Матричные уравнения

Содержание

Если вы перешли к изучению данной темы, то уже знаете, что такое матрица и определитель матрицы, умеете находить определители второго, третьего и высших порядков, а также обратные матрицы. Если какая-то из этих тем вам незнакома, то следует изучить сначала ее.

Приступим к рассмотрению понятия матричного уравнения.

Матричные уравнения

Матричные уравнения устроены практически также как и числовые, только вместо чисел в них содержатся числовые матрицы. Как правило, типовое матричное уравнение состоит из нескольких матриц и некоторой неизвестной матрицы XX, которую и требуется найти.

Рассмотрим примеры наиболее простых матричных уравнений и их решения.

Пример 1

Решить матричное уравнение

(1234)+x=(1101)\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}+x=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}.

Перенесем матрицу из левой части в правую:

x=(1101)(1234)x=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}.

Найдем разность матриц в правой части уравнения:

x=(11120314)x=\begin{pmatrix}1-1&1-2\\0-3&1-4\end{pmatrix}.

Значит, x=(0133)x=\begin{pmatrix}0&-1\\-3&-3\end{pmatrix}.

Можно провести проверку:

(1234)+(0133)=(1+0213343)=(1101)\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&-1\\-3&-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+0&2-1\\3-3&4-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix},

(1101)=(1101)\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}.

Пример 2

Решить матричное уравнение (584695)12x=(341212)\begin{pmatrix}5&8&-4\\6&9&-5\end{pmatrix}-\frac{1}{2}x=\begin{pmatrix}3&4&1\\2&1&2\end{pmatrix}.

Перенесем матрицу из левой части в правую:

12x=(341212)(584695)-\frac{1}{2}x=\begin{pmatrix}3&4&1\\2&1&2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5&8&-4\\6&9&-5\end{pmatrix}.

Найдем разность матриц в правой части уравнения:

12x=(35481(4)26192(5))-\frac{1}{2}x=\begin{pmatrix}3-5&4-8&1-(-4)\\2-6&1-9&2-(-5)\end{pmatrix},

12x=(245487)-\frac{1}{2}x=\begin{pmatrix}-2&-4&5\\-4&-8&7\end{pmatrix}.

Умножим обе части уравнения на -2:

x=2(245487)x=-2\begin{pmatrix}-2&-4&5\\-4&-8&7\end{pmatrix},

x=(481081614)x=\begin{pmatrix}4&8&-10\\8&16&-14\end{pmatrix}.

Можно провести проверку:

(584695)12(481081614)=(584695)(245487)=(341212)\begin{pmatrix}5&8&-4\\6&9&-5\end{pmatrix}-\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4&8&-10\\8&16&-14\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&8&-4\\6&9&-5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2&4&-5\\4&8&-7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&4&1\\2&1&2\end{pmatrix},

(341212)=(341212)\begin{pmatrix}3&4&1\\2&1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&4&1\\2&1&2\end{pmatrix}.

Такие уравнения элементарны, поэтому они довольно редко встречаются на практике.

Простейшие матричные уравнения

Обычно решение матричных уравнений сводится к одному из двух видов:

  1. AX=BA\cdot X=B;
  2. XA=BX\cdot A=B.

Рассмотрим, как решается каждое из этих уравнений.

Уравнение вида AX=BA\cdot X=B Уравнение вида XA=BX\cdot A=B
Для того чтобы разрешить данное уравнение относительно XX умножим обе его части на A1A^{-1} слева: A1AX=A1BA^{-1}\cdot A\cdot X=A^{-1}\cdot B.

Так как A1A=EA^{-1}\cdot A=E, то EX=A1BE\cdot X=A^{-1}\cdot B, EE — единичная матрица.

Так как EX=XE\cdot X=X, то X=A1BX=A^{-1}\cdot B.
Для того чтобы разрешить данное уравнение относительно XX умножим обе его части на A1A^{-1} справа: XAA1=BA1X\cdot A\cdot A^{-1}=B\cdot A^{-1}.

Так как AA1=EA\cdot A^{-1}=E, то XE=BA1X\cdot E=B\cdot A^{-1}, EE — единичная матрица.

