187
13 Авг в 11:4113.08.2018 в 11:41

Формула и ряд Тейлора

Содержание

Степенные ряды в форме рядов Тейлора и Маклорена

Степенные ряды и, в частности, ряды Тейлора являются одним из видов функциональных рядов.

Степенной ряд в общем виде записывается как:

a0+a1(xx0)+a2(xx0)2++an(xx0)n+=k=0ak(xx0)ka_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\ldots+a_n(x-x_0)^n+\ldots=\sum\limits_{k=0}^{\infty} a_k(x-x_0)^k

где a0,a1,,an,a_0, a_1, \ldots, a_n, \ldots - постоянные, коэффициенты ряда,

x0x_0 – центр интервала сходимости ряда xx0<R|x-x_0|<R,

RR – радиус сходимости, когда для частичных сумм Sn(x)S_n(x) существует предел, сумма ряда S(x)S(x):

Sn(x)=a0+a1(xx0)+a2(xx0)2++an(xx0)n,limnSn(x)=S(x)S_n(x)= a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\ldots+a_n(x-x_0)^n, \quad \lim\limits_{n \to \infty } S_n (x) = S (x)

Возьмем функцию действительной переменной f(x)f(x), которая является бесконечно дифференцируемой в точке x0x_0. Такую функцию можно разложить в степенной ряд следующего вида:

f(x)=f(x0)+f(x0)1!(xx0)+f(x0)2!(xx0)2++f(n)(x0)n!(xx0)n+=k=0f(k)(x0)k!(xx0)kf(x)=f(x_0)+\dfrac{f{'}(x_0)}{1!}(x-x_0) +\dfrac{f{''}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 +\ldots+\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n +\ldots =\sum\limits_{k=0}^{\infty} \dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k

Этот ряд по степеням двучлена (xx0)(x-x_0) называют рядом Тейлора.

В случае x0=0x_0=0 полученный степенной ряд:

f(x)=f(0)+f(0)1!x+f(0)2!(xx0)2++f(n)(x0)n!(xx0)n+=k=0f(k)(x0)k!(xx0)kf(x)=f(0)+\dfrac{f{'}( 0)}{1!} x +\dfrac{f{''}(0)}{2!}(x-x_0)^2 +\ldots+\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n +\ldots =\sum\limits_{k=0}^{\infty} \dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k

называют рядом Маклорена.

Ряд Тейлора можно записать в другом виде. Полагая:

xx0=t,f(x)=f(x0+t)=g(t)x-x_0=t, \quad f(x)=f(x_0+t)=g(t)

ряд Тейлора

f(x)=f(x0+t)=f(0)+f(x0)1!t+f(x0)2!t2++f(n)(x0)n!tn+=k=0f(k)(x0)k!tkf(x)=f(x_0+t)=f(0)+\dfrac{f{'}(x_ 0)}{1!} t +\dfrac{f{''}(x_0)}{2!}t^2 +\ldots+\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}t^n +\ldots =\sum\limits_{k=0}^{\infty} \dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}t^k

сводится к ряду Маклорена:

g(t)=g(0)+g(0)1!t++g(n)(0)n!tn+=k=0g(k)(0)k!tkg(t)=g(0)+\dfrac{g{'}( 0)}{1!}t +\ldots+\dfrac{g^{(n)}(0)}{n!}t^n +\ldots =\sum\limits_{k=0}^{\infty} \dfrac{g^{(k)}(0)}{k!}t^k

Как и в случае произвольного степенного ряда, ряды Тейлора и Маклорена имеют интервал сходимости.

Пример

Разложим в ряд Тейлора функцию:

f(x)=1xf(x)=\dfrac{1}{x}

в окрестности точки x0=1x_0=1.

