Понижение порядка матрицы

Ранее мы рассматривали различные методы вычисления определителей высших порядков, одним из которых является метод понижения порядка определителя. Остановимся на нем более подробно.
Перед изучением данной темы рекомендуется повторить свойства определителей.

Необходимо помнить, что определитель 1-го порядка — это число.

Вычисление определителя по данному методу сводится к следующим действиям:

  1. В некоторой строке (или столбце) при помощи свойств определителей делаем все элементы кроме одного равными нулю.
  2. Раскладываем определитель по элементам этой строки (или столбца). В результате чего получаем определитель меньшего порядка.
  3. В случае если порядок полученного определителя больше единицы, то действия №1 и №2 повторяем. В противном случае вычисления заканчиваются.

Рассмотрим примеры вычисления определителя методом понижения порядка.

Пример 1

Найти определитель 2111131132231111\begin{vmatrix}2&-1&1&-1\\1&3&-1&-1\\3&-2&2&-3\\1&1&-1&1\end{vmatrix}.

Прибавим к строке №1 строку №4, умноженную на -2:

2111131132231111=0333131132231111\begin{vmatrix}2&-1&1&-1\\1&3&-1&-1\\3&-2&2&-3\\1&1&-1&1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}0&-3&3&-3\\1&3&-1&-1\\3&-2&2&-3\\1&1&-1&1\end{vmatrix}.

Прибавим к строке №2 строку №4, умноженную на -1:

0333131132231111=0333020232231111\begin{vmatrix}0&-3&3&-3\\1&3&-1&-1\\3&-2&2&-3\\1&1&-1&1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}0&-3&3&-3\\0&2&0&-2\\3&-2&2&-3\\1&1&-1&1\end{vmatrix}.

Прибавим к строке №3 строку №4, умноженную на -3:

0333020232231111=0333020205561111\begin{vmatrix}0&-3&3&-3\\0&2&0&-2\\3&-2&2&-3\\1&1&-1&1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}0&-3&3&-3\\0&2&0&-2\\0&-5&5&-6\\1&1&-1&1\end{vmatrix}.

Разложим определитель по столбцу №1:

0333020205561111=1(1)4+1333202556=1(1)5333202556=333202556\begin{vmatrix}0&-3&3&-3\\0&2&0&-2\\0&-5&5&-6\\1&1&-1&1\end{vmatrix}=1\cdot(-1)^{4+1}\begin{vmatrix}-3&3&-3\\2&0&-2\\-5&5&-6\end{vmatrix}=1\cdot(-1)^{5}\begin{vmatrix}-3&3&-3\\2&0&-2\\-5&5&-6\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}-3&3&-3\\2&0&-2\\-5&5&-6\end{vmatrix}.

Вынесем из строки №1 множитель 3:

333202556=3111202556-\begin{vmatrix}-3&3&-3\\2&0&-2\\-5&5&-6\end{vmatrix}=-3\begin{vmatrix}-1&1&-1\\2&0&-2\\-5&5&-6\end{vmatrix}.

Вынесем из строки №2 множитель 2:

3111202556=32111101556=6111101556-3\begin{vmatrix}-1&1&-1\\2&0&-2\\-5&5&-6\end{vmatrix}=-3\cdot2\begin{vmatrix}-1&1&-1\\1&0&-1\\-5&5&-6\end{vmatrix}=-6\begin{vmatrix}-1&1&-1\\1&0&-1\\-5&5&-6\end{vmatrix}.

Прибавим к строке №1 строку №2, умноженную на 1:

6111101556=6012101556-6\begin{vmatrix}-1&1&-1\\1&0&-1\\-5&5&-6\end{vmatrix}=-6\begin{vmatrix}0&1&-2\\1&0&-1\\-5&5&-6\end{vmatrix}.

Прибавим к строке №3 строку №2, умноженную на 5:

6012101556=60121010511-6\begin{vmatrix}0&1&-2\\1&0&-1\\-5&5&-6\end{vmatrix}=-6\begin{vmatrix}0&1&-2\\1&0&-1\\0&5&-11\end{vmatrix}.

Разложим определитель по столбцу №1:

60121010511=61(1)2+112511=61(1)312511=612511-6\begin{vmatrix}0&1&-2\\1&0&-1\\0&5&-11\end{vmatrix}=-6\cdot1\cdot(-1)^{2+1}\begin{vmatrix}1&-2\\5&-11\end{vmatrix}=-6\cdot1\cdot (-1)^{3}\begin{vmatrix}1&-2\\5&-11\end{vmatrix}=6\begin{vmatrix}1&-2\\5&-11\end{vmatrix}.

Прибавим к строке №2 строку №1, умноженную на -5:

612511=612016\begin{vmatrix}1&-2\\5&-11\end{vmatrix}=6\begin{vmatrix}1&-2\\0&-1\end{vmatrix}.

Разложим определитель по столбцу №1:

61201=61(1)1+1(1)=6(1)2(1)=66\begin{vmatrix}1&-2\\0&-1\end{vmatrix}=6\cdot1\cdot(-1)^{1+1}\cdot(-1)=6\cdot(-1)^{2}\cdot(-1)=-6.

Пример 2

Найти определитель

5722216004050202020646115554101146302030\begin{vmatrix}-5&-7&-2&2&-2&16\\0&0&4&0&-5&0\\2&0&-2&0&2&0\\6&4&6&-1&15&-5\\5&-4&10&1&14&6\\3&0&-2&0&3&0\end{vmatrix}.