Так как XE=XX\cdot E=X, то X=BA1X=B\cdot A^{-1}.

Рассмотрим примеры решения простейших матричных уравнений вида AX=BA\cdot X=B.

Пример 1

Решить матричное уравнение (3728)X=(4862)\begin{pmatrix}3&7\\2&8\end{pmatrix}\cdot X=\begin{pmatrix}4&8\\6&2\end{pmatrix}. Выполнить проверку.

Уравнение имеет вид AX=BA\cdot X=B, где A=(3728)A=\begin{pmatrix}3&7\\2&8\end{pmatrix}, B=(4862)B=\begin{pmatrix}4&8\\6&2\end{pmatrix}.

Умножим обе части уравнения на A1A^{-1} слева:

A1AX=A1BA^{-1}\cdot A\cdot X=A^{-1}\cdot B,

EX=A1BE\cdot X=A^{-1}\cdot B, EE — единичная матрица,

X=A1BX=A^{-1}\cdot B.

Найдем матрицу A1A^{-1}.

3728=3827=2414=100\begin{vmatrix}3&7\\2&8\end{vmatrix}=3\cdot8-2\cdot7=24-14=10\neq 0, значит для матрицы AA существует обратная матрица. Найдем ее методом элементарных преобразований.

Составим расширенную матрицу:

(37281001)\begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}3&7\\2&8\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\end{pmatrix}.

Вычтем из строки №1 строку №2:

(37281001)(11281101)\begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}3&7\\2&8\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&-1\\2&8\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&-1\\0&1\end{matrix}\end{pmatrix}.

Прибавим к строке №2 строку №1, умноженную на -2:

(11281101)(110101123)\begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&-1\\2&8\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&-1\\0&1\end{matrix}\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&-1\\0&10\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&-1\\-2&3\end{matrix}\end{pmatrix}.

Умножим строку №1 на 10:

(110101123)(1010010101023)\begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&-1\\0&10\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&-1\\-2&3\end{matrix}\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}10&-10\\0&10\end{matrix}\right|\begin{matrix}10&-10\\-2&3\end{matrix}\end{pmatrix}.

Прибавим к строке №1 строку №2, умноженную на 1:

(1010010101023)(1000108723)\begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}10&-10\\0&10\end{matrix}\right|\begin{matrix}10&-10\\-2&3\end{matrix}\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}10&0\\0&10\end{matrix}\right|\begin{matrix}8&-7\\-2&3\end{matrix}\end{pmatrix}.

Умножим строку №1 и №2 на 110\frac{1}{10}:

(1000108723)(1001810710210310)\begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}10&0\\0&10\end{matrix}\right|\begin{matrix}8&-7\\-2&3\end{matrix}\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right|\begin{matrix}\frac{8}{10}&-\frac{7}{10}\\-\frac{2}{10}&\frac{3}{10}\end{matrix}\end{pmatrix}.

Значит, A1=(810710210310)=110(8723)A^{-1}=\begin{pmatrix}\frac{8}{10}&-\frac{7}{10}\\-\frac{2}{10}&\frac{3}{10}\end{pmatrix}=\frac{1}{10}\begin{pmatrix}8&-7\\-2&3\end{pmatrix}.

A1B=110(8723)(4862)=110(10501010)=(1511)=XA^{-1}\cdot B=\frac{1}{10}\begin{pmatrix}8&-7\\-2&3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4&8\\6&2\end{pmatrix}=\frac{1}{10}\begin{pmatrix}-10&50\\10&-10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&5\\1&-1\end{pmatrix}=X.

Проверка:

(3728)(1511)=(4862)\begin{pmatrix}3&7\\2&8\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-1&5\\1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&8\\6&2\end{pmatrix}. — Верно.

Ответ: X=(1511)X=\begin{pmatrix}-1&5\\1&-1\end{pmatrix}.

Пример 2

Решить матричное уравнение (0230)X=(2436)\begin{pmatrix}0&2\\3&0\end{pmatrix}\cdot X=\begin{pmatrix}2&4\\3&-6\end{pmatrix}. Выполнить проверку.

