199
29 Авг 2018 в 11:1829.08.2018 в 11:18

Примеры решения пределов

Содержание

Если в процессе трансформации, некоторая величина неограниченно приближается к числу a, то это число является пределом (lim) данной величины. Число а всегда находится в интервале определения функции.

Предел функции:
limxaf(x)=A\lim \limits _{x \rightarrow a} {f(x)} = A

При бесконечном росте к функции 1/x1/x предел стремится к нулю:

limx1x=0\lim \limits _{x\rightarrow \infty}{\frac{1}{x}=0}

Правила решения пределов

  • предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций;
  • предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций;
  • предел частного двух функций равен частному пределов этих функций;
  • предел числа в степени (корня из числа) равен степени (корню) предела этого числа;
  • постоянный множитель (число) выносится за знак предела;
  • предел числа равен этому числу

Примеры задач в практическом применении пределов функции

Пример 1

Предел приближения к числу

limx15x3+123x8x4+x2=limx1513+1231814+12=5+12384+1=15\lim \limits _{x \rightarrow 1} {\frac{5x^3+\frac{12}{3x}-8^x}{4+x^2}}=\lim \limits _{x \rightarrow 1} {\frac{5{\cdot1}^3+\frac{12}{3\cdot1}-8^1}{4+1^2}}=\frac{5+ \frac{12}{3}-8}{4+1}=\frac{1}{5}

Однако не всегда предел приближения к числу разрешается. В некоторых случаях возможна неопределенность.

limx1x22x+1x1=limx11221+111=<00>\lim \limits _{x \rightarrow 1}{\frac{x^2-2x+1}{x-1}}=\lim \limits _{x \rightarrow 1}{\frac{1^2-2\cdot1+1}{1-1}}= <\frac{0}{0}>

Неопределенность вида <00><\frac{0}{0}> возможно разрешить путем разложения числителя или знаменателя на множители.

limx1x22x+1x1=limx1(x1)(x1)x1=limx1(x1)=11=0\lim \limits _{x \rightarrow 1}{\frac{x^2-2x+1}{x-1}}=\lim \limits _{x \rightarrow 1}{\frac{\left(x-1\right)\left(x-1\right)}{x-1}}=\lim \limits _{x \rightarrow 1}{\left(x-1\right)=1-1=0}

Другой способ раскрытия неопределенности – правило Лопиталя (производная от числителя и знаменателя пока неопределенность не спадет)

limx1x22x+1x1=limx1(x22x+1)(x1)=limx12x21=limx12x2=limx1212=0\lim \limits _{x \rightarrow 1}{\frac{x^2-2x+1}{x-1}}=\lim \limits _{x \rightarrow 1}{\frac{\left(x^2-2x+1\right)^`}{\left(x-1\right)^`}}=\lim \limits _{x \rightarrow 1}{\frac{2x-2}{1}}=\lim \limits _{x \rightarrow 1}{2x-2}=\lim \limits _{x \rightarrow 1}{2\cdot1-2=0}

Пример 2

Предел приближения к бесконечности

limxx24x+21+x2=limx24+21+2=<>\lim \limits _{x \rightarrow \infty}{\frac{x^2-4x+2}{1+x^2}}=\lim \limits _{x \rightarrow \infty}{\frac{\infty^2-4\cdot \infty+2}{1+ \infty^2}}= <\frac{\infty} {\infty}>

Неопределенность вида, <><\frac{\infty} {\infty}> возможно разрешить только путем деления каждого члена функции на xx в большей степени (в данном примере максимальная степень x2x^2).

limxx2x24xx2+2x21x2+x2x2=limx14x+2x21x2+1\lim \limits _{x \rightarrow \infty}{\frac{\frac{x^2}{x^2}-\frac{4x}{x^2}+\frac{2}{x^2}}{\frac{1}{x^2}+\frac{x^2}{x^2}}}=\lim \limits _{x \rightarrow \infty}{\frac{1-\frac{4}{x}+\frac{2}{x^2}}{\frac{1}{x^2}+1}}

