Решение примеров со степенями

Содержание

Степень числа (выражения) представляет собой произведение множителей из этого же числа (выражения). Так число хх в степени nn это:

x2=xxx^2=x\cdot x

Выражение хх называют основанием степени, число nn – ее показателем.

Аналогично можно представить любое выражение:

(x+8)3=(x+8)(x+8)(x+8){(x+8)}^3=(x+8)(x+8)(x+8)

4553=455455455{\sqrt[5]{45}}^3=\sqrt[5]{45}\cdot\sqrt[5]{45}\cdot\sqrt[5]{45}

Базовые положения степеней

  1. Число в степени 1 равно самому себе.
  2. Число в степени 0 равно 1.
  3. Отрицательное число в четной степени становится числом положительным.
  4. Отрицательное число в нечетной степени есть число отрицательное.

Свойства степеней и примеры решения

Произведение (частное) чисел с одинаковым основанием, но в разной степени

xaxb=xa+bx^a\cdot x^b=x^{a+b}

xaxb=xab\frac{x^a}{x^b}=x^{a-b}

Например, необходимо упростить выражение

(y+2)5(y+2)1510(y+2)510=(y+2)5+1510510=(y+2)5+1010=(y+2)6{(y+2)}^5\cdot\frac{\left(y+2\right)^\frac{15}{10}}{\left(y+2\right)^\frac{5}{10}}=\left(y+2\right)^{5+\frac{15}{10}-\frac{5}{10}}=\left(y+2\right)^{5+\frac{10}{10}}=\left(y+2\right)^6

Возведение степени числа в степень

(xa)b=xab\left(x^a\right)^b=x^{a\cdot b}

Например, требуется вычислить

(52)12=5212=522=5\left(5^2\right)^\frac{1}{2}=5^{2\cdot\frac{1}{2}}=5^\frac{2}{2}=5

Произведение (частное) чисел в степени

(xy)n=xnyn(xy)n=xnyn{(x\cdot y)}^n=x^n\cdot y^n \left(\frac{x}{y}\right)^n=\frac{x^n}{y^n}

Например, требуется вычислить

(132552)2=(132)252(52)2=1352=1325{(\frac{\sqrt[2]{13}\cdot5}{5^2})}^2=\frac{\left(\sqrt[2]{13}\right)^2\cdot5^2}{\left(5^2\right)^2}=\frac{13}{5^2}=\frac{13}{25}

Частное единицы и числа в степени nn

1xn=xn\frac{1}{x^n}=x^{-n}

Например, необходимо преобразовать выражение

1(18x6)2x0=(18x6)21=(18x6)2\frac{1}{{(18-x^6)}^2}\cdot x^0=\left(18-x^6\right)^{-2}\cdot1=\left(18-x^6\right)^{-2}

Дробная степень выражения

xab=xabx^\frac{a}{b}=\sqrt[b]{x^a}

следствие: y=x n       yn=xy=\sqrt[n]{x\ }\ \ \ \rightarrow\ \ \ \ y^n=x

Например, необходимо упростить выражение

183x2=120y218^{\frac{3x}{2}}=\sqrt[2]{120y}
183x22=120y18^{\frac{3x}{2}\cdot2}=120y
183x=120y{18}^{3x}=120y

Практическое применение свойств степеней

Пример 1

Упростить выражение

((x3)10x13)52y16(x4x24):y6\frac{\left(\left(x^3\right)^{10}\cdot x^\frac{1}{3}\right)^\frac{5}{2}\cdot y^\frac{1}{6}}{\left(x^{-4}\cdot \sqrt[4]{x^{-2}}\right):y^6}

Решение

  1. Упростим выражение в числителе, для этого выполним действия в скобках

x310x13=x30+13=x913x^{3\cdot10}\cdot x^\frac{1}{3}=x^{30+\frac{1}{3}}=x^\frac{91}{3}