Уравнение имеет вид AX=BA\cdot X=B, где A=(0230)A=\begin{pmatrix}0&2\\3&0\end{pmatrix}, B=(2436)B=\begin{pmatrix}2&4\\3&-6\end{pmatrix}.

Умножим обе части уравнения на A1A^{-1} слева:

A1AX=A1BA^{-1}\cdot A\cdot X=A^{-1}\cdot B,

EX=A1BE\cdot X=A^{-1}\cdot B, EE — единичная матрица,

X=A1BX=A^{-1}\cdot B.

Найдем матрицу A1A^{-1}.

0230=0032=06=60\begin{vmatrix}0&2\\3&0\end{vmatrix}=0\cdot0-3\cdot2=0-6=-6\neq 0, значит для матрицы AA существует обратная матрица. Найдем ее методом элементарных преобразований.

Составим расширенную матрицу:

(02301001)\begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}0&2\\3&0\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\end{pmatrix}.

Поменяем местами строки №1 и №2:

(02301001)(30020110)\begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}0&2\\3&0\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}3&0\\0&2\end{matrix}\right|\begin{matrix}0&1\\1&0\end{matrix}\end{pmatrix}.

Умножим строку №1 на 13\frac{1}{3}, а строку №2 на 12\frac{1}{2}:

(30020110)(1001013120)\begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}3&0\\0&2\end{matrix}\right|\begin{matrix}0&1\\1&0\end{matrix}\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right|\begin{matrix}0&\frac{1}{3}\\\frac{1}{2}&0\end{matrix}\end{pmatrix}.

Значит, A1=(013120)=16(0230)A^{-1}=\begin{pmatrix}0&\frac{1}{3}\\\frac{1}{2}&0\end{pmatrix}=\frac{1}{6}\begin{pmatrix}0&2\\3&0\end{pmatrix}.

A1B=16(0230)(2436)=16(612612)=(1212)=XA^{-1}\cdot B=\frac{1}{6}\begin{pmatrix}0&2\\3&0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}2&4\\3&-6\end{pmatrix}=\frac{1}{6}\begin{pmatrix}6&-12\\6&12\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-2\\1&2\end{pmatrix}=X.

Проверка:

(0230)(1212)=(2436)\begin{pmatrix}0&2\\3&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&-2\\1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&4\\3&-6\end{pmatrix}. — Верно.

Ответ: X=(1212)X=\begin{pmatrix}1&-2\\1&2\end{pmatrix}.

Рассмотрим примеры решения простейших матричных уравнений вида XA=BX\cdot A=B.

Пример 3

Решить матричное уравнение

X(9711)=(201812)X\cdot\begin{pmatrix}9&7\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&0\\18&12\end{pmatrix}. Выполнить проверку.

Уравнение имеет вид XA=BX\cdot A=B, где A=(9711)A=\begin{pmatrix}9&7\\1&1\end{pmatrix}, B=(201812)B=\begin{pmatrix}2&0\\18&12\end{pmatrix}.

Умножим обе части уравнения на A1A^{-1} справа:

XAA1=BA1X\cdot A\cdot A^{-1}=B\cdot A^{-1},

XE=BA1X\cdot E=B\cdot A^{-1}, EE — единичная матрица,

X=BA1X=B\cdot A^{-1}.

Найдем матрицу A1A^{-1}.

9711=9117=97=20\begin{vmatrix}9&7\\1&1\end{vmatrix}=9\cdot1-1\cdot7=9-7=2\neq 0, значит для матрицы AA существует обратная матрица. Найдем ее методом элементарных преобразований.

Составим расширенную матрицу:

(97111001)\begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}9&7\\1&1\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\end{pmatrix}.

Поменяем строки №1 и №2 местами:

(97111001)(11970110)\begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}9&7\\1&1\end{matrix}\right|\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}\left.\begin{matrix}1&1\\9&7\end{matrix}\right|\begin{matrix}0&1\\1&0\end{matrix}\end{pmatrix}