126
29 Авг в 12:0329.08.2018 в 12:03

Решение примеров со степенями

Содержание

Степень числа (выражения) представляет собой произведение множителей из этого же числа (выражения). Так число хх в степени nn это:

x2=xxx^2=x\cdot x

Выражение хх называют основанием степени, число nn – ее показателем.

Аналогично можно представить любое выражение:

(x+8)3=(x+8)(x+8)(x+8){(x+8)}^3=(x+8)(x+8)(x+8)

4553=455455455{\sqrt[5]{45}}^3=\sqrt[5]{45}\cdot\sqrt[5]{45}\cdot\sqrt[5]{45}

Базовые положения степеней

  1. Число в степени 1 равно самому себе.
  2. Число в степени 0 равно 1.
  3. Отрицательное число в четной степени становится числом положительным.
  4. Отрицательное число в нечетной степени есть число отрицательное.

Свойства степеней и примеры решения

Произведение (частное) чисел с одинаковым основанием, но в разной степени

xaxb=xa+bx^a\cdot x^b=x^{a+b}

xaxb=xab\frac{x^a}{x^b}=x^{a-b}

Например, необходимо упростить выражение

(y+2)5(y+2)1510(y+2)510=(y+2)5+1510510=(y+2)5+1010=(y+2)6{(y+2)}^5\cdot\frac{\left(y+2\right)^\frac{15}{10}}{\left(y+2\right)^\frac{5}{10}}=\left(y+2\right)^{5+\frac{15}{10}-\frac{5}{10}}=\left(y+2\right)^{5+\frac{10}{10}}=\left(y+2\right)^6

Возведение степени числа в степень

(xa)b=xab\left(x^a\right)^b=x^{a\cdot b}

Например, требуется вычислить

(52)12=5212=522=5\left(5^2\right)^\frac{1}{2}=5^{2\cdot\frac{1}{2}}=5^\frac{2}{2}=5

Произведение (частное) чисел в степени

(xy)n=xnyn(xy)n=xnyn{(x\cdot y)}^n=x^n\cdot y^n \left(\frac{x}{y}\right)^n=\frac{x^n}{y^n}

Например, требуется вычислить

(132552)2=(132)252(52)2=1352=1325{(\frac{\sqrt[2]{13}\cdot5}{5^2})}^2=\frac{\left(\sqrt[2]{13}\right)^2\cdot5^2}{\left(5^2\right)^2}=\frac{13}{5^2}=\frac{13}{25}

Частное единицы и числа в степени nn

1xn=xn\frac{1}{x^n}=x^{-n}

Например, необходимо преобразовать выражение

1(18x6)2x0=(18x6)21=(18x6)2\frac{1}{{(18-x^6)}^2}\cdot x^0=\left(18-x^6\right)^{-2}\cdot1=\left(18-x^6\right)^{-2}

Дробная степень выражения

xab=xabx^\frac{a}{b}=\sqrt[b]{x^a}

следствие: y=x n       yn=xy=\sqrt[n]{x\ }\ \ \ \rightarrow\ \ \ \ y^n=x

Например, необходимо упростить выражение

183x2=120y218^{\frac{3x}{2}}=\sqrt[2]{120y}
183x22=120y18^{\frac{3x}{2}\cdot2}=120y
183x=120y{18}^{3x}=120y

Практическое применение свойств степеней

Пример 1

Упростить выражение

((x3)10x13)52y16(x4x24):y6\frac{\left(\left(x^3\right)^{10}\cdot x^\frac{1}{3}\right)^\frac{5}{2}\cdot y^\frac{1}{6}}{\left(x^{-4}\cdot \sqrt[4]{x^{-2}}\right):y^6}

Решение

  1. Упростим выражение в числителе, для этого выполним действия в скобках

x310x13=x30+13=x913x^{3\cdot10}\cdot x^\frac{1}{3}=x^{30+\frac{1}{3}}=x^\frac{91}{3}

