного ряда Σ xⁿ / (n ⋅ 4ⁿ) область сходимости равен …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• [-4; 4)
• (-4; 4)
• (-4; 0)

Физический смысл определенного интеграла – это …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• мгновенная скорость
• работа переменной силы
• ускорение движения

Физический смысл определенного интеграла – это…

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• работа переменной силы
• длина дуги
• ускорение

Форма: d(dz) =d2 z – это обозначение …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• частного дифференциала по одной переменной
• полного дифференциала в квадрате
• полного дифференциала второго порядка

Формула ∫ f(t)dt (t=a..b)= F(b) − F(a) — это формула … @16.PNG

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• Лагранжа
• Коши
• Ньютона-Лейбница

Формула частной производной от неявной функции – это…

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 1) dy / dx = ∂F / ∂x
• 2) dy / dx = ∂F / ∂y
• 3) dy / dx = (∂F / ∂x) / (∂F / ∂y)

Формуле Ньютона-Лейбница соответствует выражение … @image006.png

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 1
• 2
• 3

Функции у = ln(x) соответствует неопределенный интеграл …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• x·ln(x) - x
• x·ln(x) - x + C
• x·ln(x) + C

Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x), если …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• f' (x) = F(x)
• f' (x)dx = F(x)
• F'(x) = f(x)

Частичная сумма ряда – это…

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• сумма n первых членов ряда
• сумма n членов ряда, выбранных по правилу
• сумма последних членов ряда

Частной производной n-го порядка от заданной функции называется…

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• частная производная n-1 порядка в степени n
• частная производная от частной производной n-1 порядка
• сумма частных производных n-1 порядка

Частный дифференциал функции – это …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• полное приращение функции
• обе части частного приращения функции
• главная часть частного приращения функции

Числовой ряд сходится, если предел его частичных сумм…

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• бесконечен
• конечен
• не существует

Чтобы найти полный дифференциал функции нескольких переменных, необходимо…

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• найти ее значение в точке дифференцирования
• найти ее частные производные по всем переменным
• найти приращение функции по одной из переменных

z – функция двух переменных x, y, если…

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• каждой паре (x,y) соответствует одно определенное значение z
• z принимает значение в области хОz
• z принимает значение в области уОz