3852
11 Мая 2018 в 13:24 11.05.2018 в 13:24

Ряды Фурье

Содержание

Ряды Фурье – способ представления сложной функции суммой более простых, хорошо известных.
Синус и косинус – это периодические функции. Еще они образуют ортогональный базис. Это свойство можно объяснить по аналогии с осями XX и YY на координатной плоскости. Точно так же, как мы можем описать координаты точки относительно осей, мы можем описать любую функцию относительно синусов и косинусов. Тригонометрические функции хорошо изучены и их легко применять в математике.

Представить синусы и косинусы можно в виде таких волн:

ряды фурье волны синус и косинус
Синие – это косинусы, красные – синусы. Еще такие волны называют гармониками. Косинусы – четными, синусы – нечетными. Термин гармоника пришел еще из античности и связан с наблюдениями о взаимосвязи высот звуков в музыке.

Что такое ряд Фурье

Такой ряд, где в качестве простейших используются функции синуса и косинуса, называется тригонометрическим. Назван он в честь своего изобретателя Жана Батиста Жозефа Фурье, в конце XVIII–начале XIX в. доказавшего, что любую функцию можно представить в виде комбинации таких гармоник. И чем больше их взять, тем точнее это представление будет. Для примера картинка ниже: можно заметить, что с большим количеством гармоник, т. е. членов ряда Фурье, красный график становится все ближе к синему – исходной функции.

фурье пример построения в гиф.gif

Практическое применение в современном мире

А вообще нужны ли эти ряды сейчас? Где они могут применяться практически и использует ли их кто-то кроме математиков-теоретиков? Оказывается, Фурье потому и знаменит на весь мир, что практическая польза его рядов буквально неисчислима. Их удобно применять там, где есть какие-либо колебания или волны: акустика, астрономия, радиотехника и т. д. Самый простой пример его использования: механизм работы фотоаппарата или видеокамеры. Если объяснять вкратце, эти устройства записывают не просто картинки, а коэффициенты рядов Фурье. И работает это везде – при просмотре картинок в интернете, фильма или прослушивании музыки. Именно благодаря рядам Фурье вы сейчас можете прочитать эту статью со своего мобильного телефона. Без преобразования Фурье нам не хватило бы никакой пропускной способности интернет-соединений, чтобы просто посмотреть видео на YouTube даже в стандартном качестве.

двухмерное преобразование

На этой схеме двухмерное преобразование Фурье, которое используется для разложения изображения на гармоники, т. е. базисные составляющие. На этой схеме черным закодировано значение -1, белым 1. Вправо и вниз по графику увеличивается частота.

Разложение в ряд Фурье

Наверное, вы уже устали читать, поэтому перейдем к формулам.
Для такого математического приема, как разложение функций в ряд Фурье, придется брать интегралы. Много интегралов. В общем виде ряд Фурье записывают в виде бесконечной суммы:

f(x)=A+n=1(ancos(nx)+bnsin(nx))f(x) = A + \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(a_n \cos(nx)+b_n \sin(nx))
где
A=12πππf(x)dxA = \frac{1}{2\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)dx
an=1πππf(x)cos(nx)dxa_n = \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)dx
bn=1πππf(x)sin(nx)dxb_n = \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)dx

Если мы каким-то образом сможем посчитать бесконечное количество ana_n и bnb_n (они и называются коэффициентами разложения Фурье, AA - это просто постоянная этого разложения), то полученный ряд в результате будет на 100% совпадать с исходной функцией f(x)f(x) на отрезке от π-\pi до π\pi. Такой отрезок обусловлен свойствами интегрирования синуса и косинуса. Чем больше nn, для которого мы рассчитаем коэффициенты разложения функции в ряд, тем точнее будет это разложение.

Пример

Возьмем простую функцию y=5xy=5x
A=12πππf(x)dx=12πππ5xdx=0A = \frac{1}{2\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)dx = \frac{1}{2\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} 5xdx = 0
a1=1πππf(x)cos(x)dx=1πππ5xcos(x)dx=0a_1 = \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(x)dx = \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} 5x\cos(x)dx = 0
b1=1πππf(x)sin(x)dx=1πππ5xsin(x)dx=10b_1 = \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(x)dx = \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} 5x\sin(x)dx = 10
a2=1πππf(x)cos(2x)dx=1πππ5xcos(2x)dx=0a_2 = \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(2x)dx = \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} 5x\cos(2x)dx = 0
b2=1πππf(x)sin(2x)dx=1πππ5xsin(2x)dx=5b_2 = \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(2x)dx = \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} 5x\sin(2x)dx = -5

И так далее. В случае с такой функцией мы можем сразу сказать, что все an=0a_n=0, коэффициенты bnb_n придется вычислять. Если мы возьмем первые четыре члена разложения в ряд Фурье для функции y=5xy=5x, получим:

5x10sin(x)5sin(2x)+103sin(3x)52sin(4x)5x \approx 10 \cdot \sin(x) - 5 \cdot \sin(2 \cdot x) + \frac{10}{3} \cdot \sin(3 \cdot x) - \frac{5}{2} \cdot \sin (4 \cdot x)

График получившейся функции будет выглядеть следующим образом:

полученный график.png
Получившееся разложение в ряд Фурье приближается к нашей исходной функции. Если мы возьмем большее количество членов ряда, например, 15, то увидим уже следующее:

полученный график 2 пример.png
Чем больше членов разложения в ряд, тем выше точность.
Если мы немного изменим масштаб графика, сможем заметить еще одну особенность преобразования: ряд Фурье – это периодическая функция с периодом 2π2\pi.

полученный график 3 итоговый пример

Таким образом, можно представлять любую функцию, которая является непрерывной на отрезке [π;π][-\pi;\pi]. Все это нужно для того, чтобы облегчить анализ каких-то явлений, которые описываются сложными функциями. Не всегда возможно аналитически (т. е. по формуле) посчитать производную, а в случае с набором синусов и косинусов такой проблемы не возникнет. Собственно разложение в ряд Фурье показывает, что зачастую задачи можно решать аналитически на упрощенных моделях, одним из примеров которых и является ряд Фурье.

+1
-1
Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат

Интересные статьи за сегодня

Можно ли сдать экзамены раньше срока?
8494 +73
0
Форму набора каждый выбирает сам – по возможностям или по желанию. Спешим обрадовать: у коммерции тоже есть плюсы.
8803 +64
3
Раскрываем различия между дипломом и магистерской диссертацией.
4556 +60
0
Куда пойти учиться, чтобы стать будущим Биллом Гейтсом или Марком Цукербергом?
1181 +58
1
Автор
Хотите выполнять заказы? Стать автором
Заказчик
Хотите заказать работу? Разместить заказ
Доверьте свою работу экспертам
Разместите заказ
Наша система отправит ваш заказ на оценку 29 788 авторам
Первые отклики появятся уже в течение 10 минут