Методы интегрирования элементарных функций, содержащих степени с рациональными показателями

В следующих примерах через $\varrho(\eta_1,...,\eta_m)$ обозначена произвольная функция $m$ переменных (число $m$ различно в разных примерах), являющаяся дробно-рациональной функцией каждой из переменных $\eta_k$ ($k=1,...,m$) при фиксированных других переменных.

Интегрирование функции $f(z)$ с помощью замены переменной по некоторой формуле $z=\varphi(\xi)$ сводится к интегрированию дробно-рациональной функции.

Пример 1

$f(z) =\varrho\bigl(z,\, (\alpha \,z +\beta)^{1/m}\bigr) \qquad (\alpha \ne 0) \;.$

Выполняется замена переменной: $\xi =(\alpha \,z +\beta)^{1/m}$;
при этом

$z =\alpha^{-1} \,(\xi^m -\beta) \quad \ {и} \quad d z =\alpha^{-1} \,m\cdot \xi^{m-1} \,d\xi \;.$

Пример 2

$f(z) =\varrho\left(z,\, \Bigl(\frac{\alpha \,z +\beta}{\lambda \,z +\mu}\Bigr)^{1/m}\right) \qquad (\alpha \mu -\beta \lambda \ne 0) \;.$

Выполняется замена переменной:

$\xi =\left(\frac{\alpha \,z +\beta}{\lambda \,z +\mu}\right)^{1/m} \;, \quad \ {при \ этом} \quad z =\frac{\beta -\mu \,\xi^m}{\lambda \,\xi^m -\alpha} \;.$

Пример 3: подстановки Эйлера

$f(z) =\varrho\bigl(z,\, \sqrt{\alpha_2 \,z^2 +\alpha_1 \,z +\alpha_0}\bigr) \qquad (\alpha_2 \ne 0) \;.$

Задача может быть сведена к случаю 4, 5 или 6 с помощью линейной замены переменной по формуле
$\xi =2 \,\alpha_2 \,z +\alpha_1$.

Кроме того может быть произведена замена переменной по одной из следующих формул:

a) $\sqrt{\alpha_2 \,z^2 +\alpha_1 \,z +\alpha_0} =\xi \pm z \,\sqrt{\alpha_2}$ ;;\
при этом

$z =\frac{ \xi^2 -\alpha_0 }{ \alpha_1 \mp 2\sqrt{\alpha_2}\cdot \xi } \;.$

Если параметры $\alpha_0$, $\alpha_1$, $\alpha_2$ – действительны, то данная подстановка применяется при $\alpha_2 >0$.

b) $z \,\xi =\pm z \,\sqrt{\alpha_0} +\sqrt{\alpha_2 \,z^2 +\alpha_1 \,z +\alpha_0}$ ;;\
при этом

$z =\frac{ \alpha_1 \pm 2 \,\sqrt{\alpha_0}\cdot \xi }{ \xi^2 -\alpha_2 } \;.$

Если параметры $\alpha_0$, $\alpha_1$, $\alpha_2$ – действительны, то данная подстановка применяется при $\alpha_0 >0$.

c) (Данная подстановка может быть применена при $\lambda_1 \ne \lambda_2$, где $\lambda_1$ и $\lambda_2$ – корни уравнения $\alpha_2 \,z^2 +\alpha_1 \,z +\alpha_0 =0$).

$\sqrt{\alpha_2 \,z^2 +\alpha_1 \,z +\alpha_0} =\xi \cdot (z -\lambda_1) \;;$

при этом

$\xi =\sqrt{ \alpha_2 \cdot \frac{z -\lambda_2}{z -\lambda_1} } \;,\qquad z =\frac{\xi^2 \lambda_1 -\alpha_2 \lambda_2}{\xi^2 -\alpha_2} \;,$

$\sqrt{\alpha_2 \,z^2 +\alpha_1 \,z +\alpha_0} =\frac{ \alpha_2 \,(\lambda_1 -\lambda_2)\cdot \xi } {\xi^2 -\alpha_2} \;.$

Пример 4

$f(z) =\varrho\bigl(z,\, \sqrt{z^2 +\alpha^2}\bigr)$

(частный случай примера п. 3).

Применяется одна из следующих подстановок:

a) $z =(\alpha /2) \,(\xi -1/\xi)$~; при этом
$\sqrt{z^2 +\alpha^2} =(\alpha /2) \,(\xi +1/\xi)$.

Данная подстановка отличается от подстановки a) примера п. 3 лишь постоянным множителем, на который умножается $\xi$.

b) $z^{-1} =\frac{1}{2 \,\alpha}\,(\xi -1/\xi)$~; при этом

$z =\frac{2 \,\alpha \,\xi}{\xi^2 -1} \;,\qquad d z =-\frac{2 \,\alpha \,(\xi^2 +1)}{(\xi^2 -1)^2} \,d\xi \;,$

$\sqrt{z^2 +\alpha^2} =z \,\xi -\alpha =\alpha \cdot \frac{\xi^2 +1}{\xi^2 -1} \;.$

Данная подстановка отличается от подстановки b) примера п. 3 лишь постоянным множителем, на который умножается $\xi$.

c) $z =\alpha \,\sinh \xi$.

Пример 5

$f(z) =\varrho\bigl(z,\, \sqrt{z^2 -\alpha^2}\bigr)$

(частный случай примера п. 3).

Применяется одна из следующих подстановок:

a) $z =(\alpha /2) \,(\xi +1/\xi)$; при этом
$\sqrt{z^2 -\alpha^2} =(\alpha /2) \,(\xi -1/\xi)$.

Данная подстановка отличается от подстановки a) примера п. 3 лишь постоянным множителем, на который умножается $\xi$.

b) $z =\alpha \,\cosh \xi$.

Пример 6

$w =\varrho\bigl(z,\, \sqrt{\alpha^2 -z^2}\bigr)$

(частный случай примера п. 3).

Применяется одна из следующих подстановок:

a) $z^{-1} =\frac{1}{2 \alpha}\,(\xi +1/\xi)$; при этом

$z =\frac{2\alpha \,\xi}{\xi^2 +1} \;,\qquad d z =\frac{2\alpha \,(1- \xi^2)}{(\xi^2 +1)^2} \,d\xi \;,$

$\sqrt{\alpha^2 -z^2} =z\xi -\alpha =\alpha \cdot \frac{\xi^2 -1}{\xi^2 +1} \;.$

Данная подстановка отличается от подстановки b) примера п. 3 лишь постоянным множителем, на который умножается $\xi$.

b) $z =\alpha \,\cos \xi$;

c) $z =\alpha \,\sin \xi$.

Пример 7

$f(z) =\varrho\bigl(z,\, \sqrt{\alpha \,z +\beta},\, \sqrt{\lambda \,z +\mu}\bigr) \;, \qquad \alpha \ne 0 \;.$

В результате замены переменной по формуле $\xi =\sqrt{\alpha \,z +\beta}$ задача сводится к случаю п. 3.

Возникли трудности с работой по этой теме? У нас вы можете заказать научную статью по математике по низкой цене!