Получим,

(x913)52y16(x4x24):y6\frac{\left(x^\frac{91}{3}\right)^\frac{5}{2}\cdot y^\frac{1}{6}}{\left(x^{-4}\cdot\sqrt[4]{x^{-2}}\right):y^6}

Раскроем скобки в числителе

x91352y16(x4x24):y6=x4556y16(x4x24):y6\frac{x^{\frac{91}{3}\cdot\frac{5}{2}}\cdot y^\frac{1}{6}}{\left(x^{-4}\cdot\sqrt[4]{x^{-2}}\right):y^6}=\frac{x^\frac{455}{6}\cdot y^\frac{1}{6}}{\left(x^{-4}\cdot\sqrt[4]{x^{-2}}\right):y^6}

  1. Упростим выражение в знаменателе, для чего преобразуем корень к виду степени

x24=x24\sqrt[4]{x^{-2}}=x^\frac{-2}{4}

Получим,

x4556y16(x4x24):y6=x4556y16(x4+24):y6=x4556y16(x184):y6\frac{x^\frac{455}{6}\cdot y^\frac{1}{6}}{\left(x^{-4}\cdot x^\frac{-2}{4}\right):y^6}=\frac{x^\frac{455}{6}\cdot y^\frac{1}{6}}{\left(x^{-4+\frac{-2}{4}}\right):y^6}=\frac{x^\frac{455}{6}\cdot y^\frac{1}{6}}{\left(x^\frac{-18}{4}\right):y^6}

  1. Перенесем знаменатель в верхнюю часть дроби

x4556y16:x184y6=x4556:x184y16y6=x4556(184)y16+6x4556+(184)y16+366=x910+5412y376=x96412y376=x2413y376x^\frac{455}{6}\cdot y^\frac{1}{6}:x^\frac{-18}{4}\cdot y^6=x^\frac{455}{6}:x^\frac{-18}{4}\cdot y^\frac{1}{6}\cdot y^6=x^{\frac{455}{6}-\left(\frac{-18}{4}\right)}\cdot y^{\frac{1}{6}+6} x^{\frac{455}{6}+\left(\frac{18}{4}\right)}\cdot y^{\frac{1}{6}+\frac{36}{6}}=x^\frac{910+54}{12}\cdot y^\frac{37}{6}=x^\frac{964}{12}\cdot y^\frac{37}{6}=x^\frac{241}{3}\cdot y^\frac{37}{6}

Ответ:

((x3)10x13)52 y16(x4x24): y6=x2413y376\frac{\left(\left(x^3\right)^{10}\cdot x^\frac{1}{3}\right)^\frac{5}{2}\cdot \ y^\frac{1}{6}}{\left(x^{-4}\cdot\sqrt[4]{x^{-2}}\right): \ y^6}=x^\frac{241}{3}\cdot y^\frac{37}{6}

Пример 2

Вычислить выражение, при x=1x=1

((x22x+1)3)2(x23+x0)(x33+x16x63)(x22x+1)23\frac{\left(\left(x^2-2x+1\right)^3\right)^2\cdot\left(x^\frac{-2}{3}+x^0\right)}{\left(x^\frac{-3}{3}+\frac{x^\frac{1}{6}}{x^\frac{6}{3}}\right)\cdot\sqrt[3]{\left(x^2-2x+1\right)^2}}

Решение

  1. Упростим выражение в числителе, для этого выполним действия в обеих скобках

((x22x+1)3)2(x23+x0)(x33+x16x63)(x22x+1)23=(x22x+1)32(x132+1)(x33+x16x63)(x22x+1)23(x22x+1)6(x16+1)(x33+x16x63)(x22x+1)23\frac{\left(\left(x^2-2x+1\right)^3\right)^2\cdot\left(x^\frac{-2}{3}+x^0\right)}{\left(x^\frac{-3}{3}+\frac{x^\frac{1}{6}}{x^\frac{6}{3}}\right)\cdot\sqrt[3]{\left(x^2-2x+1\right)^2}}=\frac{\left(x^2-2x+1\right)^{3\cdot2}\cdot\left(x^\frac{1}{3\cdot2}+1\right)}{\left(x^\frac{-3}{3}+\frac{x^\frac{1}{6}}{x^\frac{6}{3}}\right)\cdot\sqrt[3]{\left(x^2-2x+1\right)^2}} \frac{\left(x^2-2x+1\right)^6\cdot\left(x^\frac{1}{6}+1\right)}{\left(x^\frac{-3}{3}+\frac{x^\frac{1}{6}}{x^\frac{6}{3}}\right)\cdot\sqrt[3]{\left(x^2-2x+1\right)^2}}

