126
6 Сен в 07:5706.09.2018 в 07:57

Разложение функций в степенные ряды

Содержание

Степенные ряды и их сходимость

Степенной ряд в общем виде записывается как:

a0+a1(xx0)+a2(xx0)2++an(xx0)n+=k=0ak(xx0)ka_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\ldots+a_n(x-x_0)^n+\ldots=\sum\limits_{k=0}^{\infty} a_k(x-x_0)^k,

где a0,a1,,an,a_0, a_1, \ldots, a_n, \ldots – постоянные, коэффициенты ряда,

x0x_0 – центр интервала сходимости ряда xx0<R|x-x_0|<R,

RR – радиус сходимости.

Ряд называют сходящимся, когда для частичных сумм Sn(x)S_n(x):

Sn(x)=a0+a1(xx0)+a2(xx0)2++an(xx0)nS_n(x)= a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\ldots+a_n(x-x_0)^n

существует предел, сумма ряда S(x)S(x):

limnSn(x)=S(x)\lim\limits_{n \to \infty } S_n (x) = S (x)

Интервал сходимости степенного ряда определяется радиусом сходимости:

xx0<R|x-x_0|<R

Сходимость на границе области xx0=R|x-x_0|=R, обычно исследуется дополнительно. Степенной ряд вида:

k=1ak(xx0)k\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k(x-x_0)^k

сходится равномерно в любом круге вида xx0r|x-x_0| \le{r}, целиком лежащем внутри круга сходимости.

Примеры степенных рядов

2!(x2)2+3!(x5)24++(n+1)!(x2)n2n+=k=1(k+1)!(x2)k2k\frac{2!(x-2)}{2}+\frac{3!(x-5)^2}{4}+\ldots +\frac{(n+1)!(x-2)^n}{2^{n}} +\ldots =\sum \limits_{k=1} ^{\infty} \frac{(k+1)!(x-2)^k}{2^{k}}

x28ln22x316ln32+x432ln42+(1)nxn2n+1lnn2+=k=2(1)kxk2k+1lnk2\frac{x^{2}}{8\ln^{2}{2}}-\frac{x^{3}}{16\ln^{3}{2}}+ \frac{x^{4}} {32\ln^{4}{2}}-\ldots+(-1)^n\frac{ x^{n}}{2^{n+1}\ln^{n}{2}}+\ldots = \sum\limits_{k=2}^{\infty} (-1)^k \frac{x^{k}}{2^{k+1}\ln^{k}{2}}

Разложение функций в ряд Тейлора и Маклорена

Возьмем функцию f(x)f(x), которая является бесконечно дифференцируемой в точке x0x_0. Такую функцию можно разложить в степенной ряд следующего вида:

f(x)=f(x0)+f(x0)1!(xx0)+f(x0)2!(xx0)2++f(n)(x0)n!(xx0)n+=k=0f(k)(x0)k!(xx0)kf(x)=f(x_0)+\dfrac{f{'}(x_0)}{1!}(x-x_0) +\dfrac{f{''}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 +\ldots+\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n +\ldots =\sum\limits_{k=0}^{\infty} \dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k

Этот ряд по степеням двучлена (xx0)(x-x_0 ) называют рядом Тейлора.

В случае x0=0x_0=0 полученный степенной ряд:

f(x)=f(0)+f(0)1!x+f(0)2!(xx0)2++f(n)(x0)n!(xx0)n+=k=0f(k)(x0)k!(xx0)kf(x)=f(0)+\dfrac{f{'}( 0)}{1!} x +\dfrac{f{''}(0)}{2!}(x-x_0)^2 +\ldots+ \dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n +\ldots =\sum\limits_{k=0}^{\infty} \dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k

называют рядом Маклорена.

