Дифференциальные уравнения второго и третьего порядков для гипергеометрических функций

Настоящая статья является продолжением статьи «Дифференциальные уравнения для гипергеометрических функций с произвольным количеством параметров».

В ней, ввиду практической важности, специально рассматриваются дифференциальные уравнения второго и третьего порядков, которым удовлетворяют некоторые гипергеометрические функции.

Далее для производной всюду используется сокращенное обозначение:
$\mathrm{d}_z$ вместо $\frac{d}{dz}$.

Дифференциальное уравнение для функции 0F1(…)

a) Функция $\Phi_1 (z) ={}_0 F_1 (\gamma; \beta z)$ является решением
дифференциального уравнения

$z\cdot \mathrm{d}_z^2 \Phi(z) +\gamma \cdot \mathrm{d}_z \Phi(z) -\beta \cdot \Phi(z) =0 \;.$

b) Если число $\gamma$ не является целым, то другим частным решением данного уравнения, линейно независимым с $\Phi_1(z)$, является функция

$\Phi_2 (z) =(\beta z)^{1 -\gamma}\cdot {}_0 F_1 (2 -\gamma;\, \beta z) \;.$

c) Вронскиан функций $\Phi_1 (z)$ и $\Phi_2 (z)$ равен

$W(z) =\beta \,(1 -\gamma)\cdot (\beta z)^{-\gamma} \;.$

Дифференциальное уравнение для функции 2F0(…)

a) Функция $\Phi_1(z) ={}_2 F_0(\alpha_1,\alpha_2; \beta z)$ является решением дифференциального уравнения

$z^2 \mathrm{d}_z^2 \Phi(z) +\bigl((1 +\alpha_1 +\alpha_2) \,z -1/\beta\bigr)\cdot \mathrm{d}_z \Phi(z) +\alpha_1 \,\alpha_2 \cdot \Phi(z) =0 .$

b) Частными решениями данного уравнения, кроме функции $\Phi_1(z)$, являются функции

$\Phi_2 (z) = (\beta z)^{1 -\alpha_1 -\alpha_2}\cdot e^{-1/(\beta z)}\cdot {}_2 F_0 (1 -\alpha_1,\, 1 -\alpha_2,\, -\beta z) \;,$

$\Phi_3 (z) = (\beta z)^{-\alpha_1}\cdot {}_1 F_1 \bigl(\alpha_1,\, \alpha_1 -\alpha_2 +1,\, -1/(\beta z)\bigr) \;,$

$\Phi_4 (z) = (\beta z)^{-\alpha_2}\cdot {}_1 F_1 \bigl(\alpha_2,\, \alpha_2 -\alpha_1 +1,\, -1/(\beta z)\bigr) \;.$

c) Вронскиан функций $\Phi_1 (z)$ и $\Phi_2 (z)$ равен

$W_{1,2}(z) =\beta \,(\beta \,z)^{-\alpha_1 -\alpha_2 -1}\cdot e^{-1/(\beta z)} \;.$

Дифференциальное уравнение для функции 1F1(…)

a) Функция $\Phi_1 (z) ={}_1 F_1 (\alpha; \gamma; \beta z)$ является решением дифференциального уравнения

$z\cdot \mathrm{d}_z^2 \Phi(z) +(\gamma -\beta z)\cdot \mathrm{d}_z \Phi(z) -\beta \,\alpha \cdot \Phi(z) =0 ;,$

или иначе

$\Bigl((z\mathrm{d}_z)^2 +(\gamma -1 -\beta z)\cdot (z\mathrm{d}_z) -\alpha \,\beta \,z\Bigr) \,\Phi(z) =0 \;.$

b) Частными решениями данного уравнения, кроме функции $\Phi_1 (z)$, являются функции

$\Phi_2 (z) = (\beta z)^{1 -\gamma}\cdot {}_1 F_1 (1 +\alpha -\gamma;\, 2 -\gamma;\, \beta z) \;,$

$\Phi_3 (z) = (\beta z)^{-\alpha}\cdot {}_2 F_0 \bigl(\alpha,\, 1 +\alpha -\gamma;\, -1/(\beta z)\bigr)$

$= \frac{ \Gamma(1 -\gamma) }{ \Gamma(\alpha -\gamma +1) } \,\Phi_1 (z) +\frac{ \Gamma(\gamma -1) }{ \Gamma(\alpha) } \,\Phi_2 (z) \;,$

$\Phi_4 (z) = (-\beta z)^{\alpha -\gamma} \,e^{\beta z}\cdot {}_2 F_0 \bigl(\gamma -\alpha,\, 1 -\alpha;\, 1/(\beta z)\bigr)$

