Дифференциальные уравнения для гипергеометрических функций с произвольным количеством параметров

Дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют гипергеометрические функции, – гипергеометрические уравнения – играют очень важную роль при изучении этих функций.

В настоящей статье рассматривается гипергеометрическое уравнение в общем виде, т.е. дифференциальное уравнение для гипергеометрических функций с произвольным количеством верхних и нихних параметров, а также одна из модификаций этого уравнения.

Для производной всюду используется сокращенное обозначение:
$\mathrm{d}_z$ вместо $\frac{d}{dz}$.

Далее рассматривается функция
$\Phi(z) ={}_m F_n(\alpha_1,...,\alpha_m;\, \gamma_1,...,\gamma_n;\, \beta z)$.

Дифференциальное уравнение для гипергеометрической функции

Функция $\Phi(z)$ удовлетворяет дифференцииальному уравнению, которое можно представить в виде

$\beta z \,(z\mathrm{d}_z +\alpha_1)(z\mathrm{d}_z +\alpha_2)...(z\mathrm{d}_z +\alpha_m) \,\Phi(z)$

$\qquad \qquad =z\mathrm{d}_z \,(z\mathrm{d}_z +\gamma_1 -1)(z\mathrm{d}_z +\gamma_2 -1)... (z\mathrm{d}_z +\gamma_n -1) \,\Phi(z)$

или

$\beta \,(z\mathrm{d}_z +\alpha_1)(z\mathrm{d}_z +\alpha_2)...(z\mathrm{d}_z +\alpha_m) \,\Phi(z)$

$\qquad \qquad =(z\mathrm{d}_z +\gamma_1)(z\mathrm{d}_z +\gamma_2)...(z\mathrm{d}_z +\gamma_n) \;. \,\mathrm{d}_z \Phi(z)$

$<<$

При доказательстве тождественности данных уравнений могут быть использованы соотношения, приведенные в приложении A.1.

Доказательство идентичности определений гипергеометрических функций с помощью приведенного в данном пункте дифференциального уравнения и с помощью степенного ряда, приведенного в статье «Определения и простейшие свойства гипергеометрических функций» см. в приложении A. 2.

$>>$

Частные случаи

При $m=0$ уравнение для $\Phi(z)$ имеет вид

$(z\mathrm{d}_z +\gamma_1)(z\mathrm{d}_z +\gamma_2)...(z\mathrm{d}_z+\gamma_n) \,\mathrm{d}_z \Phi(z) =\beta \,\Phi(z) \;,$

а при $n=0$ –

$\beta \,(z\mathrm{d}_z +\alpha_1)(z\mathrm{d}_z +\alpha_2)...(z\mathrm{d}_z +\alpha_m) \,\Phi(z) =\mathrm{d}_z \Phi(z) \;.$

Дифференциальное уравнение для произведения степенной и гипергеометрческой функций

Функция

$W(z) =z^{\lambda}\, {}_m F_n(\alpha_1,...,\alpha_m;\, \gamma_1,...,\gamma_n;\, \beta z^{\varkappa})$

удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению:

$\varkappa^{n-m+1} \,\beta z^{\varkappa}\cdot (z\mathrm{d}_z +\varkappa \alpha_1 -\lambda) (z\mathrm{d}_z +\varkappa \alpha_2 -\lambda)... (z\mathrm{d}_z +\varkappa \alpha_m -\lambda) \,W(z)$

$=(z\mathrm{d}_z {-}\lambda)(z\mathrm{d}_z +\varkappa \gamma_1 {-}\varkappa {-}\lambda) (z\mathrm{d}_z +\varkappa \gamma_2 {-}\varkappa {-}\lambda)... (z\mathrm{d}_z +\varkappa \gamma_n {-}\varkappa {-}\lambda) \,W(z) \;.$

