597
6 Сен 2018 в 07:57 06.09.2018 в 07:57

Разложение функций в степенные ряды

Содержание

Степенные ряды и их сходимость

Степенной ряд в общем виде записывается как:

a0+a1(xx0)+a2(xx0)2++an(xx0)n+=k=0ak(xx0)ka_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\ldots+a_n(x-x_0)^n+\ldots=\sum\limits_{k=0}^{\infty} a_k(x-x_0)^k,

где a0,a1,,an,a_0, a_1, \ldots, a_n, \ldots – постоянные, коэффициенты ряда,

x0x_0 – центр интервала сходимости ряда xx0<R|x-x_0|<R,

RR – радиус сходимости.

Ряд называют сходящимся, когда для частичных сумм Sn(x)S_n(x):

Sn(x)=a0+a1(xx0)+a2(xx0)2++an(xx0)nS_n(x)= a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\ldots+a_n(x-x_0)^n

существует предел, сумма ряда S(x)S(x):

limnSn(x)=S(x)\lim\limits_{n \to \infty } S_n (x) = S (x)

Интервал сходимости степенного ряда определяется радиусом сходимости:

xx0<R|x-x_0|<R

Сходимость на границе области xx0=R|x-x_0|=R, обычно исследуется дополнительно. Степенной ряд вида:

k=1ak(xx0)k\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k(x-x_0)^k

сходится равномерно в любом круге вида xx0r|x-x_0| \le{r}, целиком лежащем внутри круга сходимости.

Примеры степенных рядов

2!(x2)2+3!(x5)24++(n+1)!(x2)n2n+=k=1(k+1)!(x2)k2k\frac{2!(x-2)}{2}+\frac{3!(x-5)^2}{4}+\ldots +\frac{(n+1)!(x-2)^n}{2^{n}} +\ldots =\sum \limits_{k=1} ^{\infty} \frac{(k+1)!(x-2)^k}{2^{k}}

x28ln22x316ln32+x432ln42+(1)nxn2n+1lnn2+=k=2(1)kxk2k+1lnk2\frac{x^{2}}{8\ln^{2}{2}}-\frac{x^{3}}{16\ln^{3}{2}}+ \frac{x^{4}} {32\ln^{4}{2}}-\ldots+(-1)^n\frac{ x^{n}}{2^{n+1}\ln^{n}{2}}+\ldots = \sum\limits_{k=2}^{\infty} (-1)^k \frac{x^{k}}{2^{k+1}\ln^{k}{2}}

Разложение функций в ряд Тейлора и Маклорена

Возьмем функцию f(x)f(x), которая является бесконечно дифференцируемой в точке x0x_0. Такую функцию можно разложить в степенной ряд следующего вида:

f(x)=f(x0)+f(x0)1!(xx0)+f(x0)2!(xx0)2++f(n)(x0)n!(xx0)n+=k=0f(k)(x0)k!(xx0)kf(x)=f(x_0)+\dfrac{f{'}(x_0)}{1!}(x-x_0) +\dfrac{f{''}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 +\ldots+\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n +\ldots =\sum\limits_{k=0}^{\infty} \dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k

Этот ряд по степеням двучлена (xx0)(x-x_0 ) называют рядом Тейлора.

В случае x0=0x_0=0 полученный степенной ряд:

f(x)=f(0)+f(0)1!x+f(0)2!(xx0)2++f(n)(x0)n!(xx0)n+=k=0f(k)(x0)k!(xx0)kf(x)=f(0)+\dfrac{f{'}( 0)}{1!} x +\dfrac{f{''}(0)}{2!}(x-x_0)^2 +\ldots+ \dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n +\ldots =\sum\limits_{k=0}^{\infty} \dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k

называют рядом Маклорена.

