293
3 Авг 2018 в 12:10 03.08.2018 в 12:10

Непрерывность функций

Содержание

Непрерывность функций

Говорят, что функция f:(a;b)RXf\colon (a;b) \to\mathbb{R}\,\,\phantom{X} непрерывна в точке x0(a;b)x_0\in(a;b), если для любого числа ε>0\varepsilon>0 существует такое число δ(ε)>0\delta(\varepsilon)>0, что из δ\delta-близости xx и x0x_0 следует ε\varepsilon-близость f(x)f(x) и f(x0)f(x_0)

xx0<δf(x)f(x0)<ε.|x-x_0|<\delta\quad\Rightarrow \quad|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon.(*)

Сравнивая данное определение с определением предела функции в точке, мы видим, что непрерывность функции ff в точке x0x_0 равносильна тому, что

limxx0f(x)=f(x0)\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).

Если функция непрерывна в каждой точке некоторого множества VRV\subset\mathbb{R}, то говорят, что она непрерывна на данном множестве. Класс функций, непрерывных на данном множестве, обозначается C(V)C(V).

Элементарные функции

Все элементарные функции

  • степенная xax^a

  • показательная bxb^x и обратная к ней logbx\log_b x, где b>0b>0

  • тригонометрические и обратные тригонометрические

непрерывны, каждая на своей области определения.

Свойства непрерывных функций

Данные свойства легко следуют из свойств пределов функций в точке

  1. Постоянная функция непрерывна

Если функции f(x)f(x) и g(x)g(x) непрерывны на некотором множестве VV, то для любых чисел α,βR\alpha,\beta\in\mathbb{R}

  1. функция αf(x)\alpha f(x) непрерывна;

  2. функция αf(x)+βg(x)\alpha f(x)+\beta g(x) непрерывна;

  3. функция f(x)g(x)f(x)g(x) непрерывна.

  4. Если к тому же выполнено условие g(x)0g(x)\ne 0 на VV, то функция
    f(x)g(x)\frac{f(x)}{g(x)} непрерывна.

  5. Если функция FF непрерывна на множестве f(V)f(V), то композиция
    F(f(x))F\Bigl(f(x)\Bigr) непрерывна.

Автор статьи
+0
-0
Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат

Интересные статьи за сегодня

В жизни каждого студента случается момент, когда он задумывается, «где я повернул не туда?».
1137 +114
0
Пришла пора получше изучить свои права как студента.
664 +100
0
Форму набора каждый выбирает сам – по возможностям или по желанию. Спешим обрадовать: у коммерции тоже есть плюсы.
2792 +52
0
Сегодня вы студент, а завтра уже нет. Как вернуться к учебе после отчисления?
4803 +37
0
Где лучше всего студентам живется?
3508 +35
1
Хотите выполнять заказы?
Стать автором
Хотите заказать работу?
Разместить заказ
Доверьте свою работу экспертам
Разместите заказ
Наша система отправит ваш заказ на оценку 30 715 авторам
Первые отклики появятся уже в течение 10 минут