318
16 Июл в 10:0216.07.2018 в 10:02

Функциональные ряды. Основные понятия

Содержание

Перед тем как перейти непосредственным к функциональным рядам, поговорим о числовых рядах и последовательностях.

Числовые ряды

В теории рядов рассматривают числовые последовательности вида

a1,a2,a3,an,a_1,a_2,a_3,\ldots a_n,\ldots,

которые состоят из неограниченного количества чисел – членов последовательности. По сути, берется последовательность натуральных чисел n{n} и каждому nn ставится в соответствие, согласно некоторому определенному правилу, число ana_n.

Выражение

a1+a2+a3++an+,a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n+\ldots,

состоящее из членов последовательности, называется бесконечным числовым рядом.

В общем виде такой ряд записывается как:

n=1an\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n

Сумму SnS_n первых nn членов числового ряда называют nn–ой частичной суммой:

Sn=a1+a2+a3++anS_n=a_1+a_2+a_3+…+a_n

Сходимость числового ряда

Если существует конечный предел:

limnSn=S,\lim\limits_{n \to \infty } S_n = S,

то ряд называется сходящимся, а значение SS называют суммой ряда.

Если предел не существует или он равен \infty, то ряд является расходящимся.

Функциональные последовательности

Аналогично вводится понятие функциональной последовательности и функционального ряда. Берется последовательность натуральных чисел n{n} и каждому nn ставится в соответствие, согласно некоторому определенному правилу, функция fn(x)f_n (x). Если функции fn(x)f_n (x) определены на некотором множестве xEx \in E, ERE \subset R, то на множестве EE определена и функциональная последовательность:

f1(x),f2(x),f3(x),fn(x),f_1 (x),f_2 (x),f_3 (x), \ldots f_n (x), \ldots

Соответственно, множество EE является областью определения этой функциональной последовательности fn(x){f_n (x)}. Для любого отдельно взятого значения xx из множества EE функциональная последовательность является числовой последовательностью.

Функциональные ряды

Выражение:

f1(x)+f2(x)+f3(x)++fn(x)+,f_1 (x)+f_2 (x)+f_3 (x)+ \ldots +f_n (x)+ \ldots,

состоящее из членов функциональной последовательности, называется функциональным рядом. В общем виде такой ряд записывается как:

n=1fn(x)\sum\limits_{n=1}^{\infty} f_n(x)

Несколько примеров функциональных рядов:

sinx2!+sin2x3!+sin3x4!++sinnx(n+1)!+=n=1sinnx(n+1)!\frac{\sin x}{2!}+\frac{\sin 2x}{3!}+\frac{\sin 3x}{4!}+\ldots+\frac{\sin nx}{(n+1)!}+\ldots=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\sin nx}{(n+1)!}

ex+12+ex+24ex+38++(1)nex+n2n+=n=1(1)nex+n2n-\frac{e^{x+1}}{2}+\frac{ e^{x+2}}{4}-\frac{e^{x+3}}{8} +\ldots +(-1)^n\frac{ e^{x+n}}{2^n}+\ldots=\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{ e^{x+n}}{2^n}

x2+x23+x34++xnn+1+=n=1xnn+1\frac{x}{2}+\frac{ x^2}{3}+\frac{x^3}{4} +\ldots +\frac{x^n}{n+1} +\ldots=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n+1}

Сходимость функциональных рядов

Сумму SnS_n первых nn членов функционального ряда называют n–ой частичной суммой:

Sn(x)=f1(x)+f2(x)+f3(x)++fn(x)S_n (x)=f_1 (x)+f_2 (x)+f_3 (x)+\ldots+f_n (x)

Если при определенном значении xEx\in E существует конечный предел:

limnSn(x)=S(x),\lim\limits_{n \to \infty } S_n (x) = S (x),

то ряд называется сходящимся, а значение S(x)S(x) называют суммой ряда. Соответствующее значение xx, при котором ряд сходится, является точкой сходимости функционального ряда. Множество DD всех точек сходимости функционального ряда называют областью сходимости данного ряда.

Условие существования предела

При nn \to \infty предел частичных сумм равен S(x)S(x), если для любого ε>0\varepsilon>0 существует такое N(ε,x)N(\varepsilon,x), что при любом n>N(ε,x)n> N(\varepsilon,x) выполняется соотношение
Sn(x)S(x)<ε.|S_n (x)-S(x)|<\varepsilon.

Равномерная сходимость функциональных рядов

Помимо сходимости, для функциональных рядов вводится понятие равномерной сходимости. В приведенном условии существования предела значение NN зависит от ε\varepsilon и конкретного значения xx. Если в некоторой области xGx \in G условие сходимости выполняется и, при этом, значение N(ε,x)=N(ε)N(\varepsilon,x)= N(\varepsilon) не зависит от конкретного значения xx, т.е . N(ε)N(\varepsilon) является одним и тем же для всех xGx \in G, то функциональный ряд является равномерно сходящимся в области GG:

limnSn(x)xGS(x)\lim\limits_{n \to \infty } S_n (x) \underset {x \in G}{\rightrightarrows} S (x)

Степенные ряды

Одним из видов функциональных рядов являются степенные ряды, которые записываются как:

n=1an(xx0)n\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n (x-x_0)^n

Как правило, в большинстве курсов высшей математики изучение функциональных рядов ограничивается исследованиями степенных рядов.

Сходимость функциональных рядов

Область сходимости степенного ряда определяется радиусом сходимости:

xx0<R|x - x_0| < R

Сходимость на границе области xx0=R|x - x_0| = R обычно исследуется дополнительно.

Степенной ряд вида:

n=1an(xx0)n\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n (x-x_0)^n

сходится равномерно в любом круге вида xx0<r|x - x_0| < r, целиком лежащем внутри круга сходимости.

Пример

Найдем область сходимости степенного ряда

n=1x2n=x2+x4+x6+x8+.\sum\limits_{n=1}^{\infty} x^{2n}=x^2+x^4+x^6+x^8+\ldots.

Заметим, что сумма SnS_n первых nn членов является суммой геометрической прогрессии, и она записывается в виде:

Sn=x2+x4+x6+x8++x2n=x2(1x2n)1x2,x21S_n=x^2+x^4+x^6+x^8+\ldots+x^{2n} = \frac {x^2(1-x^{2n})}{1-x^2}, \qquad x^2\ne1

Очевидно, что в случае x2=1x^2=1 ряд расходится. Предел частичных сумм существует при x2<1x^2<1 и он равен:

limnSn(x)=limnx2(1x2n)1x2=x21x2\lim\limits_{n \to \infty } S_n (x) = \lim\limits_{n \to \infty } \frac {x^2(1-x^{2n})}{1-x^2}=\frac {x^2}{1-x^2}

При x2>1x^2>1 конечного предела частичных сумм Sn(x)S_n (x) не существует, т.к. в этом случае x2nx^{2n} \to \infty. Таким образом, данный степенной ряд сходится при x2<1x^2<1.

+0
-0
Комментарии
Нет комментариев

Интересные статьи за сегодня

Кто в России счастлив на работе

Кто в России счастлив на работе?
358 +21
3

Как защищать курсовую работу

О том, как преподнести себя публике и уберечь нервную систему (не только свою), представляя свое научное детище, – читайте в нашей статье.
132 +20
1

Антиплагиат: что это такое

Детальный обзор систем антиплагиата: как с ними работать и как повысить уникальность
3462 +17
0

Образование за рубежом: все ли так идеально?

Студенты за рубежом выступают против платного образования и поддельных дипломов.
20 +14
0
Хотите выполнять заказы?
Стать автором
Хотите заказать работу?
Разместить заказ