Ряд Тейлора можно свести к ряду Маклорена, используя замену переменных:

xx0=t,f(x)=f(x0+t)=g(t)x-x_0=t, \quad f(x)=f(x_0+t)=g(t)

Подставив:

f(x)=f(x0+t)=f(0)+f(x0)1!t+f(x0)2!t2++f(n)(x0)n!tn+=k=0f(k)(x0)k!tkf(x)=f(x_0+t)=f(0)+\dfrac{f{'}(x_ 0)}{1!} t +\dfrac{f{''}(x_0)}{2!}t^2 +\ldots+\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}t^n +\ldots =\sum\limits_{k=0}^{\infty} \dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}t^k

получаем ряд Маклорена:

g(t)=g(0)+g(0)1!t++g(n)(0)n!tn+=k=0g(k)(0)k!tkg(t)=g(0)+\dfrac{g{'}( 0)}{1!}t +\ldots+\dfrac{g^{(n)}(0)}{n!}t^n +\ldots =\sum\limits_{k=0}^{\infty} \dfrac{g^{(k)}(0)}{k!}t^k

Ряды Тейлора и Маклорена, как и любые степенные ряды, имеют соответствующий интервал сходимости.

Пример

Разложим в ряд Тейлора функцию:

f(x)=1x1f(x)=\dfrac{1}{x-1} в окрестности точки x0=2x_0=2.

С помощью замены:

xx0=x2=tx-x_0=x-2=t

функция сводится к виду:

f(x)=f(t+2)=11+tf(x)=f(t+2)=\dfrac{1}{1+t}

Полученное выражение при t<1|t|<1 является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем (t)(-t), и ряд записывается в виде:

11+t=1t+t2t3++(1)ntn+=k=0(1)ktk\dfrac {1}{1+t}=1-t+t^2-t^3+\ldots+(-1)^{n}t^{n}+\ldots =\sum\limits_{k=0}^{\infty} (-1)^{k}t^{k}

Возвращаясь к переменной xx, получаем разложение по степеням двучлена (x2)(x-2):

1x2=1(x2)+(x2)2(x2)3++(1)n(x2)n+=k=0(1)k(x2)k,x2<1\dfrac {1}{x-2}=1-(x-2)+ (x-2)^2-(x-2)^3+\ldots+(-1)^{n}(x-2)^{n}+\ldots =\sum\limits_{k=0}^{\infty} (-1)^{k}(x-2)^{k}, \quad |x-2|<1

Разложение основных элементарных функций в степенной ряд

Разложение в степенной ряд многих функций проще осуществлять путем сведения задач к разложениям элементарных функций. Запишем разложения основных элементарных функций в ряд Маклорена, укажем соответствующие интервалы сходимости:

ex=1+x1!+x22!+x33!++xnn!+=k=1xnn!,x<e^x=1+\dfrac{x}{1!} +\dfrac{x^2}{2!} +\dfrac{x^3}{3!}+\ldots+\dfrac{x^n}{n!}+\ldots=\sum\limits_{k=1}^{\infty} \dfrac{x^n}{n!},\quad |x|<\infty

ax=1+xlna1!+(xlna)22!+(xlna)33!++(xlna)nn!+=k=1(xlna)nn!,x<{a^x} = 1 + \large\frac{{x\ln a}}{{1!}}\normalsize + \large\frac{{{{\left( {x\ln a} \right)}^2}}}{{2!}}\normalsize + \large\frac{{{{\left( {x\ln a} \right)}^3}}}{{3!}}\normalsize + \ldots + \large\frac{{{{\left( {x\ln a} \right)}^n}}}{{n!}}\normalsize + \ldots=\sum\limits_{k=1}^{\infty} \dfrac{{(x\ln{a})}^n}{n!},\quad |x|<\infty

ln(1+x)=xx22+x33x44++(1)nxn+1n+1+=k=1(1)k+1xkk!,    1<x1\ln \left( {1 + x} \right) = x - \large\frac{{{x^2}}}{2}\normalsize + \large\frac{{{x^3}}}{3}\normalsize - \large\frac{{{x^4}}}{4}\normalsize + \ldots + \large\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}\normalsize + \ldots= \sum\limits_{ k =1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{ k +1}x^{ k }}{ k!} ,\;\; - 1 < x \le 1

