121
11 Сен в 11:3211.09.2018 в 11:32

Дифференцирование неявных функций

Содержание

Явные и неявные

В этой статье мы познакомимся с неявными функциями и техникой их дифференцирования. Вспомним для начала, как выглядят функции, заданные явно. Это “обычные” функции вида y=f(x)y=f(x), с которыми вы уже имели дело и умеете вычислять их производные. Запись y=f(x)y=f(x) обозначает, что мы функцию yy смогли выразить (явно представить) через её аргумент xx. З неявными функциями дело обстоит иначе. Здесь мы не можем “перетащить” yy в левую сторону выражения, а все что содержит xx — в правую. Такие функциональные зависимости в общем виде можно записать так:

F(x,y)=0F(x, y)=0

Эта запись означает, что величины xx и yy как-то связанны между собой, но ничего не говорится о том, как yy выражается через xx (и можно ли это вообще сделать). Одну и ту же функцию (но не каждую) можно записать как в явном так и в неявном виде. Например, неявно заданную функцию F(x,y)=3xy+5xF(x, y)=3xy+\frac{5}{x} можно записать явно: y(x)=53x2y(x)=-\frac{5}{3x^2}. В этом случае нам удалось выразить yy через xx. Или, если:

F(x,y)=x2+y21=0F(x, y)=x^2+y^2-1=0

то

y=±1x2y=\pm \sqrt{1-x^2}

Здесь функция получилась многозадачной (именно двузначной, отвечающей двум знакам), но это не страшно. Мы все-равно представили yy как выражение зависящее от xx. В правой стороне у нас присутствует только xx.
Но существуют случаи, когда этого сделать нельзя. Можно навести множество примеров таких функций. Например:

F(x,y)=ylnx+eyy2F(x, y)=y\ln x+e^yy^2

Ну попробуйте выразить отсюда yy через xx. То есть запишите эту функцию в виде y=f(x)y=f(x). Вот вам и пример неявной заданной функции. Ещё пример:

F(x,y)=xsinx+ysiny12F(x, y)=x\sin x+y\sin y-12

Здесь, мы хотя и не можем выразить yy через xx, но мы все-равно можем считать yy функцией от аргумента xx. Так как каждому значению xx будут соответствовать какие-то значения yy.
Естественно, возникает вопрос о дифференцировании подобных функций. Вы уже понимаете, что эта операция очень важна, и было бы тяжело поверить, что математики ничего не придумали на этот счет.

Дифференцирование неявно заданных функций

Оказывается, что для того чтобы посчитать производную от yy по xx нам не обязательно решать уравнение:

F(x,y)=0F(x, y)=0

Теоретически можно доказать (пользуюсь определением производной, производя предельный переход и т. д.), что:

Формула дифференцирования неявной функции

dydx=F(x,y)xF(x,y)y\frac{dy}{dx}=-\frac{\frac{\partial F(x, y)}{\partial x}}{\frac{\partial F(x, y)}{\partial y}}

Обозначение \partial обозначает частную производную. Мы здесь имеем дело с двумя переменными xx и yy и берем производные от функции F(x,y)F(x, y) по этим величинам. Так, выражение:

F(x,y)x\frac{\partial F(x, y)}{\partial x}

говорит, что берется производная от F(x,y)F(x, y) по xx, при этом величина yy считается постоянной. Следует обратить внимание на знак “минус” перед дробью, а также на то, что мы не можем сократить числитель и знаменатель на F(x,y)\partial F(x, y), так как производные берутся по разным величинам. Вооружившись этой главной формулой вычисления производных от неявных функций, перейдем к разбору нескольких примеров.

Примеры

Пример 1

F(x,y)=x2+y21F(x, y)=x^2+y^2-1

F(x,y)x=2x,     F(x,y)y=2y\frac{\partial F(x, y)}{\partial x}=2x,\ \ \ \ \ \frac{\partial F(x, y)}{\partial y}=2y

dydx=F(x,y)xF(x,y)y=2x2y=xy\frac{dy}{dx}=-\frac{\frac{\partial F(x, y)}{\partial x}}{\frac{\partial F(x, y)}{\partial y}}=-\frac{2x}{2y}=-\frac{x}{y}

Пример 2

F(x,y)=xsinx+ysiny12F(x, y)=x\sin x+y\sin y-12

F(x,y)x=sinx+xcosx,     F(x,y)y=siny+ycosy\frac{\partial F(x, y)}{\partial x}=\sin x+x \cos x,\ \ \ \ \ \frac{\partial F(x, y)}{\partial y}=\sin y+y \cos y

dydx=F(x,y)xF(x,y)y=sinx+xcosxsiny+ycosy\frac{dy}{dx}=-\frac{\frac{\partial F(x, y)}{\partial x}}{\frac{\partial F(x, y)}{\partial y}}=-\frac{\sin x+x\cos x}{\sin y+y\cos y}

Пример 3
  1. F(x,y)=3xy+5xF(x, y)=3xy+\frac{5}{x}

F(x,y)x=3y5x2,     F(x,y)y=3x\frac{\partial F(x, y)}{\partial x}=3y-\frac{5}{x^2},\ \ \ \ \ \frac{\partial F(x, y)}{\partial y}=3x

dydx=F(x,y)xF(x,y)y=3y5x23x=3yx253x3\frac{dy}{dx}=-\frac{\frac{\partial F(x, y)}{\partial x}}{\frac{\partial F(x, y)}{\partial y}}=-\frac{3y-\frac{5}{x^2}}{3x}=-\frac{3yx^2-5}{3x^3}

Но здесь мы можем выразить yy через xx явно:

y=53x2y=-\frac{5}{3x^2}

Подставим это выражение в формулу для производной выше:

dydx=103x3\frac{dy}{dx}=\frac{10}{3x^3}

А теперь поступим так, как будто нам с самого начала была известна явная зависимость y=f(x)y=f(x). То есть продифференцируем функцию y(x)=53x2y(x)=-\frac{5}{3x^2} по xx:

dydx=ddx(53x2)=53(2)1x3=103x3\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\Big(-\frac{5}{3x^2}\Big)=-\frac{5}{3}(-2)\frac{1}{x^3}=\frac{10}{3x^3}

Получили то же самое. Значит мы все сделали правильно.

+0
-0
Комментарии
Нет комментариев

Интересные статьи за сегодня

Кто в России счастлив на работе

Кто в России счастлив на работе?
358 +21
3

Как защищать курсовую работу

О том, как преподнести себя публике и уберечь нервную систему (не только свою), представляя свое научное детище, – читайте в нашей статье.
132 +20
1

Антиплагиат: что это такое

Детальный обзор систем антиплагиата: как с ними работать и как повысить уникальность
3462 +17
0

Образование за рубежом: все ли так идеально?

Студенты за рубежом выступают против платного образования и поддельных дипломов.
20 +14
0
Хотите выполнять заказы?
Стать автором
Хотите заказать работу?
Разместить заказ