296
30 Мая в 13:2630.05.2018 в 13:26

Механический смысл дифференциала функции

Содержание

Дифференциал в механике

Рассмотрим механический смысл дифференциала функции. И для начала напомним, что дифференциалом функции y=f(x)y=f(x) в точке xx называется величина:

dy=f(x)dx,dy=f'(x)dx,

где f(x)f'(x) — производная функции f(x)f(x) в точке xx.

Мы не пишем точку x0x_0, потому что эта формула справедлива для любой точки xx из области определения функции f(x)f(x). Видно, что дифференциал функции dydy тоже будет функцией точки. Для того чтобы выяснить, в чем состоит механический смысл дифференциала, нам придется вспомнить физический (или механический) смысл самой производной.

Итак, рассмотрим материальную точку, движущуюся в пространстве. Пусть для простоты она движется по прямой, скажем, вдоль оси xx. Пусть в момент времени t=0t=0 наше тело (материальная точка) находилось в точке x=0x=0. Пусть теперь тело движется с какой-то скоростью, не обязательно постоянной. Это значит, что существует какая-то функция координаты xx от времени tt. В общем виде ее можно записать как:

x=x(t)x=x(t)

Эту функцию называют законом движения тела вдоль оси xx. Как найти скорость тела в момент времени tt? В статье Физический смысл производной мы выяснили, что скорость тела vv равна производной от положения тела (его координаты) по времени. Стало быть:

v=dx(t)dtv=\frac{dx(t)}{dt}

Эта формула говорит, что за малое время dtdt тело проходит расстояние dxdx. И скорость – это просто их отношение. Но dxdx это же дифференциал функции x=x(t)x=x(t). Значит, какой тогда получается физический (механический) смысл дифференциала?

dxdx – это перемещение тела за время dtdt, если тело на протяжении этого отрезка времени (dtdt) двигалось со скоростью vv. Мы уже сказали, что скорость тела может изменяться, то есть vv – это функция tt : v=v(t)v=v(t). Давайте запишем нашу формулу для дифференциала функции с указанием ее аргумента:

dx(t)=v(t)dtdx(t)=v(t)dt

Итак, мы выбираем себе некоторый (любой) момент времени tt, потом «отсчитываем» от него маленький отрезок Δt\Delta t и наблюдаем, какое расстояние прошло тело за это время. Для этого нам нужно знать скорость, с которой тело двигалось в этот промежуток времени. Но скорость постоянно меняется. Поэтому мы берем все меньше и меньше промежуток времени Δt\Delta t, пока скорость «почти» не будет меняться. Это позволит нам считать, что скорость на промежутке Δt\Delta t будет «почти» постоянной. В этом случае мы сможем вычислить расстояние, пройденное телом за это время, по привычной формуле: Δx=vΔt\Delta x=v\Delta t. Эта формула будет тем «точнее», чем меньше будет Δt\Delta t. В пределе, когда Δt0\Delta t\rightarrow 0, мы получим:

dx=vdtdx=vdt

То есть формулу для дифференциала.

Итак, мы с разных сторон подошли к вопросу о механическом смысле дифференциала функции.

Дифференциал с механической точки зрения – это бесконечно малое расстояние, пройденное телом за бесконечно малое время так, если бы все это время тело двигалось с постоянной скоростью.

Еще несколько примеров дифференциалов в физике

Нужно сказать, что хотя это и механический смысл дифференциала, но в физике дифференциал имеет разный смысл в зависимости от того, с какими зависимостями (функциями) мы имеем дело.

Дифференциал скорости

dv=adtdv=adt

aa – ускорение тела.

Дифференциал механической работы

dA=FdrdA={F}d{r}

F{F} – сила, действующая на частицу,
dr{dr} – элементарное перемещение.

Дифференциал массы тела

dm=ρdVdm=\rho dV

ρ\rho – плотность вещества,
dVdV – дифференциал объема, занимаемого телом.

Закон радиоактивного распада вещества

И напоследок закон радиоактивного распада вещества за малое время dtdt в дифференциальной форме:

dN=λNdtdN=-\lambda Ndt

NN – количество радиоактивного вещества в момент времени tt,
λ\lambda – постоянная распада.

+0
-0
Комментарии
Нет комментариев

Интересные статьи за сегодня

Кто в России счастлив на работе

Кто в России счастлив на работе?
358 +21
3

Как защищать курсовую работу

О том, как преподнести себя публике и уберечь нервную систему (не только свою), представляя свое научное детище, – читайте в нашей статье.
132 +20
1

Антиплагиат: что это такое

Детальный обзор систем антиплагиата: как с ними работать и как повысить уникальность
3462 +17
0

Образование за рубежом: все ли так идеально?

Студенты за рубежом выступают против платного образования и поддельных дипломов.
20 +14
0
Хотите выполнять заказы?
Стать автором
Хотите заказать работу?
Разместить заказ