Обратные тригонометрические функции действительных переменных

В настоящей статье обратные тригонометрические функции рассматриваются как функции действительных переменных. Определения рассматриваемых функций см. в статье «Обратные гиперболические и обратные тригонометрические функции».

Арктангенс действительного аргумента

Функция $y=\arctan x$ принимает действительные значения для действительных значений аргумента; при $-\infty <x< +\infty$ данная функция непрерывна и монотонно возрастает; множеством значений данной функции является открытый интервал $(-2\pi/4,\, 2\pi/4)$, т.е.

$\lim_{x\to -\infty} \arctan x =-2\pi/4 \;,\qquad \lim_{x\to -\infty} \arctan x = 2\pi/4 \;.$

График функции $y=\arctan x$ (см.рис.1) центрально симметричен относительно начала координат; точка $[0,0]$ является точкой перегиба; угол наклона касательной в этой точке равен $2\pi/8$. Данный график имеет две асимптоты – $y=2\pi/4$ и $y=-2\pi/4$. Он симметричен относительно прямой $y=x$ ветви графика функции $y=\tan x$, проходящей через начало координат.

Рис. 1. График функции $y=\arctan x$.

Рис. 2. Графики функций $y=\arcsin x$ (сплошная кривая) и $y=\arccos x$ (кривая из точек).

Арксинус и арккосинус действительного аргумента

Если $-1 \le x \le 1$, то функции $\arcsin x$ и $\arccos x$ действительны; для данных значений аргумента функция $\arcsin x$ непрерывна и монотонно возрастает; множеством значений данной функции является интервал $[-2\pi/4, 2\pi/4]$; функция $\arccos x$ является строго убывающей, и множеством ее значений является интервал $[0, \pi]$.

На рис. 2 представлены графики рассматриваемых функций.

График функции $\arcsin x$ центрально-симметричен относительно начала координат. График функции $\arccos x$ центрально-симметричен относительно точки $[0, 2\pi/4]$.

Различные представления аргумента комплексного числа

Если $z =x +i \,y$, то для определения аргумента числа $z$ удобнее всего использовать функцию $\arctan$.

Имеют место формулы:

${a)} \arg z = \arctan(y/x) +\pi \,\vartheta(-x)\cdot \mathrm{sign}\, y \qquad (x \,y \ne 0) \;;$

${b)} \arg z = -\arctan(x/y)+ \frac{2\pi}{4} \,\mathrm{sign}\, y \qquad (y \ne 0) \;;$

${c)} \arg z = 2 \,\arctan\bigl(y/(|z|+x)\bigr) \qquad (z \ne -|z|);$

${d)} \arg z = -2 \,\arctan\bigl(y/(|z|-x)\bigr) +\pi \,\mathrm{sign} \,y \qquad (y \ne 0 \;,\; z\ne |z|) \;;$

${e)} \arg z = 2 \,\arctan\bigl((|z| -x) /y\bigr) \qquad (y \ne 0) \;;$

${f)} \arg z = -2 \,\arctan\bigl((|z|+x)/y\bigr) +\pi \,\mathrm{sign}\, y \qquad (y \ne 0).$

Здесь $\vartheta(x)$ – ступенчатая функция Хевисайда.

Возникли трудности с работой по этой теме? У нас вы можете заказать научную статью по математике по низкой цене!