Некоторые комбинации степенной функции, экспоненты и логарифма

В настоящей статье исследуются функции действительных переменных определенных классов, зависящие от дополнительных параметров, выражения для которых содержат степенную функцию, экспоненту и логарифм.

Материал данной статьи важен во многих практических приложениях. Например, он может быть использован в задачах на восстановление функциональных зависимостей, т.е. при аппроксимации фунцкции $f(x)$, заданной в виде таблицы для дискретного множества значений ее аргумента, функцией заданного класса $F(\alpha, x)$ ($\alpha$ – набор параметров).

Выбор той или иной конкретной функциональной зависимости $F(\alpha, x)$ для аппроксимации должен определяться свойствами фунцкции $f(x)$ – видом ее графика, ее асимптотическим поведением на границах интервала изменения переменной $x$ и т.д.

Сумма экспоненциальных зависимостей

Рассмотрим функцию

$f(x) =a \,e^{c \,x} +b \,e^{d \,x}$

при $a b c d\ne 0$.

Пусть $c<d$. Тогда

a) При $abcd<0$ точка

$x_0 =(d-c)^{-1}\cdot \ln\left(-\frac{a \,c}{b \,d}\right)$

является единственной точкой экстремума функции $f(x)$, в противном случае рассматриваемая функция экстремумов не имеет; экстремальное значение функции (если оно имеется) равно

$y_0 =f(x_0) =\frac{a \,(d-c)}{d}\left(-\frac{a \,c}{b \,d}\right)^{c/(d-c)} =\frac{b \,(c-d)}{c}\left(-\frac{a \,c}{b \,d}\right)^{d/(d-c)} \;.$

b) Функция $f(x)$ имеет точку экстремума, заключенную в интервале $[x_1,x_2]$, в том и только том случае, когда

$e^{(d-c) \,x_1} \le -\frac{a \,c}{b \,d} \le e^{(d-c) \,x_2} \;.$

c) При $a \,c >0$ и $b \,d >0$ функция $f(x)$ всюду возрастает.

d) При $a \,c <0$ и $b \,d <0$ функция $f(x)$ всюду убывает.

e) При $a \,c >0$ и $b \,d <0$ функция $f(x)$ имеет максимум при $x=x_0$.

f) При $a \,c <0$ и $b \,d >0$ функция $f(x)$ имеет минимум при $x=x_0$.

g) При $a \,b <0$ точка

$x_{\mathrm{inf}} =(d-c)^{-1}\cdot \ln\left(-\frac{a \,c^2}{b \,d^2}\right)$

является единственной точкой перегиба графика функции $f(x)$, в противном случае график рассматриваемой функции точек перегиба не имеет.

Графики суммы двух экспонент

На рис. 1 представлены графики функции

$f(x) =a \,e^{c \,x} +b \,e^{d \,x}$

при $|c|<|d|$ и различных знаках параметров $a$, $b$, $c$, $d$.

Рис.1. Графики функции $y =a \,e^{c \,x} +b \,e^{d \,x}$ при различных знаках параметров $a$, $b$, $c$, $d$.

Кривые из точек в каждой ячейке таблицы – это графики экспоненциальных зависимостей $y =a \,e^{c \,x}$ и $y =b \,e^{d \,x}$.

В зависимости от знаков параметров $a$, $b$, $c$, $d$ можно выделить четыре типа.

a) $a \,b >0$ и $c \,d >0$ (квадраты A-1, C-1, A-4, C-4 на рис.~1):
функция всюду монотонна; экстремумов и нулей нет; график не имеет точек перегиба; ось $Ox$ – асимптота.

b) $a \,b >0$ и $c \,d <0$ (квадраты B-1 и B-4 на рис.~1):
функция имеет один экстремум (минимум при $a>0$ и максимум при $a<0$); нулей не имеет; график не имеет точек перегиба и асимптот.

c) $a \,b <0$ и $c \,d >0$ (квадраты A-2, C-2, A-3, C-3 на рис.~1):
функция имеет один экстремум (максимум при $a \,(d-c) >0$ и минимум при $a \,(d-c) <0$) и один нуль; график имеет одну точку перегиба; ось $Ox$ – асимптота.

d) $a \,b <0$ и $c \,d <0$ (квадраты B-2 и B-3 на рис.~1): функция не имеет экстремумов, всюду монотонна; имеет один нуль; у графика одна точка перегиба; асимптот нет.

Сумма геометрических зависимостей

Функция

$f(x) =a \,x^c +b \,x^d$

преобразуется в рассмотренную выше функцию

$F(t) =a \,e^{c \,t} +b \,e^{d \,t} \;.$

при замене независимой переменной по формуле $t=\ln x$.

На рис. 2 представлены графики функции $f(x)$ при $|c|<|d|$ и различных знаках параметров $a$, $b$, $c$, $d$.

Рис.2. Графики функции $y =a \,x^c +b \,x^d$ при различных знаках параметров $a$, $b$, $c$, $d$.