Ряд Тейлора можно свести к ряду Маклорена, используя замену переменных:

xx0=t,f(x)=f(x0+t)=g(t)x-x_0=t, \quad f(x)=f(x_0+t)=g(t)

Подставив:

f(x)=f(x0+t)=f(0)+f(x0)1!t+f(x0)2!t2++f(n)(x0)n!tn+=k=0f(k)(x0)k!tkf(x)=f(x_0+t)=f(0)+\dfrac{f{'}(x_ 0)}{1!} t +\dfrac{f{''}(x_0)}{2!}t^2 +\ldots+\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}t^n +\ldots =\sum\limits_{k=0}^{\infty} \dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}t^k

получаем ряд Маклорена:

g(t)=g(0)+g(0)1!t++g(n)(0)n!tn+=k=0g(k)(0)k!tkg(t)=g(0)+\dfrac{g{'}( 0)}{1!}t +\ldots+\dfrac{g^{(n)}(0)}{n!}t^n +\ldots =\sum\limits_{k=0}^{\infty} \dfrac{g^{(k)}(0)}{k!}t^k

Ряды Тейлора и Маклорена, как и любые степенные ряды, имеют соответствующий интервал сходимости.

Пример

Разложим в ряд Тейлора функцию:

f(x)=1x1f(x)=\dfrac{1}{x-1} в окрестности точки x0=2x_0=2.

С помощью замены:

xx0=x2=tx-x_0=x-2=t

функция сводится к виду:

f(x)=f(t+2)=11+tf(x)=f(t+2)=\dfrac{1}{1+t}

Полученное выражение при t<1|t|<1 является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем (t)(-t), и ряд записывается в виде:

11+t=1t+t2t3++(1)ntn+=k=0(1)ktk\dfrac {1}{1+t}=1-t+t^2-t^3+\ldots+(-1)^{n}t^{n}+\ldots =\sum\limits_{k=0}^{\infty} (-1)^{k}t^{k}

Возвращаясь к переменной xx, получаем разложение по степеням двучлена (x2)(x-2):

1x2=1(x2)+(x2)2(x2)3++(1)n(x2)n+=k=0(1)k(x2)k,x2<1\dfrac {1}{x-2}=1-(x-2)+ (x-2)^2-(x-2)^3+\ldots+(-1)^{n}(x-2)^{n}+\ldots =\sum\limits_{k=0}^{\infty} (-1)^{k}(x-2)^{k}, \quad |x-2|<1

Разложение основных элементарных функций в степенной ряд

Разложение в степенной ряд многих функций проще осуществлять путем сведения задач к разложениям элементарных функций. Запишем разложения основных элементарных функций в ряд Маклорена, укажем соответствующие интервалы сходимости:

ex=1+x1!+x22!+x33!++xnn!+=k=1xnn!,x<e^x=1+\dfrac{x}{1!} +\dfrac{x^2}{2!} +\dfrac{x^3}{3!}+\ldots+\dfrac{x^n}{n!}+\ldots=\sum\limits_{k=1}^{\infty} \dfrac{x^n}{n!},\quad |x|<\infty

ax=1+xlna1!+(xlna)22!+(xlna)33!++(xlna)nn!+=k=1(xlna)nn!,x<{a^x} = 1 + \large\frac{{x\ln a}}{{1!}}\normalsize + \large\frac{{{{\left( {x\ln a} \right)}^2}}}{{2!}}\normalsize + \large\frac{{{{\left( {x\ln a} \right)}^3}}}{{3!}}\normalsize + \ldots + \large\frac{{{{\left( {x\ln a} \right)}^n}}}{{n!}}\normalsize + \ldots=\sum\limits_{k=1}^{\infty} \dfrac{{(x\ln{a})}^n}{n!},\quad |x|<\infty

ln(1+x)=xx22+x33x44++(1)nxn+1n+1+=k=1(1)k+1xkk!,    1<x1\ln \left( {1 + x} \right) = x - \large\frac{{{x^2}}}{2}\normalsize + \large\frac{{{x^3}}}{3}\normalsize - \large\frac{{{x^4}}}{4}\normalsize + \ldots + \large\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}\normalsize + \ldots= \sum\limits_{ k =1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{ k +1}x^{ k }}{ k!} ,\;\; - 1 < x \le 1