С помощью замены:

xx0=x1=tx-x_0=x-1=t

функция сводится к виду:

f(x)=f(t+1)=11+tf(x)=f(t+1)=\dfrac {1}{1+t}

Полученное выражение при t<1|t|<1 является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем (t)(-t), и ряд записывается в виде:

11+t=1t+t2t3++(1)ntn+=k=0(1)ktk\dfrac {1}{1+t}=1-t+t^2-t^3+\ldots+(-1)^{n}t^{n}+\ldots =\sum\limits_{k=0}^{\infty} (-1)^{k}t^{k}

Возвращаясь к переменной xx, получаем разложение по степеням двучлена (x1)(x-1):

1x=1(x1)+(x1)2(x1)3++(1)n(x1)n+=k=0(1)k(x1)k,x1<1\dfrac {1}{x}=1-(x-1)+ (x-1)^2-(x-1)^3+\ldots+(-1)^{n}(x-1)^{n}+\ldots =\sum\limits_{k=0}^{\infty} (-1)^{k}(x-1)^{k}, \quad |x-1|<1

Формула Тейлора

Следствием разложения функции в степенной ряд является соответствующая формула Тейлора. Если функция f(x)f(x) имеет в точке x0x_0 производные до nn –го порядка включительно, то функцию f(x)f(x) можно представить с помощью формулы Тейлора:

f(x)=f(x0)+f(x0)1!(xx0)++f(n)(x0)n!(xx0)n+Rn(x)f(x)=f(x_0)+\dfrac{f{'}(x_0)}{1!}(x-x_0) +\ldots+\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n +R_n (x)

или

f(x)=k=0nf(k)(x0)k!(xx0)k+Rn(x)f(x)= \sum\limits_{k=0}^{n} \dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k +R_n (x),

где функция Rn(x)R_n (x) называется остаточным членом.

Формы остаточного члена

Существует несколько форм для остаточного члена. В частности, если f(x)f(x) дифференцируема (n+1)(n+1) раз в окрестности x0x_0, то Rn(x)R_n (x) может быть представлена в форме Лагранжа:

Rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!xn+1,x<ξ<x0R_n (x)=\dfrac {f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} x^{n+1}, \quad x<\xi<x_0 или x<ξ<x0x<\xi<x_0.

Если функция f(x)f(x) дифференцируема (n1)(n-1) раз в окрестности x0=0x_0=0, то Rn(x)R_n(x) может быть представлена в форме Пеано:

Rn(x)=o((xx0)n)R_n(x)=o((x-x_0)^n).

Учитывая, что ряд Тейлора можно свести к ряду Маклорена, запишем формулу Тейлора для основных элементарных функций в окрестности x0=0x_0=0 и укажем соответствующие интервалы сходимости.

Показательная функция:

ex=1+x1!+x22!+x33!++xnn!+o(xn),x<e^x=1+\dfrac{x}{1!} +\dfrac{x^2}{2!} +\dfrac{x^3}{3!}+\ldots+\dfrac{x^n}{n!}+o(x^n),\quad |x|<\infty

Тригонометрические функции:

sinx=x1!x33!+x55!x77!++(1)n+1x2n1(2n1)!+o(x2n),x<\sin x=\dfrac{x}{1!} -\dfrac{x^3}{3!} +\dfrac{x^5}{5!} -\dfrac{x^7}{7!} +\ldots+\dfrac{(-1)^{n+1}x^{2n-1}}{(2n-1)!}+ o(x^{2n}),\quad |x|<\infty

cosx=1x22!+x44!x66!++(1)n+1x2n(2n)!+o(x2n+1),x<\cos x=1 -\dfrac{x^2}{2!} +\dfrac{x^4}{4!} -\dfrac{x^6}{6!} +\ldots+\dfrac{(-1)^{n+1}x^{2n}}{(2n)!}+ o(x^{2n+1}),\quad |x|<\infty

arctgx=xx33+x55x77++(1)nx2n+12n+1+o(x2n+2),x1\arctg x=x-\dfrac{x^3}{3} +\dfrac{x^5}{5} -\dfrac{x^7}{7} +\ldots+\dfrac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}+ o(x^{2n+2}),\quad |x|\le{1}