Кривые из точек в каждой ячейке таблицы – это графики геометричеких зависимостей $y =a \,x^c$ и $y =b \,x^d$.

Произведение линейной и экпоненциальной зависимостей

Рассмотрим функцию

$f(x) =(a +b \,x)\cdot e^{c \,x}$

при $b \,c\ne 0$.

Данная функция имеет единственную точку экстремума

$x_0 =-1/c -a/b \;,$

являющуюся точкой минимума при $b>0$ и точкой максимума при $b<0$; значение функции в данной точке –

$y_0 \equiv f(x_0) =-(b/c)\cdot e^{-a \,c/b -1} \;.$

График данной функции имеет единственную точку перегиба с абсциссой

$x_{\mathrm{inf}} =-2/c -a/b \;.$

Функция $f(x)$ обращается в нуль при $x =x_z =-a/b$.

Для данной функции

$\lim_{x \to -\infty \cdot \mathrm{sign}\, c} f(x) =0 \;,\qquad \lim_{x\to +\infty \cdot \mathrm{sign}\, c} f(x) =+\infty \cdot \mathrm{sign}\,(b \,c) \;.$

На рис. 3 представлены графики зависимости $f(x)$ от переменной $t =x +a/b$ при различных знаках $b$ и $c$.

Рис. 3. Графики зависимости $y =(a +b\,x)\cdot e^{c x}$ от $t =x +a/b$ при различных знаках параметров $b$ и $c$.

Произведение геометрической и экспоненциальной зависимостей

Рассмотрим функцию

$f(x) =a \,x^b \cdot e^{c \,x}$

при $x>0$.

Если число $x_0 =-b/c$ принадлежит области определения функции $f(x)$ (т.е. если $b \,c <0$), то в точке $x=x_0$ рассматриваемая функция имеет единственный экстремум, в противном случае она экстремумов не имеет.

Экстремальное значение функции (если оно имеется) равно

$y_0 =a\cdot \left(-\frac{b}{e \,c}\right)^b \;.$

Если график данной функции имеет точку перегиба, то абсцисса данной точки равна

x_1 =\frac{ -b +\sqrt{b} }{c} \quad \mbox{или} \quad x_2 =\frac{ -b -\sqrt{b} }{c} \;.

На рис. 4 представлены графики функции $f(x)$ при $a>0$; при $a<0$ соответствующие графики могут быть получены из приведенных на рисунке путем зеркального отображения относительно оси $x$. В зависимости от значений параметров $b$ и $c$ возможны восемь случаев:

Рис. 4. Графики функции $y =a \,x^b \cdot e^{c \,x}$ при $a>0$ и различных областях изменения параметров $b$ и $c$.

a) при $c>0$ и $b>1$ функция монотонно возрастает; график касается оси $Ox$ в точке $[0,0]$;

b) при $c>0$ и $b=1$ функция монотонно возрастает; график проходит через точку $[0,0]$ и касается в этой точке прямой $y=x$;

c) при $c>0$ и $0<b<1$ функция монотонно возрастает; график касается оси $y$ в точке $[0,0]$ и имеет одну точку перегиба с абсциссой $x_1$;

d) при $c>0$ и $b<0$ функция имеет минимум в точке $x_0$; ось $y$ является асимптотой графика;

e) при $c<0$ и $b>1$ функция имеет максимум в точке $x_0$; график касается оси $x$ в точке $[0,0]$ и имеет две точки перегиба; ось $x$ – асимптота;

f) при $c<0$ и $b=1$ функция имеет максимум в точке $x_0=-1/c$; график проходит через точку $[0,0]$ и касается в этой точке прямой $y =a \,x$; имеет одну точку перегиба с абсциссой $x_2=-2/c$;

g) при $c<0$ и $0<b<1$ функция имеет максимум в точке $x_0$; график касается оси $y$ в точке $[0,0]$ и имеет одну точку перегиба с абсциссой $x_2$;

h) при $c<0$ и $b<0$ функция монотонно убывает; оси координат являются асимптотами графика.

Произведение линейной и геометрической зависимостей

Рассмотрим функцию

$f(x) =a \,x\cdot (1 -b \,x)^{s-1}$

при $a$, $b\ne 0$; $s\ne 1$; $b \,x <1$.

При $s<0$ и при $s>1$ функция $f(x)$ имеет единственный экстремум в точке $x_0 =1/(b \,s)$ (максимум при $a b s >0$ и минимум при $a b s <0$).

При $0\le s\le 1$ данная функция всюду монотонна (возрастает при $a>0$ и убывает при $a<0$).

При $s<1$ график функции $f(x)$ имеет вертикальную асимптоту, пересекающую ось абсцисс в точке $x=1/b$. При $s=0$ данный график имеет также горизонтальную асимптоту, пересекающую ось ординат в точке $y=-a/b$.