lnx=2[x1x+1+13(x1x+1)3+15(x1x+1)5+],    x>0\ln x = 2\left[ {\large\frac{{x - 1}}{{x + 1}}\normalsize + \large\frac{1}{3}\normalsize {{\left( {\large\frac{{x - 1}}{{x + 1}}\normalsize} \right)}^3} + \large\frac{1}{5}\normalsize{{\left( {\large\frac{{x - 1}}{{x + 1}}\normalsize} \right)}^5} + \ldots } \right],\;\;x > 0

sinx=x1!x33!+x55!x77!++(1)n+1x2n1(2n1)!+=k=1(1)k+1x2k1(2k1)!,x<\sin x=\dfrac{x}{1!} -\dfrac{x^3}{3!} +\dfrac{x^5}{5!} -\dfrac{x^7}{7!} +\ldots+\dfrac{(-1)^{n+1}x^{2n-1}}{(2n-1)!}+\ldots=\sum\limits_{ k =1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{ k +1}x^{2 k -1}}{(2 k -1)!},\quad |x|<\infty

cosx=1x22!+x44!x66!++(1)n+1x2n(2n)!+=k=0(1)kx2k(2k)!,x<\cos x=1 -\dfrac{x^2}{2!} +\dfrac{x^4}{4!} -\dfrac{x^6}{6!} +\ldots+\dfrac{(-1)^{n+1}x^{2n}}{(2n)!}+\ldots=\sum\limits_{ k =0}^{\infty} \dfrac{(-1)^{k}x^{2 k }}{(2 k)!},\quad |x|<\infty

tgx=x+x33+2x515+17x7315+62x92835+,    x<π2\tg x = x + \large\frac{{{x^3}}}{3}\normalsize + \large\frac{{2{x^5}}}{{15}} \normalsize + \large\frac{{17{x^7}}}{{315}}\normalsize + \large\frac {{62{x^9}}}{{2835}}\normalsize + \ldots ,\;\;\left| x \right| < \large\frac{\pi }{2} \normalsize

ctgx=1x(x3+x345+2x5945+2x74725+),    x<π\ctg x = \large\frac{1}{x}\normalsize - \left({\large\frac{x}{3}\normalsize+ \large \frac{{{x^3}}}{{45}}\normalsize + \large\frac{{2{x^5}}}{{945}} \normalsize + \large\frac{{2{x^7}}}{{4725}}\normalsize + \ldots } \right),\;\;\left| x \right| < \pi

arcsinx=x+x323+13x5245++135(2n1)x2n+1246(2n)(2n+1)+,    x<1\arcsin x = x + \large\frac{{{x^3}}}{{2 \cdot 3}}\normalsize + \large\frac{{1 \cdot 3{x^5}}}{{2 \cdot 4 \cdot 5}}\normalsize + \ldots + \large\frac{{1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots \left( {2n - 1} \right){x^{2n + 1}}}}{{2 \cdot 4 \cdot 6 \ldots \left( {2n} \right)\left( {2n + 1} \right)}}\normalsize + \ldots ,\;\;\left| x \right| < 1

arccosx=π2(x+x323+13x5245++135(2n1)x2n+1246(2n)(2n+1)+),    x<1\arccos x = \large\frac{\pi }{2}\normalsize - \left( {x + \large\frac{{{x^3}}}{{2 \cdot 3}}\normalsize + \large\frac{{1 \cdot 3{x^5}}}{{2 \cdot 4 \cdot 5}}\normalsize + \ldots + \large\frac{{1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots \left( {2n - 1} \right){x^{2n + 1}}}}{{2 \cdot 4 \cdot 6 \ldots \left( {2n} \right)\left( {2n + 1} \right)}}\normalsize + \ldots} \right) ,\;\;\left| x \right| < 1