Прибавим к строке №1 строку №5, умноженную на -2:

5722216004050202020646115554101146302030=151220304004050202020646115554101146302030\begin{vmatrix}-5&-7&-2&2&-2&16\\0&0&4&0&-5&0\\2&0&-2&0&2&0\\6&4&6&-1&15&-5\\5&-4&10&1&14&6\\3&0&-2&0&3&0\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}-15&1&-22&0&-30&4\\0&0&4&0&-5&0\\2&0&-2&0&2&0\\6&4&6&-1&15&-5\\5&-4&10&1&14&6\\3&0&-2&0&3&0\end{vmatrix}.

Прибавим к строке №5 строку №4, умноженную на 1:

151220304004050202020646115554101146302030=1512203040040502020206461155110160291302030\begin{vmatrix}-15&1&-22&0&-30&4\\0&0&4&0&-5&0\\2&0&-2&0&2&0\\6&4&6&-1&15&-5\\5&-4&10&1&14&6\\3&0&-2&0&3&0\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}-15&1&-22&0&-30&4\\0&0&4&0&-5&0\\2&0&-2&0&2&0\\6&4&6&-1&15&-5\\11&0&16&0&29&1\\3&0&-2&0&3&0\end{vmatrix}.

Разложить определитель по столбцу №4:

1512203040040502020206461155110160291302030=(1)(1)4+41512230400450202201101629130230=(1)(1)81512230400450202201101629130230=1512230400450202201101629130230\begin{vmatrix}-15&1&-22&0&-30&4\\0&0&4&0&-5&0\\2&0&-2&0&2&0\\6&4&6&-1&15&-5\\11&0&16&0&29&1\\3&0&-2&0&3&0\end{vmatrix}=(-1)\cdot(-1)^{4+4}\begin{vmatrix}-15&1&-22&-30&4\\0&0&4&-5&0\\2&0&-2&2&0\\11&0&16&29&1\\3&0&-2&3&0\end{vmatrix}=(-1)\cdot(-1)^{8}\begin{vmatrix}-15&1&-22&-30&4\\0&0&4&-5&0\\2&0&-2&2&0\\11&0&16&29&1\\3&0&-2&3&0\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}-15&1&-22&-30&4\\0&0&4&-5&0\\2&0&-2&2&0\\11&0&16&29&1\\3&0&-2&3&0\end{vmatrix}.

Разложим определитель по столбцу №2:

1512230400450202201101629130230=11(1)1+20450222011162913230=11(1)30450222011162913230=0450222011162913230-\begin{vmatrix}-15&1&-22&-30&4\\0&0&4&-5&0\\2&0&-2&2&0\\11&0&16&29&1\\3&0&-2&3&0\end{vmatrix}=-1\cdot1\cdot(-1)^{1+2}\begin{vmatrix}0&4&-5&0\\2&-2&2&0\\11&16&29&1\\3&-2&3&0\end{vmatrix}=-1\cdot1\cdot(-1)^{3}\begin{vmatrix}0&4&-5&0\\2&-2&2&0\\11&16&29&1\\3&-2&3&0\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}0&4&-5&0\\2&-2&2&0\\11&16&29&1\\3&-2&3&0\end{vmatrix}.

Разложим определитель по столбцу №4:

0450222011162913230=1(1)3+4045222323=1(1)7045222323=045222323\begin{vmatrix}0&4&-5&0\\2&-2&2&0\\11&16&29&1\\3&-2&3&0\end{vmatrix}=1\cdot(-1)^{3+4}\begin{vmatrix}0&4&-5\\2&-2&2\\3&-2&3\end{vmatrix}=1\cdot(-1)^{7}\begin{vmatrix}0&4&-5\\2&-2&2\\3&-2&3\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}0&4&-5\\2&-2&2\\3&-2&3\end{vmatrix}.

Вынесем из строки №2 множитель 2:

045222323=2045111323-\begin{vmatrix}0&4&-5\\2&-2&2\\3&-2&3\end{vmatrix}=-2\begin{vmatrix}0&4&-5\\1&-1&1\\3&-2&3\end{vmatrix}.

Прибавим к строке №3 строку №2, умноженную на -3:

2045111323=2045111010-2\begin{vmatrix}0&4&-5\\1&-1&1\\3&-2&3\end{vmatrix}=-2\begin{vmatrix}0&4&-5\\1&-1&1\\0&1&0\end{vmatrix}.

Разложим определитель по столбцу №1:

2045111010=21(1)2+14510=21(1)34510=24510-2\begin{vmatrix}0&4&-5\\1&-1&1\\0&1&0\end{vmatrix}=-2\cdot1\cdot(-1)^{2+1}\begin{vmatrix}4&-5\\1&0\end{vmatrix}=-2\cdot1\cdot(-1)^{3}\begin{vmatrix}4&-5\\1&0\end{vmatrix}=2\begin{vmatrix}4&-5\\1&0\end{vmatrix}.

Разложим определитель по строке №2:

24510=21(1)2+1(5)=21(1)3(5)=2(1)(5)=102\begin{vmatrix}4&-5\\1&0\end{vmatrix}=2\cdot1\cdot(-1)^{2+1}\cdot(-5)=2\cdot1\cdot(-1)^{3}\cdot(-5)=2\cdot(-1)\cdot(-5)=10.

Данный метод может применяться для вычисления определителей любого порядка.

Автор статьи
+7
-0
Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат

Интересные статьи за сегодня

Делимся основными ошибками, которые из года в год допускают старшеклассники.
1581 +148
0
Как к ним подготовиться и что отвечать.
3513 +142
3
Подскользнуться или поскользнуться, едь или езжай?
1765 +72
0
Автор
Хотите выполнять заказы? Стать автором
Заказчик
Хотите заказать работу? Разместить заказ
Доверьте свою работу экспертам
Разместите заказ
Наша система отправит ваш заказ на оценку 33 784 авторам
Первые отклики появятся уже в течение 10 минут
Напишем уникальную работу
Скидка 10%