💯 Математический анализ.ои(dor) (ответы на тест Синергия / МОИ / МТИ / МосАП, апрель 2024)

Математический анализ > Математический анализ

• правильные ответы на вопросы из теста по данной дисциплине
• вопросы отсортированы в лексикографическом порядке

Математический анализ.ои(dor)

1. Введение
2. Тема 1. Введение в математический анализ
3. Тема 2. Теория пределов
4. Тема 3. Дифференциальное исчисление
5. Тема 4. Интегральное исчисление
6. Тема 5. Функции нескольких переменных
7. Тема 6. Числовые ряды
8. Заключение

В точке x = 1 непрерывной является функция … @image015.png

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 1) 1 / x
• 2) 1 / (x − 1)
• 3) (x + 1) / (x² − 1)

Верным равенством при вычислении предела функции является …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 1) lim (x² + 3x − 2) / (x² + 1) = 1, x⟶1
• 2) lim sinx = 1, x⟶0
• 3) lim (x + 1) / x = 3, x⟶∞

Вторая производная функции в точке х0 – это …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• мгновенная скорость протекания процесса
• угловой коэффициент наклона касательной к графику функции в точке х0
• ускорение движения

Второй замечательный предел раскрывает …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• неопределенность вида 0/0
• неопределенность вида ∞/∞
• любую неопределенность

Вычислив предел lim (x − 3) / (x² + 1), x⟶3, получим …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 1
• 0
• 3

Вычислив предел lim (x − 3) / (x² + 1), x⟶3, получим …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 1
• 0
• 3

Геометрический смысл неопределенного интеграла – это …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• площадь трапеции
• площадь криволинейной трапеции
• траектория движения

Дана функция F(x;y) = х3 – xу + 6x = 0. Как выглядит эта функция в явном виде?

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• у = х³ + 6
• х = y + 6
• у = х² + 6

Дана функция y(x) = x^2 + 2x - 5. Правильной записью выражения y(x/2) будет …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 1) y = x² / 4 + x - 5
• 2) y = x² / 4 + x + 5
• 3) y = x² / 4 + x

Даны множества А = {1; 2; 4; 6; 8}; В = {2; 3; 4; 7}. Разность множеств А и В находится с помощью формулы …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• С = АВ = [1; 4; 8]
• С = АВ = {1; 6; 8}
• С = АВ = [2; 6; 7}

Дифференциал от неопределенного интеграла равен …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• подынтегральной функции
• переменной интегрирования
• подынтегральному выражению

Дифференциал произведения двух функции d(u…v) равен …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• du + dv
• vdu + udv
• v ∙ du – u ∙ dv

Для вычисления предела lim (6 − 3x) ⋅ (2x − 1) необходимо выполнить следующую последовательность действий:

Тип ответа: Сортировка

• 1 представить предел произведения как произведение пределов
• 2 вынести общий множитель за скобку
• 3 вынести константу за знак предела
• 4 подставить значение, к которому стремится аргумент

Для применения метода … (нахождение интеграла) подынтегральное выражение разбивается на два множителя.

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• замены переменной
• непосредственного интегрирования
• интегрирования по частям

Если все элементы множества А входят в множество В, то можно сказать, что …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• В – это прообраз множества А
• А – это подмножество множества В
• А – это образ множества В

Если даны множества А = {1; 3; 6; 7; 9}; В = {2; 3; 7}, то их пересечением будет С = А ∩ В

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• {1; 2; 7}
• {6; 9}
• {3; 7}

Если даны функции: t = 4x; u = sint; z = √(u + 1); y = z², то сложная функция y = f(x) будет иметь вид

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 1) y = (√(4x + 1))²
• 2) y = sin4x + 1
• 3) y = √((4u + 1)²)

Если две последовательности {yₙ} и {zₙ} имеют один и тот же предел, а для членов последовательности {xₙ}, начиная с некоторого xₙ, выполняется неравенство yₙ < xₙ < zₙ, то последовательность {xₙ} … @image007.png

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• имеет два предела
• не имеет предела
• имеет тот же предел

Если для функции y = f(x) в точке x = x₀ существует такая ∂-окрестность точки (x₀ - ∂; x₀ + ∂), что для всех точек внутри выполняется неравенство f(x) < f(x₀), то в этой точке будет … функции.

