278
11 Сен 2018 в 11:32 11.09.2018 в 11:32

Дифференцирование неявных функций

Содержание

Явные и неявные

В этой статье мы познакомимся с неявными функциями и техникой их дифференцирования. Вспомним для начала, как выглядят функции, заданные явно. Это “обычные” функции вида y=f(x)y=f(x), с которыми вы уже имели дело и умеете вычислять их производные. Запись y=f(x)y=f(x) обозначает, что мы функцию yy смогли выразить (явно представить) через её аргумент xx. З неявными функциями дело обстоит иначе. Здесь мы не можем “перетащить” yy в левую сторону выражения, а все что содержит xx — в правую. Такие функциональные зависимости в общем виде можно записать так:

F(x,y)=0F(x, y)=0

Эта запись означает, что величины xx и yy как-то связанны между собой, но ничего не говорится о том, как yy выражается через xx (и можно ли это вообще сделать). Одну и ту же функцию (но не каждую) можно записать как в явном так и в неявном виде. Например, неявно заданную функцию F(x,y)=3xy+5xF(x, y)=3xy+\frac{5}{x} можно записать явно: y(x)=53x2y(x)=-\frac{5}{3x^2}. В этом случае нам удалось выразить yy через xx. Или, если:

F(x,y)=x2+y21=0F(x, y)=x^2+y^2-1=0

то

y=±1x2y=\pm \sqrt{1-x^2}

Здесь функция получилась многозадачной (именно двузначной, отвечающей двум знакам), но это не страшно. Мы все-равно представили yy как выражение зависящее от xx. В правой стороне у нас присутствует только xx.
Но существуют случаи, когда этого сделать нельзя. Можно навести множество примеров таких функций. Например:

F(x,y)=ylnx+eyy2F(x, y)=y\ln x+e^yy^2

Ну попробуйте выразить отсюда yy через xx. То есть запишите эту функцию в виде y=f(x)y=f(x). Вот вам и пример неявной заданной функции. Ещё пример:

F(x,y)=xsinx+ysiny12F(x, y)=x\sin x+y\sin y-12

Здесь, мы хотя и не можем выразить yy через xx, но мы все-равно можем считать yy функцией от аргумента xx. Так как каждому значению xx будут соответствовать какие-то значения yy.
Естественно, возникает вопрос о дифференцировании подобных функций. Вы уже понимаете, что эта операция очень важна, и было бы тяжело поверить, что математики ничего не придумали на этот счет.

Дифференцирование неявно заданных функций

Оказывается, что для того чтобы посчитать производную от yy по xx нам не обязательно решать уравнение:

F(x,y)=0F(x, y)=0

Теоретически можно доказать (пользуюсь определением производной, производя предельный переход и т. д.), что:

Формула дифференцирования неявной функции

dydx=F(x,y)xF(x,y)y\frac{dy}{dx}=-\frac{\frac{\partial F(x, y)}{\partial x}}{\frac{\partial F(x, y)}{\partial y}}

Обозначение \partial обозначает частную производную. Мы здесь имеем дело с двумя переменными xx и yy и берем производные от функции F(x,y)F(x, y) по этим величинам. Так, выражение:

F(x,y)x\frac{\partial F(x, y)}{\partial x}

говорит, что берется производная от F(x,y)F(x, y) по xx, при этом величина yy считается постоянной. Следует обратить внимание на знак “минус” перед дробью, а также на то, что мы не можем сократить числитель и знаменатель на F(x,y)\partial F(x, y), так как производные берутся по разным величинам. Вооружившись этой главной формулой вычисления производных от неявных функций, перейдем к разбору нескольких примеров.

Примеры

Пример 1

F(x,y)=x2+y21F(x, y)=x^2+y^2-1

F(x,y)x=2x,     F(x,y)y=2y\frac{\partial F(x, y)}{\partial x}=2x,\ \ \ \ \ \frac{\partial F(x, y)}{\partial y}=2y

dydx=F(x,y)xF(x,y)y=2x2y=xy\frac{dy}{dx}=-\frac{\frac{\partial F(x, y)}{\partial x}}{\frac{\partial F(x, y)}{\partial y}}=-\frac{2x}{2y}=-\frac{x}{y}

Пример 2

F(x,y)=xsinx+ysiny12F(x, y)=x\sin x+y\sin y-12

F(x,y)x=sinx+xcosx,     F(x,y)y=siny+ycosy\frac{\partial F(x, y)}{\partial x}=\sin x+x \cos x,\ \ \ \ \ \frac{\partial F(x, y)}{\partial y}=\sin y+y \cos y

dydx=F(x,y)xF(x,y)y=sinx+xcosxsiny+ycosy\frac{dy}{dx}=-\frac{\frac{\partial F(x, y)}{\partial x}}{\frac{\partial F(x, y)}{\partial y}}=-\frac{\sin x+x\cos x}{\sin y+y\cos y}

Пример 3
  1. F(x,y)=3xy+5xF(x, y)=3xy+\frac{5}{x}

F(x,y)x=3y5x2,     F(x,y)y=3x\frac{\partial F(x, y)}{\partial x}=3y-\frac{5}{x^2},\ \ \ \ \ \frac{\partial F(x, y)}{\partial y}=3x

dydx=F(x,y)xF(x,y)y=3y5x23x=3yx253x3\frac{dy}{dx}=-\frac{\frac{\partial F(x, y)}{\partial x}}{\frac{\partial F(x, y)}{\partial y}}=-\frac{3y-\frac{5}{x^2}}{3x}=-\frac{3yx^2-5}{3x^3}

Но здесь мы можем выразить yy через xx явно:

y=53x2y=-\frac{5}{3x^2}

Подставим это выражение в формулу для производной выше:

dydx=103x3\frac{dy}{dx}=\frac{10}{3x^3}

А теперь поступим так, как будто нам с самого начала была известна явная зависимость y=f(x)y=f(x). То есть продифференцируем функцию y(x)=53x2y(x)=-\frac{5}{3x^2} по xx:

dydx=ddx(53x2)=53(2)1x3=103x3\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\Big(-\frac{5}{3x^2}\Big)=-\frac{5}{3}(-2)\frac{1}{x^3}=\frac{10}{3x^3}

Получили то же самое. Значит мы все сделали правильно.

+0
-0
Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат

Интересные статьи за сегодня

В жизни каждого студента случается момент, когда он задумывается, «где я повернул не туда?».
1138 +115
0
Пришла пора получше изучить свои права как студента.
664 +100
0
Форму набора каждый выбирает сам – по возможностям или по желанию. Спешим обрадовать: у коммерции тоже есть плюсы.
2792 +52
0
Сегодня вы студент, а завтра уже нет. Как вернуться к учебе после отчисления?
4803 +37
0
Где лучше всего студентам живется?
3509 +34
1
Хотите выполнять заказы?
Стать автором
Хотите заказать работу?
Разместить заказ
Доверьте свою работу экспертам
Разместите заказ
Наша система отправит ваш заказ на оценку 30 715 авторам
Первые отклики появятся уже в течение 10 минут