  1. Упростим знаменатель

(x22x+1)6(x16+1)(x1+x1663)(x22x+1)23=(x22x+1)6(x16+1)(1x+x16126)(x22x+1)23(x22x+1)6(x16+1)(1x+x116)(x22x+1)23\frac{\left(x^2-2x+1\right)^6\cdot\left(x^\frac{1}{6}+1\right)}{\left(x^{-1}+x^{\frac{1}{6}-\frac{6}{3}}\right)\cdot\left(x^2-2x+1\right)^\frac{2}{3}}=\frac{\left(x^2-2x+1\right)^6\cdot\left(x^\frac{1}{6}+1\right)}{\left(\frac{1}{x}+x^{\frac{1}{6}-\frac{12}{6}}\right)\cdot\left(x^2-2x+1\right)^\frac{2}{3}} \frac{\left(x^2-2x+1\right)^6\cdot\left(x^\frac{1}{6}+1\right)}{\left(\frac{1}{x}+x^{-\frac{11}{6}}\right)\cdot\left(x^2-2x+1\right)^\frac{2}{3}}

  1. Выражение из числителя перенесем в знаменатель

(x22x+1)6:(x22x+1)23(x16+1):(1x+x116)==(x22x+1)623(x16+1):(1x+1x116)==(x22x+1)163(x16+1):(1x+1x116)\left(x^2-2x+1\right)^6:\left(x^2-2x+1\right)^\frac{2}{3}\cdot\left(x^\frac{1}{6}+1\right):\left(\frac{1}{x}+x^{-\frac{11}{6}}\right)= =\left(x^2-2x+1\right)^{6-\frac{2}{3}}\cdot\left(x^\frac{1}{6}+1\right):\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^\frac{11}{6}}\right)==\left(x^2-2x+1\right)^\frac{16}{3}\cdot\left(x^\frac{1}{6}+1\right):\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^\frac{11}{6}}\right)

  1. Заменяем переменную xx значением по условию x=1x=1

(1221+1)163(116+1):(11+11116)=0163(1+1):(1+1)=01=0\left(1^2-2\cdot1+1\right)^\frac{16}{3}\cdot\left(1^\frac{1}{6}+1\right):\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{1^\frac{11}{6}}\right)=0^\frac{16}{3}\cdot\left(1+1\right):\left(1+1\right)=0\cdot1=0

Ответ: При x=1x=1, выражение
((x22x+1)3)2(x23+x0)(x33+x16x63)(x22x+1)23=0\frac{\left(\left(x^2-2x+1\right)^3\right)^2\cdot\left(x^\frac{-2}{3}+x^0\right)}{\left(x^\frac{-3}{3}+\frac{x^\frac{1}{6}}{x^\frac{6}{3}}\right)\cdot\sqrt[3]{\left(x^2-2x+1\right)^2}}=0

Автор статьи
+0
-0
Комментарии
Нет комментариев

Интересные статьи за сегодня

Кто в России счастлив на работе

Кто в России счастлив на работе?
358 +21
3

Как защищать курсовую работу

О том, как преподнести себя публике и уберечь нервную систему (не только свою), представляя свое научное детище, – читайте в нашей статье.
132 +20
1

Антиплагиат: что это такое

Детальный обзор систем антиплагиата: как с ними работать и как повысить уникальность
3462 +17
0

Образование за рубежом: все ли так идеально?

Студенты за рубежом выступают против платного образования и поддельных дипломов.
20 +14
0
Хотите выполнять заказы?
Стать автором
Хотите заказать работу?
Разместить заказ