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• минимум
• максимум
• перегиб

Если заданная функция имеет односторонние пределы, которые не равны между собой, то такая функция …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• называется ограниченной
• называется непрерывной
• имеет разрыв

Если из неравенства n < N следует, что член последовательности xₙ < xɴ, то эта последовательность … @image008.png

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• монотонно возрастающая
• монотонно убывающая
• монотонная

Если множество С содержит элементы множества А и множества В, то можно сказать, что С – это …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• соединение двух множеств
• объединение двух множеств
• расширенное множество

Если последовательность {хn} – монотонно возрастающая и ограничена сверху числом М, то она …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• не может достичь М
• имеет предел, меньший или равный М
• равна М

Если при переходе через точку x₀ вторая производная f''(x) меняет знак, точка x₀ называется точкой …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• минимума
• максимума
• перегиба

Если существует такое число м > 0, что для любого n ∈ N выполняется неравенство│xₙ│≥ м, то такая последовательность называется … @image012.png

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• ограниченной снизу
• ограниченной сверху
• неограниченной

Если х0 – критическая точка и при переходе через нее слева направо производная меняет знак с «-» на «+», то в данной точке будет … функции.

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• минимум
• максимум
• перегиб

Если числовая последовательность представлена тремя первыми членами {2; 1 1/4; 1 1/9; …}, то ее общим членом будет …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 1) n² − 1
• 2) n / (x + 1)
• 3) 1 + 1 / n²

Если элемент x не принадлежит множеству X, то записывают …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 1) x ∉ X
• 2) x│X
• 3) x < X

Если α – бесконечно-малая величина, а переменная х имеет предел ≠ 0, то α/х …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• есть бесконечно малая величина
• имеет предел ≠ 0
• не имеет предела

Записать числовой промежуток от 2 до 8, включая двойку и восьмерку, можно в виде …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• [2; 8]
• [2...8]
• [2 – 8]

Инвариантность полного дифференциала позволяет…

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• получить формулы дифференцирования элементарных функций
• находить дифференциал обратной функции
• дифференцировать неявную функцию

Касательная плоскость имеет уравнение … @image038.png

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 1) z = ∂z/∂x ⋅ (x − x₀) + ∂z/∂y ⋅ (y − y₀)
• 2) z − z₀ = ∂z/∂x + ∂z/∂y
• 3) z − z₀ = ∂z/∂x ⋅ (x − x₀) + ∂z/∂y ⋅ (y − y₀)

Метод замены переменной интегрирования х на функцию новой переменной φ(t) можно применять, если выполняются условия …

Тип ответа: Множественный выбор • с выбором нескольких правильных ответов из предложенных вариантов

• функция х = φ(t) дифференцируема
• функция разрывна
• функция х = φ(t) существует и непрерывна
• функция х = φ(t) имеет обратную функцию

Методом замены переменной находятся интегралы … @image034.png

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 1) ∫ (3x² + 6x) dx
• 2) ∫ cos² sinx dx
• 3) ∫ (x² − 1) / (x + 1) dx

Множество значений независимой переменной, для которых определена функция называется

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• областью изменений функции
• областью определения функции
• определенным множеством

На функцию F(x,y,z), чтобы уравнение F(x,y,z) = 0 определяло действительную функцию z = f(x,y), накладывают ограничения …

Тип ответа: Множественный выбор • с выбором нескольких правильных ответов из предложенных вариантов

• F(x,y,z) непрерывна в окрестности точки М(х0, y0 ,z0)
• F(x,y,z) разрывна в окрестности точки М(х0, y0 ,z0)
• F(х0 , y0, z0) = max

Над множествами А = {2; 3; 5; 7; 9} и В = {1; 2; 4; 7} произведены операции, в результате которых получено множество С. Упорядочите полученный результат по возрастанию количества элементов во множестве С:

