Дополнительные свойства степенной функции, экспоненты и логарифма

В настоящей статье приведены различные неравенства для степенной функции, экспоненты и логарифма, а также формула для бесконечного произведения множителей, задаваемых степенной функцией.

В статье используются следующие обозначения:

$x$, $y$, $a$ – действительные переменные;

$z$, $\alpha$, $\beta$, $\xi$ – комплексные переменные.

Основные неравенства

${a) } 1-1/x < \ln x < x-1 \qquad (x>0,\; x\ne 1) \;,$

${b) } \ln x < (1/a)\cdot \bigl(x^a -1\bigr) \qquad (x>0,\; x\ne 1,\; a>0) \;,$

${c) } 1+x < e^x < (1-x)^{-1} \qquad (x<1,\; x\ne 0) \;,$

${d) } (1+x)^a < e^{a \,x} \qquad (a>0,\; x>-1,\; x\ne 0) \;,$

${e) } \exp\bigl(-x/(1-x)\bigr) < 1-x < \exp(-x) \qquad (x<1,\; x\ne 0) \;,$

${f) } \exp\bigl(a \,x /(a +x)\bigr) < (1 +x /a)^a < \exp x \qquad (x>0,\; a>0) \;,$

${g) } 1 +a \,x < (1 +x)^a < 1 +a \,x \,(1 +x)^{a-1} \qquad (x\ne 0,\; a>1 \ { или } a<0) \;,$

${h) } 1 +a \,x \,(1+x)^{a-1} < (1+x)^a < 1 +a \,x \qquad (x\ne 0,\; 0<a<1) \;.$

Неравенства a) и b) переходят в равенства в пределе при $x\to 1$, а каждое из неравенств c) – h) переходит в равенство в пределе при $x\to 0$.

Кроме того, неравенство b) переходит в равенство в пределе при $a\to 0$, а второе неравенство f) переходит в равенство в пределе при $a\to \infty$.

$<<$
При выводе данных и других аналогичных неравенств могут оказаться полезными следующие теоремы:

если $f(0)=0$ и $x \,f'(x) >0$ при $x\ne 0$, то $f(x)>0$ при
$x\ne 0$;
\item
если $f(0) =f'(0) =0$ и $(d^2 /d x^2) \,f(x)>0$ при $x\ne 0$, то
$f(x)>0$ при $x\ne 0$.

Здесь $f(x)$ – действительная дважды дифференцируемая числовая функция;
$f'(x)\equiv (d /d x) \,f(x)$.
$>>$

Дополнительные неравенства

${a) } e^x < 1 +3 \,x/2 \qquad (0 <x< x_0 \;,\; x_0=0.76268856... ) \;,$

${b) } e^x < 1+ 2 \,x \qquad (0 <x< x_0 \;,\; x_0=1.25643120...) \;,$

${c) } e^x < 1 +5 \,x/2 \qquad (0 <x< x_0 \;,\; x_0=1.61878812... ) \;,$

${d) } e^x < 1 +3 \,x \qquad (0 <x< x_0 \;,\; x_0=1.90381369...) \;,$

${e) } e^{-x} < 1 -2 \,x/3 \qquad (0 <x< x_0 \;,\; x_0=0.87421746... ) \;,$

${f) } e^{-x} < 1 -x/2 \qquad (0 <x< x_0 \;,\; x_0=1.59362426... ) \;,$

${g) } e^{-x} < 1 -2 \,x/5 \qquad (0 <x< x_0 \;,\; x_0=2.23161188... ) \;,$

${h) } e^{-x} < 1 -x/3 \qquad (0 <x< x_0 \;,\; x_0=2.82143937... ) \;,$

${i) } |\ln(1-x)| < 3 \,x/2 \qquad (0 <x< x_0 \;,\; x_0=0.58281164... ) \;,$

${j) } |\ln(1-x)| < 2 \,x \qquad (0 <x< x_0 \;,\; x_0=0.79681213... ) \;,$

${k) } |\ln(1-x)| < 5 \,x/2 \qquad (0 <x< x_0 \;,\; x_0=0.89264475... ) \;,$

${l) } |\ln(1-x)| < 3 \,x \qquad (0 <x< x_0 \;,\; x_0=0.94047979... ) \;.$

Каждое из данных неравенств переходит в равенство в пределе при $x\to 0$ и при $x\to x_0$.