Логарифмическая функция:

ln(1+x)=x1!x22!+x33!+(1)n+1xnn!+o(xn),x(1;1]\ln (1+x)=\dfrac{x}{1!} -\dfrac{x^2}{2!} +\dfrac{x^3}{3!} -\ldots+\dfrac{(-1)^{n+1}x^{n}}{n!}+ o(x^n),\quad x\in (-1;1]

Степенная функция:

(1+x)α=1+α1!x+α(α1)2!x2+α(α1)(α2)3!x3++α(α1)(αn+1)n!xn+o(xn)(1+x)^\alpha=1+\dfrac{\alpha }{1!}x+\dfrac{\alpha (\alpha -1)}{2!}x^2 +\dfrac{\alpha (\alpha -1)( \alpha -2)}{3!} x^3 +\ldots+\dfrac{\alpha (\alpha -1) \ldots ( \alpha-n+1)} {n!} {x^n}+ o(x^n)

Пример 1

Разложим, используя формулу Тейлора, функцию

f(x)=(x+1)ln(x2+2x+2)f(x)=(x+1)\ln (x^2+2x+2)

в окрестности точки x0=1x_0=-1 с точностью до o((x+1)7)o((x+1)^7).

Выполнив замену переменной

xx0=x+1=tx-x_0=x+1=t

получаем:

g(t)=tln(1+t2)g(t)=t\ln(1+t^2)

Используя разложение логарифмической функции, получаем:

g(t)=t(t21!(t2)22!+(t2)33!+o((t2)3))=t3t52+t76+o(t7)g(t)=t \left( \dfrac{t^2}{1!}-\dfrac{(t^2)^2}{2!}+\dfrac{(t^2)^3}{3!}+o((t^2)^3) \right)=t^3-\dfrac{t^5}{2}+\dfrac{t^7}{6}+o(t^7)

Выполняем далее обратную замену переменной:

f(x)=(x+1)3(x+1)52+(x+1)76+o((x+1)7)f(x)= (x+1)^3-\dfrac{(x+1)^5}{2}+\dfrac{(x+1)^7}{6}+o((x+1)^7)

Пример 2

Разложим, используя формулу Тейлора, функцию

f(x)=(x24x)cos(2x4)f(x)=(x^2-4x)\cos{(2x-4)}

в окрестности точки x0=2x_0=2 с точностью до o((x5)5)o((x-5)^5).

Выполнив замену переменной:

xx0=x2=t,x=t+2x-x_0=x-2=t, \quad x=t+2

получаем:

g(t)=(t24)cos2tg(t)=(t^2-4)\cos{2t}

Используя разложение тригонометрической функции, получаем:

g(t)=(t24)(1(2t)22!(2t)44!+o(t5))=(t24)(12t2+2t43+o(t5))g(t) =(t^2-4) \left( 1-\dfrac{(2t)^2}{2!}-\dfrac{(2t)^4}{4!}+o(t^5) \right) =(t^2-4) \left( 1-2t^2+\dfrac{2t^4}{3}+o(t^5) \right)

Раскрываем скобки, ограничиваясь слагаемыми со степенью t не выше пяти:

g(t)=(t22t4)(48t2+8t43+o(t5))=4+9t2143t4+o(t5)g(t) =(t^2-2t^4)- \left( 4-8t^2+\dfrac{8t^4}{3}+o(t^5) \right) =-4+9t^2-\dfrac{14}{3} t^4+o(t^5)

Выполняя обратную замену переменной, получаем:

f(x)=4+9(x2)2143(x2)4+o((x2)5)f(x)=-4+9(x-2)^2-\dfrac{14}{3}(x-2)^4+o((x-2)^5)

Применение формулы Тейлора при x, стремящемся к бесконечности

При необходимости представить функцию с помощью формулы Тейлора при xx \to \infty с точностью до o(1xn)o\left( \dfrac {1} {x^n}\right), последовательно:

  • выполняем замену переменной t=1xt=\dfrac{1}{x};
  • полученную функцию g(t)g(t) представляем с помощью формулы Тейлора с необходимой точностью;
  • с помощью обратной замены переменных находим искомое выражение для f(x)f(x).