Зная, что limx1x=0\lim \limits _{x \rightarrow \infty}{\frac{1}{x}=0},

причем в числителе дроби может быть любое число, а в знаменателе х любой степени, имеем

limx14x+2x21x2+1=limx14+2212+1=limx10+00+1=11=1\lim \limits _{x \rightarrow \infty}{\frac{1-\frac{4}{x}+\frac{2}{x^2}}{\frac{1}{x^2}+1}}=\lim \limits _{x \rightarrow \infty}{\frac{1-\frac{4}{\infty}+\frac{2}{\infty^2}}{\frac{1}{\infty^2}+1}}=\lim \limits _{x \rightarrow \infty}{\frac{1-0+0}{0+1}=\frac{1}{1}}=1

Другие неопределенности

  • 11^\infty – раскрытие через второй замечательный предел;
  • 000^0, 0\infty^0 – необходимо найти логарифм предела;
  • 00\cdot\infty, \infty-\infty – преобразование функции, правило Лопиталя.
Замечательные пределы (математические тождества)

limx0sinxx=1\lim \limits _{x \rightarrow 0}{\frac{sinx}{x}=1}

limx(1+1x)x=e\lim \limits _{x \rightarrow \infty}{\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e}

Примеры применения замечательных пределов

Пример 1

Вычислить предел функции limx0sin3x9x\lim \limits _{x \rightarrow 0}{\frac{sin3x}{9x}}

limx0sin3x9x=<00>\lim \limits _{x \rightarrow 0} \frac{\sin3x}{9x}=<\frac{0}{0}>

Выполним преобразования

limx0sin3x9x=limx0sin3x33x=13limx0sin3x3x=131=13\lim \limits _{x \rightarrow 0}{\frac{sin3x}{9x}}=\lim \limits _{x \rightarrow 0}{\frac{\sin3x}{3\cdot3x}}=\frac{1}{3}\lim \limits _{x \rightarrow 0}{\frac{sin3x}{3x}}=\frac{1}{3}\cdot1=\frac{1}{3}

Пример 2

Вычислить предел функции

limx(x+5x+4)(x+4)\lim \limits _{x \rightarrow \infty} (\frac {x+5}{x+4})^{(x+4)}

limx(x+5x+4)(x+4)=<>\lim \limits _{x \rightarrow \infty} (\frac {x+5}{x+4})^{(x+4)}= <\frac {\infty} {\infty}>^ {\infty}

Выполним преобразования (прибавление и отнимание единицы)

limx(x+5x+4)(x+4)=limx(11+x+5x+4)(x+4)=limx(1x+4x+4+x+5x+4)(x+4)=\lim \limits _{x \rightarrow \infty} (\frac {x+5}{x+4})^{(x+4)}=\lim \limits _{x \rightarrow \infty} (1-1+\frac {x+5}{x+4})^{(x+4)}= \lim \limits _{x \rightarrow \infty} (1-\frac {x+4}{x+4} + \frac {x+5}{x+4})^{(x+4)}=

limx(1+x+5x4x+4)(x+4)=limx(1+1x+4)(x+4)=e\lim \limits _{x \rightarrow \infty} (1+\frac {x+5-x-4}{x+4})^{(x+4)}= \lim \limits _{x \rightarrow \infty} (1+\frac {1}{x+4})^{(x+4)}=e

Пределы находят практическое применение в различных областях математики, геометрии, экономики и финансов, поэтому умение разрешать такие задачи и быстро раскрывать неопределенности крайне необходимо для достижения иной главной цели.

Автор статьи
+0
-0
Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат

Интересные статьи за сегодня

10 крутых способов заработать, если ты студент. Без финансовых пирамид, продажи косметики и ночных подработок в баре.
560 +131
1
Офисная работа с каждым днем становится все скучнее. Однообразный график работы, корпоративный стиль, одни и те же люди вокруг. Это все забавляет...
211 +66
1
Как совмещать учебу и работу? Пользователь Студворк делится опытом.
65 +65
0
Что советуют успешные предприниматели? Какие навыки нужны современному рынку труда?
160 +38
1
Какие профессии находятся на грани исчезновения?
447 +35
2
Хотите выполнять заказы?
Стать автором
Хотите заказать работу?
Разместить заказ