lnx=2[x1x+1+13(x1x+1)3+15(x1x+1)5+],    x>0\ln x = 2\left[ {\large\frac{{x - 1}}{{x + 1}}\normalsize + \large\frac{1}{3}\normalsize {{\left( {\large\frac{{x - 1}}{{x + 1}}\normalsize} \right)}^3} + \large\frac{1}{5}\normalsize{{\left( {\large\frac{{x - 1}}{{x + 1}}\normalsize} \right)}^5} + \ldots } \right],\;\;x > 0

sinx=x1!x33!+x55!x77!++(1)n+1x2n1(2n1)!+=k=1(1)k+1x2k1(2k1)!,x<\sin x=\dfrac{x}{1!} -\dfrac{x^3}{3!} +\dfrac{x^5}{5!} -\dfrac{x^7}{7!} +\ldots+\dfrac{(-1)^{n+1}x^{2n-1}}{(2n-1)!}+\ldots=\sum\limits_{ k =1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{ k +1}x^{2 k -1}}{(2 k -1)!},\quad |x|<\infty

cosx=1x22!+x44!x66!++(1)n+1x2n(2n)!+=k=0(1)kx2k(2k)!,x<\cos x=1 -\dfrac{x^2}{2!} +\dfrac{x^4}{4!} -\dfrac{x^6}{6!} +\ldots+\dfrac{(-1)^{n+1}x^{2n}}{(2n)!}+\ldots=\sum\limits_{ k =0}^{\infty} \dfrac{(-1)^{k}x^{2 k }}{(2 k)!},\quad |x|<\infty

tgx=x+x33+2x515+17x7315+62x92835+,    x<π2\tg x = x + \large\frac{{{x^3}}}{3}\normalsize + \large\frac{{2{x^5}}}{{15}} \normalsize + \large\frac{{17{x^7}}}{{315}}\normalsize + \large\frac {{62{x^9}}}{{2835}}\normalsize + \ldots ,\;\;\left| x \right| < \large\frac{\pi }{2} \normalsize

ctgx=1x(x3+x345+2x5945+2x74725+),    x<π\ctg x = \large\frac{1}{x}\normalsize - \left({\large\frac{x}{3}\normalsize+ \large \frac{{{x^3}}}{{45}}\normalsize + \large\frac{{2{x^5}}}{{945}} \normalsize + \large\frac{{2{x^7}}}{{4725}}\normalsize + \ldots } \right),\;\;\left| x \right| < \pi

arcsinx=x+x323+13x5245++135(2n1)x2n+1246(2n)(2n+1)+,    x<1\arcsin x = x + \large\frac{{{x^3}}}{{2 \cdot 3}}\normalsize + \large\frac{{1 \cdot 3{x^5}}}{{2 \cdot 4 \cdot 5}}\normalsize + \ldots + \large\frac{{1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots \left( {2n - 1} \right){x^{2n + 1}}}}{{2 \cdot 4 \cdot 6 \ldots \left( {2n} \right)\left( {2n + 1} \right)}}\normalsize + \ldots ,\;\;\left| x \right| < 1

arccosx=π2(x+x323+13x5245++135(2n1)x2n+1246(2n)(2n+1)+),    x<1\arccos x = \large\frac{\pi }{2}\normalsize - \left( {x + \large\frac{{{x^3}}}{{2 \cdot 3}}\normalsize + \large\frac{{1 \cdot 3{x^5}}}{{2 \cdot 4 \cdot 5}}\normalsize + \ldots + \large\frac{{1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots \left( {2n - 1} \right){x^{2n + 1}}}}{{2 \cdot 4 \cdot 6 \ldots \left( {2n} \right)\left( {2n + 1} \right)}}\normalsize + \ldots} \right) ,\;\;\left| x \right| < 1