Получим,

(x913)52y16(x4x24):y6\frac{\left(x^\frac{91}{3}\right)^\frac{5}{2}\cdot y^\frac{1}{6}}{\left(x^{-4}\cdot\sqrt[4]{x^{-2}}\right):y^6}

Раскроем скобки в числителе

x91352y16(x4x24):y6=x4556y16(x4x24):y6\frac{x^{\frac{91}{3}\cdot\frac{5}{2}}\cdot y^\frac{1}{6}}{\left(x^{-4}\cdot\sqrt[4]{x^{-2}}\right):y^6}=\frac{x^\frac{455}{6}\cdot y^\frac{1}{6}}{\left(x^{-4}\cdot\sqrt[4]{x^{-2}}\right):y^6}

  1. Упростим выражение в знаменателе, для чего преобразуем корень к виду степени

x24=x24\sqrt[4]{x^{-2}}=x^\frac{-2}{4}

Получим,

x4556y16(x4x24):y6=x4556y16(x4+24):y6=x4556y16(x184):y6\frac{x^\frac{455}{6}\cdot y^\frac{1}{6}}{\left(x^{-4}\cdot x^\frac{-2}{4}\right):y^6}=\frac{x^\frac{455}{6}\cdot y^\frac{1}{6}}{\left(x^{-4+\frac{-2}{4}}\right):y^6}=\frac{x^\frac{455}{6}\cdot y^\frac{1}{6}}{\left(x^\frac{-18}{4}\right):y^6}

  1. Перенесем знаменатель в верхнюю часть дроби

x4556y16:x184y6=x4556:x184y16y6=x4556(184)y16+6x4556+(184)y16+366=x910+5412y376=x96412y376=x2413y376x^\frac{455}{6}\cdot y^\frac{1}{6}:x^\frac{-18}{4}\cdot y^6=x^\frac{455}{6}:x^\frac{-18}{4}\cdot y^\frac{1}{6}\cdot y^6=x^{\frac{455}{6}-\left(\frac{-18}{4}\right)}\cdot y^{\frac{1}{6}+6} x^{\frac{455}{6}+\left(\frac{18}{4}\right)}\cdot y^{\frac{1}{6}+\frac{36}{6}}=x^\frac{910+54}{12}\cdot y^\frac{37}{6}=x^\frac{964}{12}\cdot y^\frac{37}{6}=x^\frac{241}{3}\cdot y^\frac{37}{6}

Ответ:

((x3)10x13)52 y16(x4x24): y6=x2413y376\frac{\left(\left(x^3\right)^{10}\cdot x^\frac{1}{3}\right)^\frac{5}{2}\cdot \ y^\frac{1}{6}}{\left(x^{-4}\cdot\sqrt[4]{x^{-2}}\right): \ y^6}=x^\frac{241}{3}\cdot y^\frac{37}{6}

Пример 2

Вычислить выражение, при x=1x=1

((x22x+1)3)2(x23+x0)(x33+x16x63)(x22x+1)23\frac{\left(\left(x^2-2x+1\right)^3\right)^2\cdot\left(x^\frac{-2}{3}+x^0\right)}{\left(x^\frac{-3}{3}+\frac{x^\frac{1}{6}}{x^\frac{6}{3}}\right)\cdot\sqrt[3]{\left(x^2-2x+1\right)^2}}

Решение

  1. Упростим выражение в числителе, для этого выполним действия в обеих скобках

((x22x+1)3)2(x23+x0)(x33+x16x63)(x22x+1)23=(x22x+1)32(x132+1)(x33+x16x63)(x22x+1)23(x22x+1)6(x16+1)(x33+x16x63)(x22x+1)23\frac{\left(\left(x^2-2x+1\right)^3\right)^2\cdot\left(x^\frac{-2}{3}+x^0\right)}{\left(x^\frac{-3}{3}+\frac{x^\frac{1}{6}}{x^\frac{6}{3}}\right)\cdot\sqrt[3]{\left(x^2-2x+1\right)^2}}=\frac{\left(x^2-2x+1\right)^{3\cdot2}\cdot\left(x^\frac{1}{3\cdot2}+1\right)}{\left(x^\frac{-3}{3}+\frac{x^\frac{1}{6}}{x^\frac{6}{3}}\right)\cdot\sqrt[3]{\left(x^2-2x+1\right)^2}} \frac{\left(x^2-2x+1\right)^6\cdot\left(x^\frac{1}{6}+1\right)}{\left(x^\frac{-3}{3}+\frac{x^\frac{1}{6}}{x^\frac{6}{3}}\right)\cdot\sqrt[3]{\left(x^2-2x+1\right)^2}}

