Важнейшие иррациональные и трансцендентные математические константы

В настоящем разделе рассматриваются математические константы: $e$ (число e или основание натуральных логарифмов); $\pi$ (число пи; $2\pi$ – есть угол, соответствующий одному полному обороту); $c_{\scriptscriptstyle E}$ (постоянная Эйлера-Маскерони).

Различные представления констант

Соотношения для чисел $e$ и $\pi$

$e =\exp 1 =\lim_{x\to \infty} (1 +1/x)^x \;;$

$2\pi/12 =\arctan\bigl(1/\sqrt{3}\bigr) =\arcsin(1/2) =\arccos\bigl(\sqrt{3} /2\bigr) \;,$

$2\pi/8 = \arctan 1 =\arcsin\bigl(1/\sqrt{2}\bigr) =\arccos\bigl(1/\sqrt{2}\bigr) \;,$

$2\pi/6 =\arctan\bigl(\sqrt{3}\bigr) =\arcsin\bigl(\sqrt{3} /2\bigr) =\arccos(1/2) \;;$

см. статью «Частные значения обратных гиперболических и обратных тригонометрических функций».

Множество дополнительных соотношений для чисел $e$ и $\pi$ могут быть получены как частные случаи различных соотношений для элементарных трасцендентных функций (см. другие статьи подраздела «Элементарные трансцендентные функции»).

Соотношения для постоянной Эйлера

$c_{\scriptscriptstyle E} = \lim_{m\to \infty} \left(\sum_{k=1}^m 1/k -\ln m\right) \;,$

$c_{\scriptscriptstyle E} = -\int_{0}^{\infty} e^{-t} \ln t \,d t =-\int_{0}^{1}\ln\bigl(\ln(1/t)\bigr) \,d t$

$= \int_{0}^{\infty} \Bigl(\bigl(e^t-1\bigr)^{-1} - t^{-1} e^{-t}\Bigr)\,d t = \int_{0}^{\infty} \Bigl(\bigl(1+t\bigr)^{-1} - e^{-t}\Bigr)\cdot t^{-1}\,d t \;.$

Формула для вычисления значения числа π

$\pi =\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{16^k} \,\left( \frac{4}{8 k +1} -\frac{2}{8 k +4} -\frac{1}{8 k +5} -\frac{1}{8 k +6}\right) \;.$

Это одна из формул, позволяющая сравнительно быстро определить значение числа $\pi$ с высокой точностью.

Численные значения констант в десятичной системе

$\pi = 3.141\,5926\,5358\,9793\,2384\,6264\,... \;;$

$2\pi = 6.283\,1853\,0717\,9586\,4769\,2528\,... \;;$

$e = 2.718\,2818\,4590\,... \;;$

$c_{\scriptscriptstyle E} = 0.5772\,1566\,4901\,5328\,6060\,6512\,... \;.$

Численные значения констант в шестнадцатеричной системе

$\pi = \ {\texttt{0x3.243\,f6a8\,885a\,308d\,3131\,98a2\,e037\,0734\,...}} \;;$

$2\pi = \ {\texttt{0x6.487\,ed51\,10b4\,611a\,6263\,3145\,c06e\,0e68\,...}} \;;$

$e = \ {\texttt{0x2.b7e\,1516\,28ae\,d2a6\,...}} \;;$

$c_{\scriptscriptstyle E} = \ {\texttt{0x0.93c4\,67e3\,7db0\,c7a4\,d1be\,3f81\,0152\,cb56\,...}} \;.$

Иррациональность и трансцендентность констант

Числа $e$ и $\pi$ трансцендентны, а значит и иррациональны. Трансцендентность любого числа означает, что оно не является корнем никакого полинома с целыми коэффициентами.

Доказательства трансцендентности данных констант довольно сложны, в то же время эти доказательства не актуальны для практических приложений.

До сих пор не установлено, является ли постоянная Эйлера $c_{\scriptscriptstyle E}$ иррациональным числом. Теория цепных дробей показывает, что если данная константа – рациональная дробь, ее знаменатель больше $10^{242080}$.

Некоторые дополнительные значения математических констант в десятичной системе

$\sqrt{2} = 1.414\,2135\,6237\,3095\,0488\,0168\,... \;;$

$\sqrt{3} = 1.732\,0508\,0756\,8877\,2935\,2744\,... \;;$

$\sqrt{10} = 3.162\,2776\,6016\,8379\,3319\,9889\,... \;;$

$\ln 2 = 0.6931\,4718\,0559\,9453\,0941\,7232\,... \;;$

$\ln 10 = 2.302\,5850\,9299\,4045\,6840\,1799\,... \;;$

$(2\pi)^{-1/2} = 0.3989\,4228\,0401\,4326\,7793\,9946\,... \;;$

$\ln\sqrt{2\pi} = 0.9189\,3853\,3204\,6727\,4178\,0329\,... \;.$

Возникли трудности с работой по этой теме? У нас вы можете заказать научную статью по математике по низкой цене!