Механический смысл дифференциала функции

Содержание

Дифференциал в механике

Рассмотрим механический смысл дифференциала функции. И для начала напомним, что дифференциалом функции y=f(x)y=f(x) в точке xx называется величина:

dy=f(x)dx,dy=f'(x)dx,

где f(x)f'(x) — производная функции f(x)f(x) в точке xx.

Мы не пишем точку x0x_0, потому что эта формула справедлива для любой точки xx из области определения функции f(x)f(x). Видно, что дифференциал функции dydy тоже будет функцией точки. Для того чтобы выяснить, в чем состоит механический смысл дифференциала, нам придется вспомнить физический (или механический) смысл самой производной.

Итак, рассмотрим материальную точку, движущуюся в пространстве. Пусть для простоты она движется по прямой, скажем, вдоль оси xx. Пусть в момент времени t=0t=0 наше тело (материальная точка) находилось в точке x=0x=0. Пусть теперь тело движется с какой-то скоростью, не обязательно постоянной. Это значит, что существует какая-то функция координаты xx от времени tt. В общем виде ее можно записать как:

x=x(t)x=x(t)

Эту функцию называют законом движения тела вдоль оси xx. Как найти скорость тела в момент времени tt? В статье Физический смысл производной мы выяснили, что скорость тела vv равна производной от положения тела (его координаты) по времени. Стало быть:

v=dx(t)dtv=\frac{dx(t)}{dt}

Эта формула говорит, что за малое время dtdt тело проходит расстояние dxdx. И скорость – это просто их отношение. Но dxdx это же дифференциал функции x=x(t)x=x(t). Значит, какой тогда получается физический (механический) смысл дифференциала?

dxdx – это перемещение тела за время dtdt, если тело на протяжении этого отрезка времени (dtdt) двигалось со скоростью vv. Мы уже сказали, что скорость тела может изменяться, то есть vv – это функция tt : v=v(t)v=v(t). Давайте запишем нашу формулу для дифференциала функции с указанием ее аргумента:

dx(t)=v(t)dtdx(t)=v(t)dt

Итак, мы выбираем себе некоторый (любой) момент времени tt, потом «отсчитываем» от него маленький отрезок Δt\Delta t и наблюдаем, какое расстояние прошло тело за это время. Для этого нам нужно знать скорость, с которой тело двигалось в этот промежуток времени. Но скорость постоянно меняется. Поэтому мы берем все меньше и меньше промежуток времени Δt\Delta t, пока скорость «почти» не будет меняться. Это позволит нам считать, что скорость на промежутке Δt\Delta t будет «почти» постоянной. В этом случае мы сможем вычислить расстояние, пройденное телом за это время, по привычной формуле: Δx=vΔt\Delta x=v\Delta t. Эта формула будет тем «точнее», чем меньше будет Δt\Delta t. В пределе, когда Δt0\Delta t\rightarrow 0, мы получим:

dx=vdtdx=vdt

То есть формулу для дифференциала.

Итак, мы с разных сторон подошли к вопросу о механическом смысле дифференциала функции.

Дифференциал с механической точки зрения – это бесконечно малое расстояние, пройденное телом за бесконечно малое время так, если бы все это время тело двигалось с постоянной скоростью.

Еще несколько примеров дифференциалов в физике

Нужно сказать, что хотя это и механический смысл дифференциала, но в физике дифференциал имеет разный смысл в зависимости от того, с какими зависимостями (функциями) мы имеем дело.

Дифференциал скорости

dv=adtdv=adt

aa – ускорение тела.

Дифференциал механической работы

dA=FdrdA={F}d{r}

F{F} – сила, действующая на частицу,
dr{dr} – элементарное перемещение.

Дифференциал массы тела

dm=ρdVdm=\rho dV

ρ\rho – плотность вещества,
dVdV – дифференциал объема, занимаемого телом.

Закон радиоактивного распада вещества

И напоследок закон радиоактивного распада вещества за малое время dtdt в дифференциальной форме:

dN=λNdtdN=-\lambda Ndt

NN – количество радиоактивного вещества в момент времени tt,
λ\lambda – постоянная распада.

+9
-0
Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат

Интересные статьи за сегодня

Делимся основными ошибками, которые из года в год допускают старшеклассники.
1391 +158
0
Как к ним подготовиться и что отвечать.
3337 +154
3
Признаки хорошего колледжа.
764 +103
0
Автор
Хотите выполнять заказы? Стать автором
Заказчик
Хотите заказать работу? Разместить заказ
Доверьте свою работу экспертам
Разместите заказ
Наша система отправит ваш заказ на оценку 33 747 авторам
Первые отклики появятся уже в течение 10 минут
Напишем уникальную работу
Скидка 10%