Обратные гиперболические функции действительных переменных

В настоящей статье обратные гиперболические функции рассматриваются как функции действительных переменных.

Определения рассматриваемых функций см. в статье «Обратные гиперболические и обратные тригонометрические функции».

Ареатангенс действительного аргумента

Если $-1 <x< 1$, то значения функции $\mathrm{arctanh}\, x$ действительны; для данных значений аргумента функция $y =\mathrm{arctanh}\, x$ непрерывна и монотонно возрастает; множеством значений данной функции является множество действительных чисел, так что

$\lim_{x\to -1} \mathrm{arctanh}\, x =-\infty \;,\qquad \lim_{x\to 1} \mathrm{arctanh}\, x =+\infty \;.$

На рис. 1 представлен график функций $y=\mathrm{arctanh}\, x$.

Данный график центрально симметричен относительно начала координат; точка $[0,0]$ является точкой перегиба кривой; угол наклона касательной в этой точке равен $2\pi/8$.

График имеет две асимптоты – $x=1$ и $x=-1$. Он симметричен графику функции $y=\tanh x$ относительно прямой $y=x$.

Рис. 1. График функции $y=\mathrm{arctanh}\, x$.

Рис.2. Графики функций $y=\mathrm{arcsinh}\, x$ (кривая 1) и $y=\mathrm{arccosh}\, x$ (кривая 2).

Ареасинус и ареакосинус действительного аргумента

Функция $y =\mathrm{arcsinh}\, x$ принимает действительные значения для действительных значений аргумента; при $-\infty <x< +\infty$ данная функция
непрерывна и монотонно возрастает; множеством значений данной функции является множество действительных чисел, так что

$\lim_{x \to -\infty} \mathrm{arcsinh}\, x =-\infty \;,\qquad \lim_{x \to +\infty} \mathrm{arcsinh}\, x =+\infty \;.$

Если $x>1$, то значения функции $\mathrm{arccosh}\, x$ действительны; для данных значений аргумента функция $y =\mathrm{arccosh}\, x$ непрерывна и монотонно возрастает; множеством значений данной функции является множество неорицателных действительных чисел.

При $x\to +\infty$ обе функции $\mathrm{arcsinh}\, x$ и $\mathrm{arccosh}\, x$ асимптотически приближаются к функции $\ln(2 \,x)$.

На рис. 2 представлены графики функций $y=\mathrm{arcsinh}\, x$ и $y=\mathrm{arccosh}\, x$.

Первый из данных графиков центрально симметричен относительно начала координат; для него точка $[0,0]$ является точкой перегиба кривой; угол
наклона касательной в этой точке равен $2\pi/8$.

График симметричен графику функции $y=\sinh x$ относительно прямой $y=x$.

График функции $\mathrm{arccosh}\, x$ симметричен части графика функции $y=\cosh x$, находящейся в правой полуплоскости, относительно прямой $y=x$.

Возникли трудности с работой по этой теме? У нас вы можете заказать научную статью по математике по низкой цене!