Иначе говоря, частным решением уранения

$\varkappa^{n-m+1}\beta z^{\varkappa}\cdot(z\mathrm{d}_z -\xi_1)(z\mathrm{d}_z -\xi_2) ...(z\mathrm{d}_z -\xi_m) \,W(z)$

$=(z\mathrm{d}_z -\eta_1)(z\mathrm{d}_z -\eta_2)...(z\mathrm{d}_z -\eta_{n+1}) \,W(z)$

(относительно $W(z)$)
является функция

$W_r(z) =z^{\eta_r} \,{}_m F_n(\alpha_1,...,\alpha_m;\, \gamma_1,...,\gamma_n;\, \beta \,z^{\varkappa})$

$(r=1,...,m)$, где

$\alpha_k =(\eta_r -\xi_k)/\varkappa \;,$

$\gamma_k = \begin{cases} 1 +(\eta_r -\eta_k)/\varkappa & \ {при } k<r \;,\\ 1 +(\eta_r -\eta_{k+1})/\varkappa & \ {при } k\ge r \;. \end{cases}$

Вронскианы для решений гипергеометрических уравнений

Здесь предлагается метод определения вронскианов для функций, являющихся решениями гипергеометрических дифференциальных уравнений.

Пусть $w_1$, $w_2$, $...$, $w_n$ – $n$ решений линейного однородного дифференциального уравнения, в котором коэффициент при $n$-ой производной равен единице, а коэффициент при $(n-1)$-й производной равен $\sigma /z +\tau$ \ ($\sigma$, $\tau =\mathrm{const}$).

Обозначим вронскиан для данных функций через $G(z)$.

Применяя формулу Лиуввиля, получим

$G(z) =G(z_0)\cdot (z/z_0)^{-\sigma} \,e^{-\tau \,(z -z_0)} \;;$

следовательно,

$G(z) =\eta \cdot z^{-\sigma} \,e^{-\tau \,z} \;,$

где $\eta =\mathrm{const}$.

Константа $\eta$ может быть определена следующим образом:

$\eta =\lim_{z\to 0} z^{\sigma} \,e^{\tau \,z}\cdot G(z) \;,$

если данный предел существует.

Аналогично, если в рассматриваемом уравнении коэффициент при $(n-1)$-й производной равен

$\frac{\sigma_1}{z -z_1} +\frac{\sigma_2}{z -z_2}$

($z_1$, $z_2$, $\sigma_1$, $\sigma_2 =\mathrm{const}$), то

$G(z) =G(z_0)\cdot \left(\frac{z -z_1}{z_0 -z_1}\right)^{-\sigma_1} \left(\frac{z -z_2}{z_0 -z_2}\right)^{-\sigma_2} \;,$

т.е.

$G(z) =\eta \cdot (z -z_1)^{-\sigma_1} \,(z -z_2)^{-\sigma_2} \;,$

где $\eta =\mathrm{const}$.

Константа $\eta$ может быть определена так:

$\eta =\lim_{z\to 0} (z -z_1)^{\sigma_1} \,(z -z_2)^{\sigma_2}\cdot G(z) \;.$

если данный предел существует.

Приложение. Вывод формул и доказательства теорем

Свойства оператора zdz

При выводе различных формул для гипергеометрических функций часто оказываются полезными следующие соотношения:

$(z\mathrm{d}_z +A)^m \cdot (z^{\lambda} \,\hat{I}) =(z^{\lambda} \,\hat{I})\cdot (z\mathrm{d}_z +A+\lambda)^m \;,$

$(z\mathrm{d}_z +A)^m \cdot \mathrm{d}_z^n =\mathrm{d}_z^n \cdot (z\mathrm{d}_z +A-n)^m \;,$

$z^m \mathrm{d}_z^m =\widetilde{\mathcal{F}}_m (z\mathrm{d}_z) \;, \qquad \mathrm{d}_z^m z^m =\mathcal{F}_m (z\mathrm{d}_z +1) \;,$

если $\xi =(\beta z)^{\varkappa}$, то
$z\mathrm{d}_z =\varkappa \cdot \xi \mathrm{d}_{\xi}$.

