Непрерывность функций

Содержание

Непрерывность функций

Говорят, что функция f:(a;b)RXf\colon (a;b) \to\mathbb{R}\,\,\phantom{X} непрерывна в точке x0(a;b)x_0\in(a;b), если для любого числа ε>0\varepsilon>0 существует такое число δ(ε)>0\delta(\varepsilon)>0, что из δ\delta-близости xx и x0x_0 следует ε\varepsilon-близость f(x)f(x) и f(x0)f(x_0)

xx0<δf(x)f(x0)<ε.|x-x_0|<\delta\quad\Rightarrow \quad|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon.(*)

Сравнивая данное определение с определением предела функции в точке, мы видим, что непрерывность функции ff в точке x0x_0 равносильна тому, что

limxx0f(x)=f(x0)\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).

Если функция непрерывна в каждой точке некоторого множества VRV\subset\mathbb{R}, то говорят, что она непрерывна на данном множестве. Класс функций, непрерывных на данном множестве, обозначается C(V)C(V).

Элементарные функции

Все элементарные функции

  • степенная xax^a

  • показательная bxb^x и обратная к ней logbx\log_b x, где b>0b>0

  • тригонометрические и обратные тригонометрические

непрерывны, каждая на своей области определения.

Свойства непрерывных функций

Данные свойства легко следуют из свойств пределов функций в точке

  1. Постоянная функция непрерывна

Если функции f(x)f(x) и g(x)g(x) непрерывны на некотором множестве VV, то для любых чисел α,βR\alpha,\beta\in\mathbb{R}

  1. функция αf(x)\alpha f(x) непрерывна;

  2. функция αf(x)+βg(x)\alpha f(x)+\beta g(x) непрерывна;

  3. функция f(x)g(x)f(x)g(x) непрерывна.

  4. Если к тому же выполнено условие g(x)0g(x)\ne 0 на VV, то функция
    f(x)g(x)\frac{f(x)}{g(x)} непрерывна.

  5. Если функция FF непрерывна на множестве f(V)f(V), то композиция
    F(f(x))F\Bigl(f(x)\Bigr) непрерывна.

Автор статьи
+3
-0
Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат

Интересные статьи за сегодня

Делимся основными ошибками, которые из года в год допускают старшеклассники.
1373 +155
0
Как к ним подготовиться и что отвечать.
3330 +153
3
Признаки хорошего колледжа.
757 +112
0
Автор
Хотите выполнять заказы? Стать автором
Заказчик
Хотите заказать работу? Разместить заказ
Доверьте свою работу экспертам
Разместите заказ
Наша система отправит ваш заказ на оценку 33 747 авторам
Первые отклики появятся уже в течение 10 минут
Напишем уникальную работу
Скидка 10%