$= \frac{ \Gamma(1 -\gamma) }{ \Gamma(1 -\alpha) } \,\Phi_1 (z) +\frac{ \Gamma(\gamma -1) }{ \Gamma(\gamma -\alpha) } \,(-\beta z)^{1-\gamma} \,(\beta z)^{\gamma -1} \,\Phi_2 (z) \;.$

c) Вронскиан функций $\Phi_1 (z)$ и $\Phi_2 (z)$ равен

$W_{12}(z) =\beta \,(1-\gamma)\cdot (\beta \,z)^{-\gamma} \,e^{\beta z} \;.$

Дифференциальное уравнение для функции 2F1(…)

a) Функция $\Phi_1 (z) ={}_2 F_1 (\alpha_1,\alpha_2;\,\gamma;\,\beta z)$ является решением lифференциального уравнения

$z \,(1 -\beta z)\cdot \mathrm{d}_z^2 \Phi(z) +\bigl(\gamma -(1 +\alpha_1 +\alpha_2) \cdot \beta z\bigr)\cdot \mathrm{d}_z \Phi(z) -\beta \,\alpha_1 \,\alpha_2 \cdot \Phi(z) =0 \;,$

или иначе

$\Bigl((\beta z -1)\cdot (z\mathrm{d}_z)^2 +\bigl(\beta z \,(\alpha_1 +\alpha_2) +1 -\gamma\bigr)\cdot (z\mathrm{d}_z) +\alpha_1 \,\alpha_2 \,\beta z\Bigr) \,\Phi(z) =0 \;.$

b) Частными решениями данного уравнения, кроме функции $\Phi_1 (z)$, являются функции

$\Phi_2 (z) = (-\beta z)^{1 -\gamma}\cdot {}_2 F_1 (\alpha_1 -\gamma +1,\, \alpha_2 -\gamma +1;\, 2-\gamma;\, \beta z) \;,$

$\Phi_3 (z) = (-\beta z)^{-\alpha_1}\cdot {}_2 F_1 \bigl(\alpha_1,\, \alpha_1 -\gamma +1;\, \alpha_1 -\alpha_2 +1;\, 1/(\beta z)\bigr)$

$=\frac{ \Gamma(\alpha_1 -\alpha_2 +1)\cdot \Gamma(1 -\gamma) } { \Gamma(\alpha_1 -\gamma +1)\cdot \Gamma(1 -\alpha_2) } \,\Phi_1 (z) +\frac{ \Gamma(\alpha_1 -\alpha_2 +1)\cdot \Gamma(\gamma -1) } { \Gamma(\alpha_1)\cdot \Gamma(\gamma -\alpha_2) } \,\Phi_2 (z) \;,$

$\Phi_4 (z) = (-\beta z)^{-\alpha_2}\cdot {}_2 F_1 \bigl(\alpha_2,\, \alpha_2 -\gamma +1;\, \alpha_2 -\alpha_1 +1;\, 1/(\beta z)\bigr)$

$=\frac{ \Gamma(\alpha_2 -\alpha_1 +1)\cdot \Gamma(1 -\gamma) } { \Gamma(\alpha_2 -\gamma +1)\cdot \Gamma(1 -\alpha_1) } \,\Phi_1 (z) +\frac{ \Gamma(\alpha_2 -\alpha_1 +1)\cdot \Gamma(\gamma -1) } { \Gamma(\alpha_2)\cdot \Gamma(\gamma -\alpha_1) } \,\Phi_2 (z) \;,$

а также различные произведения некоторых степенных функций и гипергеометрических функций Гаусса, аргументами которых являются выражения
$1 -\beta z$, $1/(1 -\beta z)$, $1 -1/(\beta z)$ и $\beta z /(\beta z -1)$
(см. [1]).

c) Вронскиан функций $\Phi_1 (z)$ и $\Phi_2 (z)$ равен

$W_{12}(z) =\beta \,(1 -\gamma)\cdot (\beta z)^{-\gamma} \,(1-\beta z)^{\gamma-\alpha_1 -\alpha_2 -1} \;.$

Гипергеометрические функции, удовлетворяющие дифференциальным уравнениям третьего порядка

a) Функция $\Phi(z)={}_0 F_2 (\gamma_1,\gamma_2;\,\beta z)$ является решением дифференциального уравнения

$z^2 \cdot \mathrm{d}_z^3 \Phi(z) +\bigl(1 +\gamma_1 +\gamma_2\bigr) \,z\cdot \mathrm{d}_z^2 \Phi(z) +\gamma_1 \gamma_2 \cdot \mathrm{d}_z \Phi(z) -\beta \cdot \Phi(z) =0 \;.$

b) Функция $\Phi(z)={}_3 F_0 (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3;\,\beta z)$ является решением дифференциального уравнения

$z^3 \cdot \mathrm{d}_z^3 \Phi(z) +\bigl(3 +\alpha_1 +\alpha_2 +\alpha_3\bigr) \,z^2 \cdot \mathrm{d}_z^2 \Phi(z)$

$+\Bigl((1 +\alpha_1 +\alpha_2 +\alpha_3 +\alpha_1 \,\alpha_2 +\alpha_2 \,\alpha_3 +\alpha_3 \,\alpha_1\bigr)\cdot z -1/\beta\Bigr)\cdot \mathrm{d}_z \Phi(z)$

