913
11 Мая в 13:2411.05.2018 в 13:24

Ряды Фурье

Содержание

Ряды Фурье – способ представления сложной функции суммой более простых, хорошо известных.
Синус и косинус – это периодические функции. Еще они образуют ортогональный базис. Это свойство можно объяснить по аналогии с осями XX и YY на координатной плоскости. Точно так же, как мы можем описать координаты точки относительно осей, мы можем описать любую функцию относительно синусов и косинусов. Тригонометрические функции хорошо изучены и их легко применять в математике.

Представить синусы и косинусы можно в виде таких волн:

ряды фурье волны синус и косинус
Синие – это косинусы, красные – синусы. Еще такие волны называют гармониками. Косинусы – четными, синусы – нечетными. Термин гармоника пришел еще из античности и связан с наблюдениями о взаимосвязи высот звуков в музыке.

Что такое ряд Фурье

Такой ряд, где в качестве простейших используются функции синуса и косинуса, называется тригонометрическим. Назван он в честь своего изобретателя Жана Батиста Жозефа Фурье, в конце XVIII–начале XIX в. доказавшего, что любую функцию можно представить в виде комбинации таких гармоник. И чем больше их взять, тем точнее это представление будет. Для примера картинка ниже: можно заметить, что с большим количеством гармоник, т. е. членов ряда Фурье, красный график становится все ближе к синему – исходной функции.

фурье пример построения в гиф.gif

Практическое применение в современном мире

А вообще нужны ли эти ряды сейчас? Где они могут применяться практически и использует ли их кто-то кроме математиков-теоретиков? Оказывается, Фурье потому и знаменит на весь мир, что практическая польза его рядов буквально неисчислима. Их удобно применять там, где есть какие-либо колебания или волны: акустика, астрономия, радиотехника и т. д. Самый простой пример его использования: механизм работы фотоаппарата или видеокамеры. Если объяснять вкратце, эти устройства записывают не просто картинки, а коэффициенты рядов Фурье. И работает это везде – при просмотре картинок в интернете, фильма или прослушивании музыки. Именно благодаря рядам Фурье вы сейчас можете прочитать эту статью со своего мобильного телефона. Без преобразования Фурье нам не хватило бы никакой пропускной способности интернет-соединений, чтобы просто посмотреть видео на YouTube даже в стандартном качестве.

двухмерное преобразование

На этой схеме двухмерное преобразование Фурье, которое используется для разложения изображения на гармоники, т. е. базисные составляющие. На этой схеме черным закодировано значение -1, белым 1. Вправо и вниз по графику увеличивается частота.

Разложение в ряд Фурье

Наверное, вы уже устали читать, поэтому перейдем к формулам.
Для такого математического приема, как разложение функций в ряд Фурье, придется брать интегралы. Много интегралов. В общем виде ряд Фурье записывают в виде бесконечной суммы:

f(x)=A+n=1(ancos(nx)+bnsin(nx))f(x) = A + \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(a_n \cos(nx)+b_n \sin(nx))
где
A=12πππf(x)dxA = \frac{1}{2\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)dx
an=1πππf(x)cos(nx)dxa_n = \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)dx
bn=1πππf(x)sin(nx)dxb_n = \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)dx

Если мы каким-то образом сможем посчитать бесконечное количество ana_n и bnb_n (они и называются коэффициентами разложения Фурье, AA - это просто постоянная этого разложения), то полученный ряд в результате будет на 100% совпадать с исходной функцией f(x)f(x) на отрезке от π-\pi до π\pi. Такой отрезок обусловлен свойствами интегрирования синуса и косинуса. Чем больше nn, для которого мы рассчитаем коэффициенты разложения функции в ряд, тем точнее будет это разложение.

Пример

Возьмем простую функцию y=5xy=5x
A=12πππf(x)dx=12πππ5xdx=0A = \frac{1}{2\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)dx = \frac{1}{2\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} 5xdx = 0
a1=1πππf(x)cos(x)dx=1πππ5xcos(x)dx=0a_1 = \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(x)dx = \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} 5x\cos(x)dx = 0
b1=1πππf(x)sin(x)dx=1πππ5xsin(x)dx=10b_1 = \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(x)dx = \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} 5x\sin(x)dx = 10
a2=1πππf(x)cos(2x)dx=1πππ5xcos(2x)dx=0a_2 = \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(2x)dx = \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} 5x\cos(2x)dx = 0
b2=1πππf(x)sin(2x)dx=1πππ5xsin(2x)dx=5b_2 = \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(2x)dx = \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} 5x\sin(2x)dx = -5

И так далее. В случае с такой функцией мы можем сразу сказать, что все an=0a_n=0, коэффициенты bnb_n придется вычислять. Если мы возьмем первые четыре члена разложения в ряд Фурье для функции y=5xy=5x, получим:

5x10sin(x)5sin(2x)+103sin(3x)52sin(4x)5x \approx 10 \cdot \sin(x) - 5 \cdot \sin(2 \cdot x) + \frac{10}{3} \cdot \sin(3 \cdot x) - \frac{5}{2} \cdot \sin (4 \cdot x)

График получившейся функции будет выглядеть следующим образом:

полученный график.png
Получившееся разложение в ряд Фурье приближается к нашей исходной функции. Если мы возьмем большее количество членов ряда, например, 15, то увидим уже следующее:

полученный график 2 пример.png
Чем больше членов разложения в ряд, тем выше точность.
Если мы немного изменим масштаб графика, сможем заметить еще одну особенность преобразования: ряд Фурье – это периодическая функция с периодом 2π2\pi.

полученный график 3 итоговый пример

Таким образом, можно представлять любую функцию, которая является непрерывной на отрезке [π;π][-\pi;\pi]. Все это нужно для того, чтобы облегчить анализ каких-то явлений, которые описываются сложными функциями. Не всегда возможно аналитически (т. е. по формуле) посчитать производную, а в случае с набором синусов и косинусов такой проблемы не возникнет. Собственно разложение в ряд Фурье показывает, что зачастую задачи можно решать аналитически на упрощенных моделях, одним из примеров которых и является ряд Фурье.

+0
-1
Комментарии
Нет комментариев

Интересные статьи за сегодня

Как составить резюме молодому специалисту

Что написать в резюме, если вы только окончили вуз и у вас нет опыта?
52 +39
0

Кто в России счастлив на работе

Кто в России счастлив на работе?
435 +27
4

Антиплагиат: что это такое

Детальный обзор систем антиплагиата: как с ними работать и как повысить уникальность
3538 +26
0

Как защищать курсовую работу

О том, как преподнести себя публике и уберечь нервную систему (не только свою), представляя свое научное детище, – читайте в нашей статье.
200 +25
1
Хотите выполнять заказы?
Стать автором
Хотите заказать работу?
Разместить заказ