Рис. 5. Графики функции $y =a \,x\cdot (1 -b \,x)^{s-1}$ при $a>0$ и различных областях изменения параметров $b$ и $s$; \ $x_0 =1/(b \,s)$.

На рис.5 представлены графики зависимости $(b/a)\cdot f(x)$ от $b \,x$ при различных областях изменения $s$.

При фиксированном $x$ \ $f(x)$ является возрастающей функцией параметра $s$ при $a \,b <0$ и убывающей функцией $s$ при $a \,b >0$.

Произведение геометрических зависимостей

Рассмотрим функцию

$f(x) =a \,x^c \cdot (1 -b \,x)^d$

при $a b c d\ne 0$; \ $0 <x <1/b$ при $b>0$ или $0 <x< +\infty$ при $b<0$.
Обозначим

$x_0 =\frac{c}{b \,(c+d)} \;;$

тогда $1 -b \,x_0 =d/(c+d)$.

Если число $x_0$ принадлежит области определения функции $f(x)$, то в точке $x=x_0$ рассматриваемая функция имеет единственный экстремум; в противном случае она экстремумов не имеет. Если график данной функции имеет точку перегиба, то абсцисса данной точки равна $x_1$ или $x_2$, где $b \,x_1$ и $b \,x_2$ – корни квадратного уравнения

$(c+d)(c+d-1)\cdot x^2 -2 c \,(c+d-1)\cdot x +c \,(c-1) =0 \;.$

На рис. 6 представлены графики функции $f(x)$ при $a>0$; при $a<0$ соответствующие графики могут быть получены из приведенных на рисунке путем зеркального отображения относительно оси $x$. В зависимости от знаков параметров $b$, $c$ и $d$ возможны различные случаи.

Рис. 6. Графики функции $y =a \,x^c \cdot (1 -b \,x)^d$ при $a>0$ и различных областях изменения параметров $b$, $c$, $d$.

a) $b>0$, $c>0$ и $d>0$.
Функция $f(x)$ имеет максимум в точке $x_0$;

$\lim_{x\to 0} f(x) =\lim_{x\to 1/b} f(x) =0 \;.$

b) $b>0$, $c>0$ и $d<0$.
Функция всюду возрастает;

$\lim_{x\to 0} f(x) =0 \;,\qquad \lim_{x\to 1/b} f(x) =+\infty \;;$

прямая $x=1/b$ является асимптотой графика рассматриваемой функции.

c) $b>0$, $c<0$ и $d>0$.
Функция всюду убывает;

$\lim_{x\to 0} f(x) =+\infty \;,\qquad \lim_{x\to 1/b} f(x) =0 \;;$

ось $y$ является асимптотой графика рассматриваемой функции.

d) $b>0$, $c<0$ и $d<0$.
Функция имеет минимум в точке $x_0$;

$\lim_{x\to 0} f(x) =\lim_{x\to 1/b} f(x) =+\infty \;;$

график функции имеет две вертикальные асимптоты: $x=0$ и $x=1/b$.

e) $b<0$, $c>0$ и $c+d>0$.
Функция монотонно возрастает;

$\lim_{x\to 0} f(x) =0 \;,\qquad \lim_{x\to +\infty} f(x) =+\infty \;.$

f) $b<0$, $c>0$ и $c+d<0$.
Функция имеет максимум в точке $x_0$;

$\lim_{x\to 0} =\lim_{x\to +\infty} f(x) =0 \;.$

g) $b<0$, $c<0$ и $c+d>0$.
Функция имеет минимум в точке $x_0$;

$\lim_{x\to 0} f(x) =\lim_{x\to +\infty} f(x) =+\infty \;.$

h) $b<0$, $c<0$ и $c+d<0$.
Функция монотонно убывает;

$\lim_{x\to 0} f(x) =+\infty \;,\qquad \lim_{x\to +\infty} f(x) =0 \;;$

оси координат являются асимптотами графика рассматриваемой функции.

i) При $x\to 0$ \ $f(x)\sim a \,x^c$. Отсюда следует, что при $c>0$ и любых $a$, $b$, $d$ график функции $f(x)$ в точке $[0,0]$ касается либо оси абсцисс (при $c>1$), либо прямой $y =a \,x$ (при $c=1$), либо оси ординат (при $0<c<1$). При $b<0$ графики функции $f(x)$ ведут себя аналогично соответствующим графикам
функции $\varphi(x) =a \,x^c \cdot e^{(c+d)x}$ (см. рис. 4).

j) При $b>0$, $d>0$ и любых $a$ и $c$ график функции $f(x)$ в точке $[0,\, 1/b]$ касается либо оси абсцисс (при $d>1$), либо прямой $y =a \,b^{-c} -a d \,b^{1-c}\cdot x$ (при $d=1$), либо оси ординат (при $0<d<1$).

Возникли трудности с работой по этой теме? У нас вы можете заказать научную статью по математике по низкой цене!