Тип ответа: Сортировка

• 1 А ∩ В
• 2 A\B; (3, 5, 9)
• 3 A U B

Нахождение неопределенного интеграла – это поиск …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• семейства первообразных функций
• численного значения
• первообразной функции

Необходимым условием существования экстремума функции двух переменных в точке Р(х0, y0) является …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• непрерывность функции
• непрерывность частных производных функции
• равенство нулю всех ее первых частных производных в этой точке

Неопределенность вида 1∞ раскрывается …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• первым замечательным пределом
• алгебраическим преобразованием
• вторым замечательным пределом

Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа интегрируемых функций равен …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• алгебраической сумме неопределенных интегралов от слагаемых
• сумме произведений интегрируемых функций
• произведению суммы интегрируемых функций

Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• некоторой функции
• некоторой функции плюс константа
• дифференциалу функции

Неопределенный интеграл функции f(x) = sin(3x) равен …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• -1/3cos(3x) + C
• 3cos(3x)
• -1/3sin(3x)

Неопределенный интеграл функции y = f(x) — это … @image031.png

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 1) ∫ f(x)dx
• 2) ∫ f(x)
• 3) ∫ f(x)dx, x=a..b

Ниже представлен пример способа интегрирования … ∫ x ⋅ cosx dx = (u = x; du = dx; dv = cosx ⋅ dx v = sinx) = u ⋅ v − ∫ v ⋅ du = x ⋅ sinx + cosx + C @image032.png

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• по частям
• заменой переменной
• непосредственного интегрирования

Нормаль к поверхности в точке – это…

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• прямая, параллельная плоскости
• прямая, перпендикулярная к касательной плоскости в точке касания
• касательная к плоскости

Область определения функции двух переменных может быть представлена …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• отрезками на осях Ox и Oy
• множеством точек пространства xOy
• отрезком на оси Oу

Областью определения функции y = √(x − 4) будет D(y) …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 1) −∞ ≤ x ≤ +∞
• 2) x = 4
• 3) x ≥ 4

Определенный интеграл можно применить для вычисления …

Тип ответа: Множественный выбор • с выбором нескольких правильных ответов из предложенных вариантов

• площади плоской фигуры
• ускорения
• вычисление объема тела по площадям перпендикулярных сечений
• скорости

Определенный интеграл функции y = cos x в пределах от 0 до π равен…

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 0
• 1
• 1/2

Основные методы интегрирования – это …

Тип ответа: Множественный выбор • с выбором нескольких правильных ответов из предложенных вариантов

• интегрирование по частям
• с заменой переменной интегрирования
• интегрирование по формулам сокращенного умножения.

Первообразной функции у = 6х2 + 2х – 1 является …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 2x³ + x² – x
• 2x³ + x² + С
• 2x³ + x² – x + С

Первые три члена последовательности 2ⁿ / (n + 1) — это … @image011.png

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 1) 1/4; 4/7; 9/10
• 2) 4; 7; 10
• 3) 1; 4/3; 2

Последовательность называется бесконечно большой, если ее предел равен …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• бесконечности
• нулю
• большой величине

Предел функции lim sin4x / arcsin2x, x⟶0 равен … @image018.png

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• ∞
• 4
• 2

Предел функции lim sinx / (√(x + 4) − 2), x⟶0 равен … @image019.png

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• ∞
• 4
• 2

При обозначении множеств используют …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• круглые скобки
• фигурные скобки
• как круглые, так и фигурные скобки

Продолжив запись формулы дифференцирования сложной функции, получим: y = f(g(x)) – …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• y' = f'(g) + g'(x)
• y' = f'(g) · g'(x)
• y' = f'(g) · x + g'(x)

Продолжив запись формулы, получим: d(U(x) · V(x)) = …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• dU(x) · d(V(x))
• dU(x) · V(x) + U(x) · d(V(x))
• dU(x^2) · V(x^2)

Произведение производной функции на дифференциал аргумента называется …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• интегралом функции
• дифференциалом функции
• интегральным произведением