Пример

Разложим, используя формулу Тейлора, функцию

f(x)=2xx21f(x)=2x-\sqrt{x^2-1}

с точностью до o(1x3)o\left( \dfrac {1} {x^3}\right) при x+x \to +\infty.

Выполнив замену переменной

t=1x,x=1tt=\dfrac{1}{x}, \quad x=\dfrac{1}{t}

получаем:

g(t)=2t1t21=2(1t2)1/2tg(t)=\dfrac {2}{t}-\sqrt {\dfrac{1}{t^2}-1}=\dfrac{2-(1-t^2)^{1/2}}{t}

Учитывая требуемую точность o(t3)o(t^3), используем разложение степенной функции в ряд Тейлора с точностью до o(t4)o(t^4):

g(t)=2(1t22t48)+o(t4)t=1t+t2t38+o(t3)g(t)=\dfrac {2-\left( 1-\dfrac{t^2}{2}-\dfrac{t^4}{8}\right)+o(t^4)}{t}=\dfrac{1}{t}+\dfrac{t}{2}-\dfrac{t^3}{8}+o(t^3)

Выполняя обратную замену переменной, находим:

f(x)=x+12x18x3+o(1x3),x+f(x)=x+\dfrac{1}{2x}- \dfrac {1}{8x^3}+ o\left( \dfrac {1} {x^3}\right), \quad x \to +\infty

Применение формула Тейлора при вычислении пределов

С помощью разложения функции с использованием формулы Тейлора при вычислении пределов можно избавиться от неопределённостями различного вида. Проиллюстрируем использование формулы Тейлора на примере вычисления предела функции с неопределенностью вида (00)\left( \dfrac {0} {0}\right).

Пример 1

Вычислим, используя формулу Тейлора, предел:

limx1execos(x1)sin(x1)\lim\limits_{x \to 1 } \dfrac {e^{x}-e \cos{(x-1)}}{\sin {(x-1)}}

Заменим ex{e^{x}} и тригонометрические функции их разложениями в степенные ряды в окрестности x0=1x_0=1, находим:

limx1execos(x1)sin(x1)=limx1(e+e(x1)+e(x1)22!+e(x1)33!+)e(1(x1)22!+)(x1)(x1)33!+=elimx1(x1)+(x1)2+(x1)36+(x1)(x1)36+=elimx11+(x1)+(x1)26+1(x1)26+=e\lim\limits_{x \to 1 } \dfrac {e^{x}-e \cos{(x-1)}}{\sin {(x-1)}}=\lim\limits_{x \to 1} \dfrac {\left(e+e(x-1)+\dfrac{e(x-1)^2}{2!}+\dfrac{e(x-1)^3}{3!} +\ldots \right)-e\left( 1-\dfrac{(x-1)^2}{2!}+ \ldots \right)} {(x-1)-\dfrac{(x-1)^3}{3!}+ \ldots}= e\lim\limits_{x \to 1 } \dfrac {(x-1)+(x-1)^2+ \dfrac{(x-1)^3}{6}+\ldots} {(x-1)- \dfrac{(x-1)^3}{6}+\ldots} =e \lim\limits_{x \to 1 } \dfrac {1+(x-1) +\dfrac{(x-1)^2}{6}+\ldots} {1- \dfrac{(x-1)^2}{6}+\ldots} =e

Автор статьи
+0
-0
Комментарии
Нет комментариев

Интересные статьи за сегодня

Как составить резюме молодому специалисту

Что написать в резюме, если вы только окончили вуз и у вас нет опыта?
51 +39
0

Как защищать курсовую работу

О том, как преподнести себя публике и уберечь нервную систему (не только свою), представляя свое научное детище, – читайте в нашей статье.
199 +27
1

Кто в России счастлив на работе

Кто в России счастлив на работе?
435 +27
4

Антиплагиат: что это такое

Детальный обзор систем антиплагиата: как с ними работать и как повысить уникальность
3538 +26
0
Хотите выполнять заказы?
Стать автором
Хотите заказать работу?
Разместить заказ