148
31 Авг 2018 в 13:15 31.08.2018 в 13:15

Примеры решения уравнений

Содержание

Уравнение представляет собой многочлен переменных (неизвестных величин) вида:

f(x1,x2,,xn)=0f\left(x_1,x_2,\ldots,x_n\right)=0

Степень уравнения определяется степенью входящего в него неизвестного.

Линейные уравнения

Линейные уравнения – уравнения типа ax=bax=b.

Например, 103x+18=4103x+18=4.

Для решения таких уравнений необходимо перенести неизвестные в одну сторону, числовые значения в другую, затем привести подобные и выразить неизвестное.

Пример 1

Решить уравнение 4x8=2+3x+44x – 8 = 2 + 3x + 4

Решение

  1. Перенесем неизвестные в левую часть, числа – в правую (с противоположными знаками):

4x3x=2+4+84x – 3x = 2 + 4 + 8

  1. Приведем подобные (сложим и вычтем неизвестные и числа):

x=14x = 14

Ответ: x=14x = 14

Противоположный знак – знак обратный исходному при переноси числа или выражения через знак =. Для знака плюс, противоположным будет знак «–» и наоборот, для частного произведение и соответственно для произведения - частное.

Пример 2

Выразить xx в уравнении 18x+2x4=10x+1618x + 2x – 4 = 10x + 16

Решение

  1. Перенесем неизвестные в левую часть, числа – в правую

18x+2x10x=16+418x + 2x – 10x = 16 + 4

  1. Приведем подобные

10x=2010*x = 20

x=20/10=2x = 20/10 = 2

Ответ: x=2x = 2.

Квадратные уравнения

Квадратные уравнения – уравнения вида ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0. Наиболее универсальной формулой решения таких уравнений является следующая:

x1.2=bb24ac2ax_{1.2}=-b\mp\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

где a,b,ca,b,c – коэффициенты уравнения.

Пример 1

Найти корни уравнения x2+2x1=93хx^2 + 2x – 1 = –9 – 3х

Решение

  1. Приведем уравнение к виду квадратного
    x2+2x1+9+3х=0x^2 + 2x – 1 + 9 + 3х = 0

1x2+5x+8=01x^2 + 5x + 8 = 0

  1. Найдем корни

x1.2=55241821=5721x_{1.2}=-5\mp\frac{\sqrt{5^2-4\ast1\ast8}}{2\ast1}=-5\mp\frac{\sqrt{-7}}{2\ast1}

Поскольку подкоренное выражение отрицательно, уравнение корней не имеет.

Пример 2

Решить уравнение 2x2+3x2=02x^2 + 3x – 2 = 0

Решение

x1.2=33242(2)22=39+164=354x1=3+54=4,25x2=354=1,75x_{1.2}=-3\mp\frac{\sqrt{3^2-4\ast2\ast\left(-2\right)}}{2\ast2}=-3\mp\frac{\sqrt{9+16}}{4}=3\mp\frac{5}{4} x_1=3+\frac{5}{4}=4,25 x_2=3-\frac{5}{4}=1,75

Ответ: уравнение имеет 2 корня: 4,25 и 1,75.

Кубические уравнения

Кубические уравнения – уравнения вида ax3+b=0ax^3 + b = 0 или ax3+сx2+dx=0ax^3 + сx^2 + dx = 0.

Для решения таких уравнений xx выносится за скобку, записывается корень х=0х = 0, решается оставшееся в скобках квадратное уравнение.

Пример 1

Сколько корней имеет уравнение 3x3+2x21x=03x^3 + 2x^2 – 1x = 0

Решение

  1. Вынесем xx

x(3x2+2x1)=0x(3x^2 + 2x – 1) = 0

Первый корень x=0x = 0

  1. Решаем уравнение 3x2+2x1=03x^2 + 2x – 1 = 0

x2.3=24243(1)23=216+126=2286=2276x2=2+73x3=273x_{2.3}=-2\mp\frac{\sqrt{4^2-4\ast3\ast\left(-1\right)}}{2\ast3}=-2\mp\frac{\sqrt{16+12}}{6}=-2\mp\frac{\sqrt{28}}{6}=-2\mp\frac{2\sqrt7}{6} x_2=-2+\frac{\sqrt7}{3} x_3=-2-\frac{\sqrt7}{3}

Ответ: 3 корня.

Пример 2

Решить уравнение 2x316=02x^3 - 16 = 0

Решение

  1. Упростим уравнение делением на общий делитель 2
    2x3 16 2=x38x38=0x3=8x=83=2\frac{2x^3-\ 16\ }{2}=x^3-8 x^3-8=0 x^3=8 x=\sqrt[3]{8}=2

Ответ: x=2x = 2

Существуют и другие виды уравнений (дробно-рациональные, трансцендентные), однако их решение сводится к упрощению и приведению к линейному, квадратному или кубическому виду.

Например, дробно-рациональное уравнение вида

x2+2x+1x+1=0\frac{x^2+2x+1}{x+1}=0

решается путем сокращения дроби и преобразованию к линейному виду

(x+1)(x+1)x+1=0\frac{\left(x+1\right)\ast\left(x+1\right)}{x+1}=0

x+1=0x+1=0
х=1х = -1

Трансцендентные уравнения (логарифмические, показательные, тригонометрические) решаются заменой сложных выражений знакомым нам х, его нахождением и обратной заменой на найденное значение.

Автор статьи
+0
-0
Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат

Интересные статьи за сегодня

Где лучше всего студентам живется?
5719 +73
1
Какие факторы влияют на трудоустройство выпускников?
1962 +69
1
Все секреты SAT и ACT.
273 +61
0
Форму набора каждый выбирает сам – по возможностям или по желанию. Спешим обрадовать: у коммерции тоже есть плюсы.
5870 +59
0
Рассказываем все о дистанционном обучении.
807 +33
6
Автор
Хотите выполнять заказы? Стать автором
Заказчик
Хотите заказать работу? Разместить заказ
Доверьте свою работу экспертам
Разместите заказ
Наша система отправит ваш заказ на оценку 28 695 авторам
Первые отклики появятся уже в течение 10 минут