304
26 Июл в 08:2426.07.2018 в 08:24

Формула и ряд Маклорена

Содержание

Идея представления функции в виде многочлена с остаточным слагаемым основана на разложении функции в степенной ряд.

Ряды Тейлора и Маклорена

Бесконечно дифференцируемую в точке x0x_0 функцию действительной переменной f(x)f(x) можно разложить в ряд по степеням двучлена (xx0)(x-x_0):

f(x)=f(x0)+f(x0)1!(xx0)+f(x0)2!(xx0)2++f(n)(x0)n!(xx0)n+=f(x)=f(x_0)+\dfrac{f{'}(x_0)}{1!}(x-x_0) +\dfrac{f{''}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 +\ldots+\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n +\ldots =

=k=0f(k)(x0)k!(xx0)k=\sum\limits_{k=0}^{\infty} \dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k

Этот ряд называют рядом Тейлора.

В случае x0=0x_0=0, полученный степенной ряд:

f(x)=f(0)+f(0)1!x+f(0)2!(xx0)2++f(n)(x0)n!(xx0)n+=f(x)=f(0)+\dfrac{f{'}( 0)}{1!} x +\dfrac{f{''}(0)}{2!}(x-x_0)^2 +\ldots+\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n +\ldots =

=k=0f(k)(x0)k!(xx0)k=\sum\limits_{k=0}^{\infty} \dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k

называют рядом Маклорена.

Запишем разложения основных элементарных функций в ряд Маклорена, укажем соответствующие интервалы сходимости и приведем примеры их определения.

  • Показательная функция:

ex=1+x1!+x22!+x33!++xnn!+=k=1xnn!,x<e^x=1+\dfrac{x}{1!} +\dfrac{x^2}{2!} +\dfrac{x^3}{3!}+\ldots+\dfrac{x^n}{n!}+\ldots=\sum\limits_{k=1}^{\infty} \dfrac{x^n}{n!},\quad |x|<\infty

  • Тригонометрические функции:

sinx=x1!x33!+x55!x77!++(1)n+1x2n1(2n1)!+=k=1(1)k+1x2k1(2k1)!,x<\sin x=\dfrac{x}{1!} -\dfrac{x^3}{3!} +\dfrac{x^5}{5!} -\dfrac{x^7}{7!} +\ldots+\dfrac{(-1)^{n+1}x^{2n-1}}{(2n-1)!}+\ldots=\sum\limits_{ k =1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{ k +1}x^{2 k -1}}{(2 k -1)!},\quad |x|<\infty

cosx=1x22!+x44!x66!++(1)n+1x2n(2n)!+=k=0(1)kx2k(2k)!,x<\cos x=1 -\dfrac{x^2}{2!} +\dfrac{x^4}{4!} -\dfrac{x^6}{6!} +\ldots+\dfrac{(-1)^{n+1}x^{2n}}{(2n)!}+\ldots=\sum\limits_{ k =0}^{\infty} \dfrac{(-1)^{k}x^{2 k }}{(2 k)!},\quad |x|<\infty

arctgx=xx33+x55x77++(1)nx2n+12n+1+=k=0(1)kx2k+12k+1,x1\arctg x=x-\dfrac{x^3}{3} +\dfrac{x^5}{5} -\dfrac{x^7}{7} +\ldots+\dfrac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}+\ldots=\sum\limits_{ k =0}^{\infty} \dfrac{(-1)^{ k }x^{2 k +1}}{2 k +1},\quad |x|\le{1}

  • Логарифмическая функции:

ln(1+x)=x1!x22!+x33!x44!++(1)n+1xnn!+=k=1(1)k+1xkk!,x(1;1]\ln (1+x)=\dfrac{x}{1!} -\dfrac{x^2}{2!} +\dfrac{x^3}{3!} -\dfrac{x^4}{4!} +\ldots+\dfrac{(-1)^{n+1}x^{n}}{n!}+\ldots=\sum\limits_{ k =1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{ k +1}x^{ k }}{ k!},\quad x\in (-1;1]

  • Степенная функции:

(1+x)α=1+α1!x+α(α1)2!x2+α(α1)(α2)3!x3++α(α1)(αn+1)n!xn+=(1+x)^\alpha=1+\dfrac{\alpha }{1!}x+\dfrac{\alpha (\alpha -1)}{2!}x^2 +\dfrac{\alpha (\alpha -1)( \alpha -2)}{3!} x^3 +\ldots+\dfrac{\alpha (\alpha -1) \ldots ( \alpha-n+1)} {n!} {x^n}+\ldots=

