Составление уравнения прямой

Прямая имеет несколько видов задающих ее уравнений. Рассмотрим некоторые из них и разберем примеры.

Здесь будет калькулятор

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

$y=kx+b$ ,

где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — свободный коэффициент.

Уравнения данного вида составляются следующим образом по формуле:

$y-y_0=k(x-x_0)$ ,

где $(x_0; y_0)$ — координаты любой точки, лежащей на данной прямой.

Задача 1

Составить уравнение прямой, если координаты точки, принадлежащей данной прямой, таковы: $x_0=1, y_0=2$ . Угловой коэффициент принять равным $1$ .

Решение

Подставляем значения в формулу:

$y-y_0=k(x-x_0)$

$y-2=1\cdot(x-1)$

Приводим подобные слагаемые:

$y=x+1$

Ответ

$y=x+1$

Общее уравнение прямой

Для приведения прямой к такому виду из предыдущего вида достаточно просто перенести все слагаемые в одну часть. Возьмем уравнение прямой из предыдущей задачи $y=x+1$ . Тогда общее уравнение этой прямой запишется в виде:

$y-x-1=0$

Уравнение прямой по двум точкам

Если в задаче даны координаты двух точек и необходимо составить уравнение прямой, то это делается при помощи такой формулы:

Уравнение прямой по двум точкам

$\frac{x-x_2}{x_1-x_2}=\frac{y-y_2}{y_1-y_2}$ ,

где $(x_1; y_1), (x_2; y_2)$ — координаты двух точек, через которые проходит данная прямая.

Задача 2

Найти уравнение прямой, если координаты точек имеют значения: $(2;3)$ и $(4;-1)$ .

Решение

$x_1=2$
$y_1=3$
$x_2=4$
$y_2=-1$

$\frac{x-x_2}{x_1-x_2}=\frac{y-y_2}{y_1-y_2}$

$\frac{x-4}{2-4}=\frac{y-(-1)}{3-(-1)}$

$\frac{x-4}{-2}=\frac{y+1}{4}$

$x-4=\frac{-y-1}{2}$

$y+1=2\cdot(4-x)$

$y=8-2x-1$

$y=-2x+7$

Ответ

$y=-2x+7$

Уравнение прямой при помощи точки и вектора нормали

Уравнение прямой по точке и нормали

$(x-x_0)\cdot n_1+(y-y_0)\cdot n_2=0$ ,

где $(x_0; y_0)$ — координаты точки, лежащей на данной прямой, а $(n_1; n_2)$ — координаты вектора нормали к этой прямой.

Задача 3

Составить уравнение прямой, если координаты нормального вектора — $(1;-5)$ , а точка, через которую проходит данная прямая имеет координаты $(7;8)$ .

Решение

$x_0=7$
$y_0=8$
$n_1=1$
$n_2=-5$

$(x-x_0)\cdot n_1+(y-y_0)\cdot n_2=0$ ,

$(x-7)\cdot 1+(y-8)\cdot (-5)=0$ ,

$x-7+40-5y=0$

$x-5y=-40+7$

$x-5y=-33$

$5y=x+33$

$y=\frac{x}{5}+\frac{33}{5}$

Проверка

Чтобы проверить правильность решения, достаточно подставить координаты точки в данное уравнение и, если оно будет верным, то задача решена верно.

$8=\frac{7}{5}+\frac{33}{5}$

$8=8$ — верно, ответ правильный.

Ответ

$y=\frac{x}{5}+\frac{33}{5}$

Прямая в пространстве

Уравнение прямой, заданной в пространстве имеет такой вид:

Уравнение прямой в пространстве

$\frac{x-x_0}{\nu_1}=\frac{y-y_0}{\nu_2}=\frac{z-z_0}{\nu_3}$ ,

где $(x_0;y_0;z_0)$ — координаты точки, через которую проходит прямая, а $(\nu_1,\nu_2,\nu_3)$ — координаты напрявляющего вектора данной прямой.

Задача 4

Написать уравнение прямой по заданной точке $(1;5;-23)$ и вектору направления $(3;11;7)$ .

Решение

$x_0=1$
$y_0=5$
$z_0=-23$
$\nu_1=3$
$\nu_2=11$
$\nu_3=7$

$\frac{x-x_0}{\nu_1}=\frac{y-y_0}{\nu_2}=\frac{z-z_0}{\nu_3}$

$\frac{x-1}{3}=\frac{y-5}{11}=\frac{z-(-23)}{7}$

Проверка

Проверим, удовлетворяет ли это уравнение прямой точке $(x_0;y_0;z_0)$ . Для этого подставим в него координаты этой точки:

$\frac{1-1}{3}=\frac{5-5}{11}=\frac{-23-(-23)}{7}$ — верно, значит ответ правильный.

Такой вид уравнения прямой называется каноническим.

Ответ

$\frac{x-1}{3}=\frac{y-5}{11}=\frac{z-(-23)}{7}$

Заказать статью по математике у экспертов биржи Студворк!

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Общее уравнение прямой

Уравнение прямой по двум точкам

Уравнение прямой при помощи точки и вектора нормали

Прямая в пространстве

Тест по теме “Составление уравнения прямой”

Комментарии
0

Предыдущая статья

Следующая статья

Интересные статьи за сегодня

Составление уравнения прямой

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Общее уравнение прямой

Уравнение прямой по двум точкам

Уравнение прямой при помощи точки и вектора нормали

Прямая в пространстве

Тест по теме “Составление уравнения прямой”

Комментарии 0

Предыдущая статья

Следующая статья

Интересные статьи за сегодня

Комментарии
0