Неравенства для функций комплексных переменных

${a) } |\ln(z_1 /z_2)| < |z_1 -z_2| \qquad (\mathrm{Re}\, z_1 \ge 1 \;,\; \mathrm{Re}\, z_2 \ge 1 \;,\; z_1\ne z_2) \;,$

${b) } \ln(1+|z|) \le |\ln(1+z)| \le -\ln(1-|z|) \qquad (|z|<1) \;,$

${c) } (1 -|z|)^a \le |1+z|^a \le (1 +|z|)^a \qquad (|z|<1 \;,\; a>0) \;,$

${d) } (1 +|z|)^a \le |1+z|^a \le (1 -|z|)^a \qquad (|z|<1 \;,\; a<0) \;,$

${e) } 1 -e^{-|z|} \le |e^z -1| \le e^{|z|} -1 \;,$

${f) } \frac{1 -e^{-a}}{a} \cdot |z| < |e^z -1| < \frac{e^a -1}{a} \cdot |z| \qquad (0 <|z|< a \;,\; a>0) \;.$

$<<$
При выводе неравенств b)–e) могут быть использованы теоремы о максимуме и минимуме модуля аналитической функции.
$>>$

Бесконечное произведение множителей, задаваемых геометрической зависимостью

Пусть $[\xi_j]_1^m$ и $[\beta_j]_1^m$ – две последовательности комплексных чисел и

$\alpha \equiv \sum_{j=1}^{m} \beta_j \,\xi_j \;.$

Тогда при $\alpha =0$

$\prod_{k=1}^{\infty} (1 +\xi_1 /k)^{\beta_1} \,(1 +\xi_2 /k)^{\beta_2}... (1 +\xi_m /k)^{\beta_m} =\prod_{j=1}^{m} \bigl(\Gamma(\xi_j +1)\bigr)^{-\beta_j} \;;$

при $\alpha \ne 0$ данное бесконечное произведение является расходящимся.

$<<$
Вывод данной формулы см. в приложении A.
$>>$

Приложение A. Вывод формул и доказательство теорем

Здесь будет выведена формула п. 4.

Используем формулу для суммы ряда, содержащего линейные комбинации элементарных дробей:
если $[z_j]_1^m$ и $[\alpha_j]_1^m$ – две последовательности комплексных чисел и

$\alpha \equiv \sum_{j=1}^m \alpha_j \;,$

то

$w\equiv \sum_{k=1}^{\infty} \Bigl(\alpha_1 \,(z_1 +k)^{-1} +\alpha_2 \,(z_2 +k)^{-1} +...+\alpha_m \,(z_m +k)^{-1}\Bigr)$

$= \begin{cases} -\sum\limits_{j=1}^m \alpha_j \cdot \Psi(z_j) & \ {при } \alpha =0 \;,\\ \quad \infty & \ {при } \alpha \ne 0 \;. \end{cases}$

Здесь $\Psi(z) =(d/d z) \,\Gamma(z+1)$.

Рассмотрим функцию

$g(z) =\prod_{k=1}^{\infty} (1 +z \,\xi_1 /k)^{\beta_1} \,(1 +z \,\xi_2 /k)^{\beta_2} ... (1 +z \,\xi_m /k)^{\beta_m} \;.$

Для нее

$\frac{d}{d z} \,\ln g(z) =\sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{\beta_1 \,\xi_1}{z \,\xi_1 +k} +\frac{\beta_2 \,\xi_2}{z \,\xi_2 +k} +...+\frac{\beta_m \,\xi_m}{z \,\xi_m +k}\right) \;.$

Следовательно, при $\alpha =0$

$\frac{d}{d z} \,\ln g(z) =\sum_{j=1}^{m} -\beta_j \,\xi_j \,\Psi(z \,\xi_j)$

и

$g(z) =\prod_{j=1}^{m} \bigl(\Gamma(z \,\xi_j +1)\bigr)^{-\beta_j} \;.$

Возникли трудности с работой по этой теме? У нас вы можете заказать научную статью по математике по низкой цене!