=k=0α(α1)(αk+1)k!xk=\sum\limits_{ k =0}^{\infty} \dfrac{\alpha (\alpha -1) \ldots ( \alpha-k+1)}{ k!} {x^ k }

11x=1+x+x2++xn+=k=0xk,x<1\dfrac{1}{1-x}=1+x+x^2+\ldots+x^n+\ldots =\sum\limits_{ k =0}^{\infty}x^{ k },\quad |x|<1

Пример 1

Найдем для функции:

f(x)=sinxf(x)=\sin x

интервал сходимости ряда:

f(x)=sinx==n=1(1)n+1x2n1(2n1)!f(x)=\sin x==\sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n+1}x^{2n-1}}{(2n-1)!}

Воспользуемся признаком Даламбера:

limnan+1an=limnx2n+1/(2n+1)!x2n1/(2n1)!=x2limn12n(2n+1)=0\lim\limits_{n \to \infty } \left | \dfrac {a_{n+1}}{a_n} \right | = \lim\limits_{n \to \infty } \left | \dfrac {x^{2n+1}/{(2n+1)!}}{ x^{2n-1}/{(2n-1)!}} \right | =x^2 \lim\limits_{n \to \infty } \dfrac {1} {2n(2n+1)}=0

Полученный результат говорит о том, что предел равен нулю для любого xx, и, следовательно, интервалом сходимости ряда является вся числовая ось.

Пример 2

Найдем интервал сходимости ряда для функции

f(x)=arctgx=n=0(1)nx2n+12n+1,x1f(x)=\arctg x= \sum\limits_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}, \quad |x|\le{1}

Воспользовавшись признаком Даламбера применительно к степенному ряду, получаем:

limnan+1an=limnx2n+1/(2n+1)x2n1/(2n1)=x2limn2n12n+1=x2limn21n2+1n=x2\lim\limits_{n \to \infty } \left | \dfrac {a_{n+1}}{a_n} \right | = \lim\limits_{n \to \infty } \left | \dfrac {x^{2n+1}/(2n+1)}{ x^{2n-1}/(2n-1)} \right | =x^2 \lim\limits_{n \to \infty } \dfrac {2n-1} {2n+1}=x^2 \lim\limits_{n \to \infty } \dfrac {2-\dfrac{1}{n}}{2+\dfrac{1}{n}}= x^2

Условие сходимости по этому признаку имеет вид:

x2<1x^2<1

В граничных точках x=±1x=\pm1 получаем знакопеременный ряд вида:

n=0anx2n+1\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n x^{2n+1},

где an=1n+1|a_n|=\dfrac {1}{n+1}

Заметим, что

limnan=0\lim\limits_{n \to \infty } |a_n|=0

и, согласно признаку Лейбница, знакопеременный ряд сходится. Таким образом, интервалом сходимости исходного ряда является: x1|x| \le 1.

Применение формулы и рядов Маклорена

Вычисление значений функций

Идея использования рядов для приближенного вычисления примечательна тем, что можно добиться требуемой точности, т.е. фактически найти требуемое значение со сколь угодно высокой точностью.

Пример

Вычислим значение числа ee с точностью до второго знака после запятой. Воспользуемся разложением в ряд Маклорена функции f(x)=exf(x)=e^x при x=1x=1, вычислив сумму до шестого члена в разложении и с остаточным членом в форме Лагранжа:

e1=1+11!+12!+13!+14!+15!+ec6!,0c1e^1=1+\dfrac {1}{1!} +\dfrac {1}{2!} +\dfrac {1}{3!} +\dfrac {1}{4!} +\dfrac {1}{5!} +\dfrac {e^c}{6!},\quad 0\le c \le 1

Далее:

e1=16360!+ec6!2.716+ec6!,0c1e^1=\dfrac {163}{60!} +\dfrac {e^c}{6!}\approx 2.716+\dfrac {e^c}{6!},\quad 0\le c \le 1

Учитывая, что ec6!<0.0014\dfrac {e^c}{6!}<0.0014 получаем результат e2.72e \approx 2.72

Вычисление пределов функций

На практике часто встречаются такие пределы, которые нельзя найти, используя первый и второй замечательные пределы, правило Лопиталя или другие способы вычислений. В этих случаях можно воспользоваться разложением элементарных функций в степенной ряд Маклорена и уже затем найти сам предел.