arctgx=xx33+x55x77++(1)nx2n+12n+1±,    x1\arctg x = x - \large\frac{{{x^3}}}{3}\normalsize + \large\frac{{{x^5}}}{5} \normalsize - \large\frac{{{x^7}}}{7}\normalsize + \ldots +\large\frac{{{{\left({-1} \right)}^n}{x^{2n + 1}}}}{{2n + 1}}\normalsize \pm \ldots ,\;\;\left| x \right| \le1

chx=1+x22!+x44!+x66!++x2n(2n)!+=k=0x2k(2k)!\ch x = 1 + \large\frac{{{x^2}}}{{2!}}\normalsize + \large\frac{{{x^4}}} {{4!}}\normalsize + \large\frac{{{x^6}}}{{6!}}\normalsize + \ldots + \large\frac {{{x^{2n}}}}{{\left( {2n} \right)!}}\normalsize + \ldots=\sum\limits_{ k =0}^{\infty} \dfrac{x^{2k}}{(2k)!}

shx=x+x33!+x55!+x77!++x2n+1(2n+1)!+=k=0x2k+1(2k+1)!\sh x = x + \large\frac{{{x^3}}}{{3!}}\normalsize + \large\frac{{{x^5}}}{{5!}} \normalsize + \large\frac{{{x^7}}}{{7!}}\normalsize + \ldots + \large\frac {{{x^{2n + 1}}}}{{\left( {2n + 1} \right)!}}\normalsize + \ldots =\sum\limits_{ k =0}^{\infty} \dfrac{x^{2 k+1 }}{(2k+1)!}

Примеры разложения функций в степенной ряд

Пример 1

Разложим в ряд Тейлора, функцию

f(x)=(x1)ln(x22x+2)f(x)=(x-1)\ln (x^2-2x+2)

в окрестности точки x0=1x_0=1. Выполнив замену переменной

xx0=x1=tx-x_0=x-1=t

записываем функцию в виде:

g(t)=tln(1+t2)g(t)=t \ln(1+t^2)

Используя далее разложение логарифмической функции:

ln(1+t2)=k=1(1)k+1(t2)kk!=k=1(1)k+1t2kk!\ln{(1+t^2)}=\sum\limits_{ k =1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{ k +1}{(t^2)}^{ k }}{ k!}= \sum\limits_{ k =1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{ k +1}t^{2 k}}{ k!}

получаем

g(t)=tk=1(1)k+1t2kk!=k=1(1)k+1t2k+1k!g(t)=t\sum\limits_{ k =1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{ k +1}t^{2 k}}{ k!}=\sum\limits_{ k =1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{ k +1}t^{2 k+1}}{ k!}

Выполняем далее обратную замену переменной:

f(x)=k=1(1)k+1(x1)2k+1k!=(x1)3(x1)52+(x1)76f(x)=\sum\limits_{ k =1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{ k +1}{(x-1)}^{2 k+1}}{ k!}={(x-1)}^{3}-\dfrac{(x-1)^{5}}{2}+\dfrac{(x-1)^{7}}{6}-\ldots

Пример 2

Разложим в ряд Маклорена функцию

f(x)=(x1)cos2x+sin(x2)f(x)=(x-1) \cos{2x} + \sin{(x^2)}

Используем разложение в ряд Маклорена тригонометрических функций:

sin(x2)=k=1(1)k+1(x2)2k1(2k1)!==k=1(1)k+1x4k2(2k1)!\sin{(x^2)}=\sum\limits_{ k =1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{ k +1}{(x^2)}^{2 k -1}}{(2 k -1)!}= =\sum\limits_{ k =1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{ k +1}{x}^{4 k -2}}{(2 k -1)!}

cos2x=k=0(1)k4kx2k(2k)!=1+k=1(1)k4kx2k(2k)!\cos{2x}=\sum\limits_{ k =0}^{\infty} \dfrac{(-1)^{k}4^{k}x^{2 k }}{(2 k)!}=1+\sum\limits_{ k =1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{k}4^{k}x^{2 k }}{(2 k)!}

