Нахождение обратной матрицы методом алгебраических дополнений

Задайте размер матрицы:

Обратной матрицей является матрица A1A^{-1}, при умножении на исходную матрицу AA мы получаем единичную матрицу EE.

AA1=A1A=EA · A^{-1} = A^{-1} · A = E

Онлайн-калькулятор

Алгоритм нахождения обратной матрицы с использованием алгебраических дополнений:

  1. Найти определитель (определитель) матрицы AA. Если определитель 0≠ 0, то обратная матрица существует. Если определитель =0= 0, то обратной матрицы не существует.

  2. Найти матрицу миноров ММ.

  3. Из матрицы MM найдите матрицу алгебраических дополнений CC ^*.

  4. Транспонировать матрицу (поменять местами столбцы) CC ^*, получить матрицу CTC ^{* T}.

  5. Найти обратную матрицу по формуле.

A1=CTdetAA^{-1} = \frac {C^{*T}}{detA}

Рассмотрим данный метод на конкретных примерах.

Пример 1

Дано:

A=(2543)A= \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}

Решение:

Найдём матрицу алгебраических дополнений.

Вычисляем минор M11M_{11} и алгебраическое дополнение A11A_{11}

M11=3M_{11} = 3

A11=(1)03=3A_{11} = (-1)^{0} \cdot 3 = 3

Вычисляем минор M12M_{12} и алгебраическое дополнение A12A_{12}

M12=4M_{12} = 4

A12=(1)14=(4)A_{12} = (-1)^{1} \cdot 4 = \left(-4\right)

Вычисляем минор M21M_{21} и алгебраическое дополнение A21A_{21}

M21=5M_{21} = 5

A21=(1)15=(5)A_{21} = (-1)^{1} \cdot 5 = \left(-5\right)

Вычисляем минор M22M_{22} и алгебраическое дополнение A22A_{22}

M22=2M_{22} = 2

A22=(1)22=2A_{22} = (-1)^{2} \cdot 2 = 2

(3452)\begin{pmatrix} 3 & -4 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}

Найдём транспонированную матрицу относительно матрицы алгебраических дополнений:

(3542)\begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -4 & 2 \end{pmatrix}

Разделим полученную матрицу на её детерминант:

114×(3542)=(3145142717)-{1 \over 14} \times \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -4 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -{3 \over 14} & {5 \over 14} \\ {2 \over 7} & -{1 \over 7} \end{pmatrix}

Ответ:

A1=(3145142717)A^{-1} = \begin{pmatrix} -{3 \over 14} & {5 \over 14} \\ {2 \over 7} & -{1 \over 7} \end{pmatrix}

Рассмотрим следующий пример.

Пример 2

Дано:

A=(541421056781)A= \begin{pmatrix} 5 & 4 & 1 & 4 \\ 2 & 1 & 0 & 5 \\ 6 & 7 & 8 & 1 \end{pmatrix}

Решение:

Найдём матрицу алгебраических дополнений.

Вычисляем минор M11M_{11} и алгебраическое дополнение A11A_{11}

M11=8M_{11} = 8

A11=(1)08=8A_{11} = (-1)^{0} \cdot 8 = 8

Вычисляем минор M12M_{12} и алгебраическое дополнение A12A_{12}

M12=16M_{12} = 16

A12=(1)116=(16)A_{12} = (-1)^{1} \cdot 16 = \left(-16\right)

Вычисляем минор M13M_{13} и алгебраическое дополнение A13A_{13}

M13=8M_{13} = 8

$A_{13} = (-1)^{2} \cdot 8 = 8$

Вычисляем минор M21M_{21} и алгебраическое дополнение A21A_{21}

M21=25M_{21} = 25

A21=(1)125=(25)A_{21} = (-1)^{1} \cdot 25 = \left(-25\right)

Вычисляем минор M22M_{22} и алгебраическое дополнение A22A_{22}

M22=34M_{22} = 34

A22=(1)234=34A_{22} = (-1)^{2} \cdot 34 = 34

Вычисляем минор M23M_{23} и алгебраическое дополнение A23A_{23}

M23=11M_{23} = 11

A23=(1)311=(11)A_{23} = (-1)^{3} \cdot 11 = \left(-11\right)

Вычисляем минор M31M_{31} и алгебраическое дополнение A31A_{31}

M31=(1)M_{31} = \left(-1\right)

A31=(1)2(1)=(1)A_{31} = (-1)^{2} \cdot \left(-1\right) = \left(-1\right)

Вычисляем минор M32M_{32} и алгебраическое дополнение A32A_{32}

M32=(2)M_{32} = \left(-2\right)

A32=(1)3(2)=2A_{32} = (-1)^{3} \cdot \left(-2\right) = 2

Вычисляем минор M33M_{33} и алгебраическое дополнение A33A_{33}

M33=(3)M_{33} = \left(-3\right)

A33=(1)4(3)=(3)A_{33} = (-1)^{4} \cdot \left(-3\right) = \left(-3\right)

(8168253411123)\begin{pmatrix} 8 & -16 & 8 \\ -25 & 34 & -11 \\ -1 & 2 & -3 \end{pmatrix}

Найдём транспонированную матрицу относительно матрицы алгебраических дополнений:

(8251163428113)\begin{pmatrix} 8 & -25 & -1 \\ -16 & 34 & 2 \\ 8 & -11 & -3 \end{pmatrix}

Разделим полученную матрицу на её детерминант:

0.0625×(8251163428113)=(0.51.56250.062512.1250.1250.50.68750.1875)Ответ:A1=(0.51.56250.062512.1250.1250.50.68750.1875)-0.0625 \times \begin{pmatrix} 8 & -25 & -1 \\ -16 & 34 & 2 \\ 8 & -11 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -0.5 & 1.5625 & 0.0625 \\ 1 & -2.125 & -0.125 \\ -0.5 & 0.6875 & 0.1875 \end{pmatrix} Ответ: A^{-1} = \begin{pmatrix} -0.5 & 1.5625 & 0.0625 \\ 1 & -2.125 & -0.125 \\ -0.5 & 0.6875 & 0.1875 \end{pmatrix}

Автор статьи
3 Дек 2019 в 14:26
227
+4
-0
Комментарии
Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Название заказа не должно быть пустым
Введите email
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат

Интересные статьи за сегодня

Напишем уникальную работу
Скидка 10%
Поможем написать учебную работу
Название заказа не должно быть пустым
Введите email
Доверьте свою работу экспертам
Разместите заказ
Наша система отправит ваш заказ на оценку 34 793 авторам
Первые отклики появятся уже в течение 10 минут
Показать ещё
Показать ещё
Отвечай на вопросы, зарабатывай баллы и трать их на призы.
Подробнее
Прямой эфир