arctgx=xx33+x55x77++(1)nx2n+12n+1±,    x1\arctg x = x - \large\frac{{{x^3}}}{3}\normalsize + \large\frac{{{x^5}}}{5} \normalsize - \large\frac{{{x^7}}}{7}\normalsize + \ldots +\large\frac{{{{\left({-1} \right)}^n}{x^{2n + 1}}}}{{2n + 1}}\normalsize \pm \ldots ,\;\;\left| x \right| \le1

chx=1+x22!+x44!+x66!++x2n(2n)!+=k=0x2k(2k)!\ch x = 1 + \large\frac{{{x^2}}}{{2!}}\normalsize + \large\frac{{{x^4}}} {{4!}}\normalsize + \large\frac{{{x^6}}}{{6!}}\normalsize + \ldots + \large\frac {{{x^{2n}}}}{{\left( {2n} \right)!}}\normalsize + \ldots=\sum\limits_{ k =0}^{\infty} \dfrac{x^{2k}}{(2k)!}

shx=x+x33!+x55!+x77!++x2n+1(2n+1)!+=k=0x2k+1(2k+1)!\sh x = x + \large\frac{{{x^3}}}{{3!}}\normalsize + \large\frac{{{x^5}}}{{5!}} \normalsize + \large\frac{{{x^7}}}{{7!}}\normalsize + \ldots + \large\frac {{{x^{2n + 1}}}}{{\left( {2n + 1} \right)!}}\normalsize + \ldots =\sum\limits_{ k =0}^{\infty} \dfrac{x^{2 k+1 }}{(2k+1)!}

Примеры разложения функций в степенной ряд

Пример 1

Разложим в ряд Тейлора, функцию

f(x)=(x1)ln(x22x+2)f(x)=(x-1)\ln (x^2-2x+2)

в окрестности точки x0=1x_0=1. Выполнив замену переменной

xx0=x1=tx-x_0=x-1=t

записываем функцию в виде:

g(t)=tln(1+t2)g(t)=t \ln(1+t^2)

Используя далее разложение логарифмической функции:

ln(1+t2)=k=1(1)k+1(t2)kk!=k=1(1)k+1t2kk!\ln{(1+t^2)}=\sum\limits_{ k =1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{ k +1}{(t^2)}^{ k }}{ k!}= \sum\limits_{ k =1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{ k +1}t^{2 k}}{ k!}

получаем

g(t)=tk=1(1)k+1t2kk!=k=1(1)k+1t2k+1k!g(t)=t\sum\limits_{ k =1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{ k +1}t^{2 k}}{ k!}=\sum\limits_{ k =1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{ k +1}t^{2 k+1}}{ k!}

Выполняем далее обратную замену переменной:

f(x)=k=1(1)k+1(x1)2k+1k!=(x1)3(x1)52+(x1)76f(x)=\sum\limits_{ k =1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{ k +1}{(x-1)}^{2 k+1}}{ k!}={(x-1)}^{3}-\dfrac{(x-1)^{5}}{2}+\dfrac{(x-1)^{7}}{6}-\ldots

Пример 2

Разложим в ряд Маклорена функцию

f(x)=(x1)cos2x+sin(x2)f(x)=(x-1) \cos{2x} + \sin{(x^2)}

Используем разложение в ряд Маклорена тригонометрических функций:

sin(x2)=k=1(1)k+1(x2)2k1(2k1)!==k=1(1)k+1x4k2(2k1)!\sin{(x^2)}=\sum\limits_{ k =1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{ k +1}{(x^2)}^{2 k -1}}{(2 k -1)!}= =\sum\limits_{ k =1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{ k +1}{x}^{4 k -2}}{(2 k -1)!}

cos2x=k=0(1)k4kx2k(2k)!=1+k=1(1)k4kx2k(2k)!\cos{2x}=\sum\limits_{ k =0}^{\infty} \dfrac{(-1)^{k}4^{k}x^{2 k }}{(2 k)!}=1+\sum\limits_{ k =1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{k}4^{k}x^{2 k }}{(2 k)!}