$+\alpha_1 \,\alpha_2 \,\alpha_3 \cdot \Phi(z) =0 \;.$

c) Функция $\Phi(z)={}_1 F_2 (\alpha;\, \gamma_1,\gamma_2;\,\beta z)$ является решением дифференциального уравнения

$z^2 \cdot \mathrm{d}_z^3 \Phi(z) +\bigl(1+\gamma_1 +\gamma_2\bigr) \,z\cdot \mathrm{d}_z^2 \Phi(z) +\bigl(\gamma_1 \gamma_2 -\beta z\bigr)\cdot \mathrm{d}_z \Phi(z) -\alpha \beta \cdot \Phi(z) =0 \;.$

d) Функция $\Phi(z)={}_2 F_2 (\alpha_1,\alpha_2;\, \gamma_1,\gamma_2;\,\beta z)$ является решением дифференциального уравнения

$z^2 \cdot \mathrm{d}_z^3 \Phi(z) +\bigl(1 +\gamma_1 +\gamma_2 -\beta z\bigr) \,z\cdot \mathrm{d}_z^2 \Phi(z)$

$+\Bigl(\gamma_1 \,\gamma_2 -\bigl(1 +\alpha_1 +\alpha_2\bigr) \,\beta z\Bigr)\cdot \mathrm{d}_z \Phi(z) -\alpha_1 \,\alpha_2 \,\beta \cdot \Phi(z) =0 \;.$

e) Функция $\Phi(z)={}_3 F_1 (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3;\, \gamma;\,\beta z)$ является решением дифференциального уравнения

$z^3 \cdot \mathrm{d}_z^3 \Phi(z) +\Bigl(\bigl(3 +\alpha_1 +\alpha_2 +\alpha_3\bigr) \cdot z -1/\beta\Bigr) \,z\cdot \mathrm{d}_z^2 \Phi(z)$

$+\Bigl(\bigl(1 +\alpha_1 +\alpha_2 +\alpha_3 +\alpha_1 \,\alpha_2 +\alpha_2 \,\alpha_3 +\alpha_3 \,\alpha_1\bigr)\cdot z -\gamma/\beta \Bigr)\cdot \mathrm{d}_z \Phi(z)$

$+\alpha_1 \,\alpha_2 \,\alpha_3 \cdot \Phi(z) =0 \;.$

f) Функция $\Phi(z)={}_3 F_2 (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3;\, \gamma_1, \gamma_2;\,\beta z)$ является решением дифференциального уравнения

$z^2 \,(\beta z -1)\cdot \mathrm{d}_z^3 \Phi(z) +\Bigl(\bigl(3 +\alpha_1 +\alpha_2 +\alpha_3\bigr) \,\beta z -\bigl(1 +\gamma_1 +\gamma_2\bigr)\Bigr) \,z\cdot \mathrm{d}_z^2 \Phi(z)$

$+\Bigl(\bigl(1 +\alpha_1 +\alpha_2 +\alpha_3 +\alpha_1 \,\alpha_2 +\alpha_2 \,\alpha_3 +\alpha_3 \,\alpha_1\bigr) \cdot \beta z -\gamma_1 \,\gamma_2\Bigr)\cdot \mathrm{d}_z \Phi(z)$

$+\alpha_1 \,\alpha_2 \,\alpha_3 \,\beta \cdot \Phi(z) =0 \;.$

Литература

1. Под ред. М.Абрамовица, И.Стиган. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками, математическими таблицами. – Москва, «Наука», 1979, 830 с. Перевод с английского: Edited by M.Abramowitz and I.A.Stegun. Handbook of Mathematical Functions with formulas, graphs and mathematical tables. – National bureau of standards. Applied mathematics series – 55, 1964.

2. Г.Бейтмен, А.Эрдейи. Высшие трансцендентные функции, т. 1. СБМ. – Москва, `«Наука», 1973; 297 с. Перевод с английского: H.Bateman, A.Erdelyi. Higher Transcendental Functions, Volume 1. MC Graw-Hill Book Company, Inc., New York - Toronto - London, 1953.

3. http://www.wolfram.com – Internet-page of the firm WolframResearch.

4. А.Ф.Никифоров, В.Б.Уваров. Специальные функции математической физики. – Москва, «Наука», 1984, 344 с.

5. А.П.Прудников, Ю.А.Брычков, О.И.Маричев. Интегралы и ряды. Дополнительные главы. – Москва, «Наука», 1986, 800 с.

6. Е.Янке, Ф.Эмде, Ф.Леш. Специальные функции. – Москва, «Наука», 1968, 344 с. Перевод с немецкого: E.Janke, F.Emde, F.Lösch. Tafeln Höherer Funktionen. B.G. Teubner–Verlagsgesellschaft–Stuttgart, 1960, 344 p.

Нужна работа по низкой цене? У нас вы можете заказать статью по математике недорого!