197
3 Авг в 12:0903.08.2018 в 12:09

Предел функции в точке. Свойства пределов

Содержание

Предел функции в точке. Свойства пределов

Говорят, что число AA является пределом функции f:(a;b)Rf\colon (a;b) \to\mathbb{R} в точке x0(a;b)x_0\in (a;b), если для любого числа ε>0\varepsilon>0 существует такое число δ(ε)>0\delta(\varepsilon)>0, что из δ\delta-близости xx и x0x_0 следует ε\varepsilon-близость f(x)f(x) и AA

xx0<δf(x)A<ε.|x-x_0|<\delta\quad\Rightarrow \quad|f(x)-A|<\varepsilon.

Число AA является пределом функции f:(a;+)Rf\colon (a;+\infty) \to\mathbb{R} (соотв. f:(;b)Rf\colon (-\infty;b) \to\mathbb{R})
на ++\infty (соотв. на -\infty), если для любого числа ε>0\varepsilon>0 существует такое число R(ε)>0R(\varepsilon)>0, что

x>Rf(x)A<ε.|x|>R\quad\Rightarrow \quad|f(x)-A|<\varepsilon.

Если AA – предел функции в точке x0x_0 (возможно, x0=±x_0=\pm\infty), то используется обозначение

limxx0f(x)=A,илиf(x)Aприxx0.\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A,\quad\text{или}\quad f(x)\to A\,\,\text{при}\,\,x\to x_0.

Заметим, что определение предела в точке x0x_0 не зависит от значения f(x0)f(x_0). То есть функция может быть не определенной в данной точке, как видно из следующего примера.

Пример 1 (первый замечательный предел)

Покажем, что

limx0sinxx=1.\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.

Действительно, на рисунке
предел функции в точке.png

видно, что площадь сектора AODAOD меньше площади треугольника AOCAOC. Учитывая, что OA=1OA=1, это неравенство можно записать как

12AD<12AC. \frac{1}{2}\overset\frown{AD}<\frac{1}{2}AC.

Таким образом, для всех x(0;π2)x\in\left(0;\frac{\pi}{2}\right) имеет место двойное неравенство

sinx<x<tgx. \sin x<x<\operatorname{tg} x.

Отсюда легко следует, что

xcosx<sinx<x x\cos x<\sin x <x

и

cosx<sinxx<1. \cos x<\frac{\sin x}{x}<1.

В силу четности функций sinxx\frac{\sin x}{x} и cosx\cos x, данное неравенство имеет место для всех ненулевых x(π2;π2)x\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right).

Для любого ε>0\varepsilon>0 из определения предела можно взять δ=2ε\delta=\sqrt{2\varepsilon}. Для такого δ(ε)\delta(\varepsilon) условие (*) выполнено:

x<2εsinxx1<1cosx=2sin2x2<x22<ε.|x|<\sqrt{2\varepsilon}\Rightarrow\left|\frac{\sin x}{x}-1\right|<|1-\cos x|=2\sin^2\frac{x}{2}<\frac{x^2}{2}<\varepsilon.

Таким образом,

limx0sinxx=1.\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.

Свойства пределов

  1. Если функция f(x)f(x) постоянна и равна cc, то limxx0f(x)=c\lim\limits_{x\to x_0} f(x)=c для любого x0x_0

Если существуют пределы limxx0f(x)\lim\limits_{x\to x_0}f(x) и
limxx0g(x)\lim\limits_{x\to x_0}g(x), то для любых чисел α,βR\alpha,\beta\in\mathbb{R}

  1. limxx0αf(x)=αlimxx0f(x)\lim\limits_{x\to x_0}\alpha f(x)=\alpha\lim\limits_{x\to x_0} f(x)

  2. limxx0(αf(x)+βg(x))=αlimxx0f(x)+βlimxx0g(x)\lim\limits_{x\to x_0}\Bigl(\alpha f(x)+\beta g(x)\Bigr)=\alpha\lim\limits_{x\to x_0} f(x)+\beta\lim\limits_{x\to x_0}g(x)

  3. limxx0f(x)g(x)=(limxx0f(x))(limxx0g(x))\lim\limits_{x\to x_0}f(x)g(x)=\Bigl(\lim\limits_{x\to x_0} f(x)\Bigr)\Bigl(\lim\limits_{x\to x_0}g(x)\Bigr)

  4. Если к тому же выполнено условие limxx0g(x)0\lim\limits_{x\to x_0}g(x)\ne 0, то

limxx0f(x)g(x)=limxx0f(x)limxx0g(x)\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim\limits_{x\to x_0} f(x)}{\lim\limits_{x\to x_0}g(x)}

  1. Если функция FF такова, что существует предел limtt0F(t)\lim\limits_{t\to t_0}F(t), где t0=limxx0f(x)t_0=\lim\limits_{x\to x_0}f(x), то

limxx0F(f(x))=F(limxx0f(x))\lim\limits_{x\to x_0}F\Bigl(f(x)\Bigr)=F\left(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\right)

  1. Если в некоторой окрестности точки x0x_0 выполнено неравенство f(x)<g(x)f(x)<g(x), то

limxx0f(x)limxx0g(x)\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\le\lim\limits_{x\to x_0}g(x)

  1. Для любого a0a\ne 0

limx0f(ax)=limx0f(x)\lim\limits_{x\to 0}f(ax)=\lim\limits_{x\to 0}f(x)

Пример 2

Вычислить предел

limx0tg3xx. \lim\limits_{x\to 0}\frac{\operatorname{tg}3x}{x}.

Согласно определению тангенса, тому, что limx0cosx=cos0=1 \lim\limits_{x\to 0}\cos{x}=\cos 0=1 , Примеру 1
и свойствам 5 и 8, получим

limx0tg3xx=limx03sin3x3xcos3x=3limx0sin3x3xlimx0cos3x=3. \lim\limits_{x\to 0}\frac{\operatorname{tg}3x}{x}= \lim\limits_{x\to 0}3\frac{\frac{\sin 3x}{3x}}{\cos 3x}=3\frac{\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{3x}}{\lim\limits_{x\to 0}\cos{3x}}=3.

Автор статьи
+0
-0
Комментарии
Нет комментариев

Интересные статьи за сегодня

Как защищать курсовую работу

О том, как преподнести себя публике и уберечь нервную систему (не только свою), представляя свое научное детище, – читайте в нашей статье.
132 +20
1

Кто в России счастлив на работе

Кто в России счастлив на работе?
359 +20
3

Антиплагиат: что это такое

Детальный обзор систем антиплагиата: как с ними работать и как повысить уникальность
3462 +17
0

Сессия досрочно

Можно ли сдать экзамены раньше срока?
1306 +15
1
Хотите выполнять заказы?
Стать автором
Хотите заказать работу?
Разместить заказ