В результате получаем:

f(x)=(x1)cos2x+sin(x2)=x1+k=1((1)k4k(x2k+1x2k)(2k)!+(1)k+1x4k2(2k1)!)f(x)=(x-1) \cos{2x} + \sin{(x^2)}=x-1+\sum\limits_{ k =1}^{\infty}\left(\dfrac{(-1)^{k}4^{k}(x^{2 k+1 }-x^{2k})}{(2 k)!}+ \dfrac{(-1)^{ k +1}{x}^{4 k -2}}{(2 k -1)!}\right)

f(x)=x1+k=1(1)k(4kx2k+14kx2k2kx4k2)(2k)!f(x)=x-1+\sum\limits_{ k =1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{k}(4^{k}x^{2 k+1 }-4^{k}x^{2k}-2k x^{4k-2})}{(2 k)!}

Разложение функции в ряд xx\rightarrow\infty

При необходимости разложить функцию в ряд Тейлора при x+x \to +\infty необходимо последовательно выполнить следующие действия:

  • выполняем замену переменной t=1xt=\dfrac{1}{x},
  • полученную функцию g(t)g(t) разложить в ряд Тейлора,
  • с помощью обратной замены переменных записать искомое выражение для f(x)f(x).

Пример

Разложим в ряд Тейлора, функцию

f(x)=xx2+1f(x)=x-\sqrt{x^2+1}

при x+x \to +\infty. Выполнив замену переменной

t=1x,x=1tt=\dfrac{1}{x}, \quad x=\dfrac{1}{t}

получаем:

g(t)=1t1t2+1=1(1+t2)1/2tg(t)=\dfrac {1}{t}-\sqrt {\dfrac{1}{t^2}+1}=\dfrac{1-(1+t^2)^{1/2}}{t}

Используем разложение степенной функции в ряд Тейлора:

(1+t2)1/2=1+k=1(1)k+11235(2k3)tk2kk!(1+t^2)^{1/2}=1+\sum\limits_{ k =1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{k+1}\cdot1\cdot2\cdot3\cdot5\cdots(2k-3)\cdot{t}^k}{2^kk!}

Далее:

g(t)=1t(1(1+k=1(1)k1235(2k3)tk2kk!))g(t)=\dfrac{1}{t}\left(1-\left(1+\sum\limits_{ k =1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{k}\cdot1\cdot2 \cdot3\cdot5\cdots(2k-3)\cdot{t}^{k}}{2^kk!}\right)\right)

g(t)=k=1(1)k1235(2k3)tk12kk!g(t)=\sum\limits_{ k =1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{k}\cdot1\cdot2 \cdot3\cdot5\cdots(2k-3)\cdot{t}{k-1}}{2^kk!}

Выполняя обратную замену переменной, находим:

f(x)=k=1(1)k1235(2k3)2kk!xk1f(x)=\sum\limits_{ k =1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{k}\cdot1\cdot2\cdot3\cdot5\cdots(2k-3)}{2^kk!\cdot{x}^{k-1}}

Автор статьи
+0
-0
Комментарии
Нет комментариев

Интересные статьи за сегодня

Кто в России счастлив на работе

Кто в России счастлив на работе?
358 +21
3

Как защищать курсовую работу

О том, как преподнести себя публике и уберечь нервную систему (не только свою), представляя свое научное детище, – читайте в нашей статье.
132 +20
1

Антиплагиат: что это такое

Детальный обзор систем антиплагиата: как с ними работать и как повысить уникальность
3462 +17
0

Образование за рубежом: все ли так идеально?

Студенты за рубежом выступают против платного образования и поддельных дипломов.
20 +14
0
Хотите выполнять заказы?
Стать автором
Хотите заказать работу?
Разместить заказ