Пример

Вычислим:

limx0e2x12x2x2xsinx\lim\limits_{x \to 0 } \dfrac {e^{2x}-1-2x-2x^2}{x-\sin {x}}

Заменим exe^x и sinx\sin{x} их разложениями в степенные ряды, находим:

limx0e2x12x2x2xsinx=limx0(1+2x+4x22!+8x33!+)12x2x2x(xx33!+x55!)=\lim\limits_{x \to 0 } \dfrac {e^{2x}-1-2x-2x^2}{x-\sin {x}}=\lim\limits_{x \to 0 } \dfrac {\left( 1+2x+\dfrac{4x^2}{2!}+\dfrac{8x^3}{3!}+\ldots \right)-1-2x-2x^2}{x-\left( x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\ldots \right)}=

=limx08x33!+16x44!+x33!x55!+=limx083!+16x4!+13!x25!+=8=\lim\limits_{x \to 0 } \dfrac {\dfrac{8x^3}{3!}+\dfrac{16x^4}{4!}+\ldots} {\dfrac{x^3}{3!} -\dfrac{x^5}{5!}+\ldots} = \lim\limits_{x \to 0 } \dfrac {\dfrac{8}{3!}+\dfrac {16x}{4!} +\ldots} {\dfrac{1}{3!} -\dfrac{x^2}{5!}+\ldots}=8

Вычисление определенных интегралов

Конечно, на практике лучше всего вычислять точное значение определенного интеграла. Но очень часто соответствующие неопределенные интегралы является «неберущимися». Поэтому для приближенного вычисления определенного интеграла используется разложение подынтегральной функции в ряд Маклорена.

Пример

Вычислим с точностью до третьего знака после запятой:

01x3exdx\displaystyle \int\limits_0^1 \sqrt[3] x e^{-x} dx

Для приближенного вычисления этого определенного интеграла используется разложение функции f(x)=sqrt[3]xexf(x)= sqrt[3] x e^{-x} в ряд Маклорена:

f(x)=sqrt[3]xex=x1/3x4/3+12x7/316x10/3+f(x)= sqrt[3] x e^{-x}=x^{1/3}-x^{4/3}+\dfrac{1}{2}x^{7/3}-\dfrac{1}{6}x^{10/3}+\ldots

Интервал, заданный пределами интегрирования: 0x10 \le x \le 1 входит в радиус сходимости полученного ряда (;+)(-\infty;+\infty).

Интегрируя почленно, получаем:

01f(x)=01x1/3dx01x4/3dx+1201x7/3dx1601x10/3dx+=\displaystyle\int\limits_0^1 f(x)= \int\limits_0^1 x^{1/3}dx-\int\limits_0^1 x^{4/3}dx+\dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 x^{7/3}dx-\dfrac{1}{6}\int\limits_0^1 x^{10/3}dx+\ldots=

=34x4/30137x7/301+3210x10/3013613x13/301+= \dfrac{3}{4} \Biggl. x^{4/3}\Biggr |_0^1-\dfrac{3}{7} \Biggl. x^{7/3}\Biggr |_0^1+\dfrac{3}{2 \cdot 10} \Biggl. x^{10/3}\Biggr |_0^1-\dfrac{3}{6 \cdot 13} \Biggl. x^{13/3}\Biggr|_0^1+\ldots

и с учетом требуемой точности:

01x3exdx3437+32103613928+292601974550,433\displaystyle\int\limits_0^1 \sqrt[3] x e^{-x} dx \approx \dfrac{3}{4}-\dfrac{3}{7}+\dfrac{3}{2 \cdot 10}-\dfrac{3}{6 \cdot 13}\approx \dfrac{9}{28}+\dfrac{29}{260} \approx \dfrac{197}{455} \approx 0,433

Автор статьи
+0
-0
Комментарии
Нет комментариев

Интересные статьи за сегодня

Кто в России счастлив на работе

Кто в России счастлив на работе?
358 +21
3

Как защищать курсовую работу

О том, как преподнести себя публике и уберечь нервную систему (не только свою), представляя свое научное детище, – читайте в нашей статье.
132 +20
1

Антиплагиат: что это такое

Детальный обзор систем антиплагиата: как с ними работать и как повысить уникальность
3462 +17
0

Образование за рубежом: все ли так идеально?

Студенты за рубежом выступают против платного образования и поддельных дипломов.
20 +14
0
Хотите выполнять заказы?
Стать автором
Хотите заказать работу?
Разместить заказ