Здесь $\hat{I}$ – единичный оператор.

Дифференциальное уравнение для гипергеометрической функции

Здесь будет показано, что степенной ряд, выражение для которого приведено в в статье Определения и простейшие свойства гипергеометрических функций, удовлетворяет дифференциальному уравнению, приведенному в п. 1.

Для произвольного степенного ряда с коэффициентами $w_k/k!$ выполняются следующие соотношения

$\mathrm{d}_z \sum_{k=0}^{\infty} w_k \,z^k/k! =\sum_{k=0}^{\infty} w_{k+1} \,z^k/k! \;,$

$(z\mathrm{d}_z +\alpha)\cdot \sum_{k=0}^{\infty} w_k \,z^k/k! =\sum_{k=0}^{\infty} (\alpha +k)\cdot w_k \,z^k/k! \;,$

$(z\mathrm{d}_z +\alpha_1)...(z\mathrm{d}_z +\alpha_m)\cdot \sum_{k=0}^{\infty} w_k \,z^k/k! =\sum_{k=0}^{\infty} (\alpha_1 +k)...(\alpha_m +k)\cdot w_k \,z^k/k! \;,$

$(z\mathrm{d}_z +\gamma_1)...(z\mathrm{d}_z +\gamma_n)\cdot \mathrm{d}_z \sum_{k=0}^{\infty} w_k \,z^k/k! =\sum_{k=0}^{\infty} (\gamma_1 +k)...(\gamma_n +k)\cdot w_{k+1} \,z^k/k! \;.$

Если коэффициенты разложения удовлетворяют рекуррентному соотношению

$w_{k+1} =w_k \cdot \frac{(\alpha_1 +k)...(\alpha_m +k)}{(\gamma_1 +k)...(\gamma_n +k)} \;,$

то выражения в правых частях последних двух уравнений совпадут.

Данное условие будет выполнено, если мы положим

$w_k =\frac{ \mathcal{F}_{k}(\alpha_1)\cdot ...\cdot \mathcal{F}_{k}(\alpha_m) } { \mathcal{F}_{k}(\gamma_1)\cdot ...\cdot \mathcal{F}_{k}(\gamma_n) } \;,$

где $\mathcal{F}_{k}(z)$ – функция Похгамера.

Литература

1. Под ред. М.Абрамовица, И.Стиган. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками, математическими таблицами. – Москва, «Наука», 1979, 830 с. Перевод с английского: Edited by M.Abramowitz and I.A.Stegun. Handbook of Mathematical Functions with formulas, graphs and mathematical tables. – National bureau of standards. Applied mathematics series – 55, 1964.

2. Г.Бейтмен, А.Эрдейи. Высшие трансцендентные функции, т. 1. СБМ. – Москва, `«Наука», 1973; 297 с.
   Перевод с английского: H.Bateman, A.Erdelyi. Higher Transcendental Functions, Volume 1. MC Graw-Hill Book Company, Inc., New York - Toronto - London, 1953.

3. http://www.wolfram.com – Internet-page of the firm WolframResearch.

4. А.Ф.Никифоров, В.Б.Уваров. Специальные функции математической физики. – Москва, «Наука», 1984, 344 с.

5. А.П.Прудников, Ю.А.Брычков, О.И.Маричев. Интегралы и ряды. Дополнительные главы. – Москва, «Наука», 1986, 800 с.

6. Е.Янке, Ф.Эмде, Ф.Леш. Специальные функции. – Москва, «Наука», 1968, 344 с. Перевод с немецкого: E.Janke, F.Emde, F.Lösch. Tafeln Höherer Funktionen. B.G. Teubner–Verlagsgesellschaft–Stuttgart, 1960, 344 p.

Нужна работа по низкой цене? У нас вы можете заказать статью по математике недорого!