В результате получаем:

f(x)=(x1)cos2x+sin(x2)=x1+k=1((1)k4k(x2k+1x2k)(2k)!+(1)k+1x4k2(2k1)!)f(x)=(x-1) \cos{2x} + \sin{(x^2)}=x-1+\sum\limits_{ k =1}^{\infty}\left(\dfrac{(-1)^{k}4^{k}(x^{2 k+1 }-x^{2k})}{(2 k)!}+ \dfrac{(-1)^{ k +1}{x}^{4 k -2}}{(2 k -1)!}\right)

f(x)=x1+k=1(1)k(4kx2k+14kx2k2kx4k2)(2k)!f(x)=x-1+\sum\limits_{ k =1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{k}(4^{k}x^{2 k+1 }-4^{k}x^{2k}-2k x^{4k-2})}{(2 k)!}

Разложение функции в ряд xx\rightarrow\infty

При необходимости разложить функцию в ряд Тейлора при x+x \to +\infty необходимо последовательно выполнить следующие действия:

  • выполняем замену переменной t=1xt=\dfrac{1}{x},
  • полученную функцию g(t)g(t) разложить в ряд Тейлора,
  • с помощью обратной замены переменных записать искомое выражение для f(x)f(x).

Пример

Разложим в ряд Тейлора, функцию

f(x)=xx2+1f(x)=x-\sqrt{x^2+1}

при x+x \to +\infty. Выполнив замену переменной

t=1x,x=1tt=\dfrac{1}{x}, \quad x=\dfrac{1}{t}

получаем:

g(t)=1t1t2+1=1(1+t2)1/2tg(t)=\dfrac {1}{t}-\sqrt {\dfrac{1}{t^2}+1}=\dfrac{1-(1+t^2)^{1/2}}{t}

Используем разложение степенной функции в ряд Тейлора:

(1+t2)1/2=1+k=1(1)k+11235(2k3)tk2kk!(1+t^2)^{1/2}=1+\sum\limits_{ k =1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{k+1}\cdot1\cdot2\cdot3\cdot5\cdots(2k-3)\cdot{t}^k}{2^kk!}

Далее:

g(t)=1t(1(1+k=1(1)k1235(2k3)tk2kk!))g(t)=\dfrac{1}{t}\left(1-\left(1+\sum\limits_{ k =1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{k}\cdot1\cdot2 \cdot3\cdot5\cdots(2k-3)\cdot{t}^{k}}{2^kk!}\right)\right)

g(t)=k=1(1)k1235(2k3)tk12kk!g(t)=\sum\limits_{ k =1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{k}\cdot1\cdot2 \cdot3\cdot5\cdots(2k-3)\cdot{t}{k-1}}{2^kk!}

Выполняя обратную замену переменной, находим:

f(x)=k=1(1)k1235(2k3)2kk!xk1f(x)=\sum\limits_{ k =1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{k}\cdot1\cdot2\cdot3\cdot5\cdots(2k-3)}{2^kk!\cdot{x}^{k-1}}

Автор статьи
+0
-0
Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат

Интересные статьи за сегодня

Где лучше всего студентам живется?
5665 +80
1
Какие факторы влияют на трудоустройство выпускников?
1913 +52
1
Все секреты SAT и ACT.
226 +49
0
Форму набора каждый выбирает сам – по возможностям или по желанию. Спешим обрадовать: у коммерции тоже есть плюсы.
5815 +39
0
Особенности онлайн-общения с будущим работодателем.
364 +31
0
Автор
Хотите выполнять заказы? Стать автором
Заказчик
Хотите заказать работу? Разместить заказ
Доверьте свою работу экспертам
Разместите заказ
Наша система отправит ваш заказ на оценку 28 676 авторам
Первые отклики появятся уже в течение 10 минут