  1. Упростим знаменатель

(x22x+1)6(x16+1)(x1+x1663)(x22x+1)23=(x22x+1)6(x16+1)(1x+x16126)(x22x+1)23(x22x+1)6(x16+1)(1x+x116)(x22x+1)23\frac{\left(x^2-2x+1\right)^6\cdot\left(x^\frac{1}{6}+1\right)}{\left(x^{-1}+x^{\frac{1}{6}-\frac{6}{3}}\right)\cdot\left(x^2-2x+1\right)^\frac{2}{3}}=\frac{\left(x^2-2x+1\right)^6\cdot\left(x^\frac{1}{6}+1\right)}{\left(\frac{1}{x}+x^{\frac{1}{6}-\frac{12}{6}}\right)\cdot\left(x^2-2x+1\right)^\frac{2}{3}} \frac{\left(x^2-2x+1\right)^6\cdot\left(x^\frac{1}{6}+1\right)}{\left(\frac{1}{x}+x^{-\frac{11}{6}}\right)\cdot\left(x^2-2x+1\right)^\frac{2}{3}}

  1. Выражение из числителя перенесем в знаменатель

(x22x+1)6:(x22x+1)23(x16+1):(1x+x116)==(x22x+1)623(x16+1):(1x+1x116)==(x22x+1)163(x16+1):(1x+1x116)\left(x^2-2x+1\right)^6:\left(x^2-2x+1\right)^\frac{2}{3}\cdot\left(x^\frac{1}{6}+1\right):\left(\frac{1}{x}+x^{-\frac{11}{6}}\right)= =\left(x^2-2x+1\right)^{6-\frac{2}{3}}\cdot\left(x^\frac{1}{6}+1\right):\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^\frac{11}{6}}\right)==\left(x^2-2x+1\right)^\frac{16}{3}\cdot\left(x^\frac{1}{6}+1\right):\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^\frac{11}{6}}\right)

  1. Заменяем переменную xx значением по условию x=1x=1

(1221+1)163(116+1):(11+11116)=0163(1+1):(1+1)=01=0\left(1^2-2\cdot1+1\right)^\frac{16}{3}\cdot\left(1^\frac{1}{6}+1\right):\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{1^\frac{11}{6}}\right)=0^\frac{16}{3}\cdot\left(1+1\right):\left(1+1\right)=0\cdot1=0

Ответ: При x=1x=1, выражение
((x22x+1)3)2(x23+x0)(x33+x16x63)(x22x+1)23=0\frac{\left(\left(x^2-2x+1\right)^3\right)^2\cdot\left(x^\frac{-2}{3}+x^0\right)}{\left(x^\frac{-3}{3}+\frac{x^\frac{1}{6}}{x^\frac{6}{3}}\right)\cdot\sqrt[3]{\left(x^2-2x+1\right)^2}}=0

Автор статьи
+5
-0
Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат

Интересные статьи за сегодня

Как к ним подготовиться и что отвечать.
3334 +151
3
Делимся основными ошибками, которые из года в год допускают старшеклассники.
1376 +149
0
Признаки хорошего колледжа.
761 +107
0
Автор
Хотите выполнять заказы? Стать автором
Заказчик
Хотите заказать работу? Разместить заказ
Доверьте свою работу экспертам
Разместите заказ
Наша система отправит ваш заказ на оценку 33 747 авторам
Первые отклики появятся уже в течение 10 минут
Напишем уникальную работу
Скидка 10%