Производная функции f(x) = 2x4 – x3 + 5x2 – x + 6 равна …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 2x³ – x² + 5x – x
• 4x³ – 3x² + 2x² – 1
• 8x³ – x² + 10x –1

Производная функции f(x) = sin(3x) равна …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 3x cos (-3x)
• 3cos (3x)
• -3sin (3x)

Производная функции y = f(x) равна … @image021.png

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• y' = lim Δy / Δx, Δx⟶0
• y' = lim y / Δx, Δx⟶0
• y' = lim f(x) / Δx, Δx⟶0

Производная функции y' = f(x) в точке х0 – это …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• средняя скорость
• угловой коэффициент наклона касательной к графику функции в точке х₀
• ускорение движения

Промежутками непрерывности функции y = x / (x − 2) будут …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• D(y) = (- ∞; (x-2)) U ((x-2); ∞)
• D(y) = (- ∞; 2) U (2; ∞)
• D(y) = (- ∞) U (∞)

Процесс нахождения первообразной называется …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• интегрированием
• дифференцированием
• логарифмированием

Процесс нахождения производной называется …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• интегрированием
• дифференцированием
• логарифмированием

С помощью определенного интеграла можно найти…

Тип ответа: Множественный выбор • с выбором нескольких правильных ответов из предложенных вариантов

• среднюю скорость
• площадь криволинейной трапеции
• длину дуги

Точка x₀ является критической точкой второго рода, если выполняется условие … @image028.png

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 1) f''(x) < 0
• 2) f''(x) > 0
• 3) f''(x) = 0
• 4) f''(x) < 0

Укажите правильный порядок нахождения экстремумов функции:

Тип ответа: Сортировка

• 1 найти область определения функции
• 2 найти первую производную функции
• 3 найти критические точки в области непрерывности функции
• 4 исследовать знак производной в окрестностях критических точек

Установите соответствие между функциями и их классами, к которым они относятся:

Тип ответа: Сопоставление

• A. у = sin 3x
• B. у = 2ˣ⁻²
• C. у = х³
• D. тригонометрическая функция
• E. показательная функция
• F. степенная функция

Физический смысл определенного интеграла – это …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• мгновенная скорость
• работа переменной силы
• ускорение движения

Физический смысл первой производной функции – …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• мгновенная скорость
• угловой коэффициент наклона касательной к графику функции
• ускорение движения

Формула общего члена числовой последовательности 2, 1 1/2, 1 1/3, 1 1/4, … — это …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 1) aₙ = 1 + 1 / n
• 2) aₙ = n + 1 / n
• 3) aₙ = 1 / n

Формула частной производной от неявной функции — это … @image037.png

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 1) dy / dx = ∂F / ∂x
• 2) dy / dx = ∂F / ∂y
• 3) dy / dx = (∂F / ∂x) / (∂F / ∂y)

Формула ഽ f(t)dt = F(b) − F(a) — это формула …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• Лагранжа
• Коши
• Ньютона-Лейбница

Функции у = ln(x) соответствует неопределенный интеграл …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• x·ln(x) - x
• x·ln(x) - x + C
• x·ln(x) + C

Функция у = х3 – это …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• нечетная функция
• четная функция
• функция общего вида

Функция у = х6 – это …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• четная функция
• нечетная функция
• функция общего вида

Функция f(x) возрастает на промежутке (a, b), если на этом промежутке выполняется условие … @image026.png

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 1) f'(x) > 0
• 2) f'(x) < 0
• 3) f'(x) = 0

Функция y = √(x − 4) является … @image005.png

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• показательной
• дробно-рациональной
• иррациональной

Частной производной n-го порядка от заданной функции называется…

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• частная производная n-1 порядка в степени n
• частная производная от частной производной n-1 порядка
• сумма частных производных n-1 порядка

Числовой промежуток от 5 до + ∞, включая пятерку, можно записать в виде …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• [5; + ∞)
• [5; + ∞}
• {4; ∞}

Чтобы найти полный дифференциал функции нескольких переменных, необходимо…

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• найти ее значение в точке дифференцирования
• найти ее частные производные по всем переменным
• найти приращение функции по одной из переменных