Предел функции в точке. Свойства пределов

Содержание

Тест: 3 вопроса
1. Сколько свойств предела знаете?
9
2
4
3
2. Сколько замечательных пределов существует?
Пять
Два
Четыре
Три
3. Дайте определение предела функций?
Приращение двух функций
Число называется пределом от заданной функций при х стемящемуся к а, если найдется число δ
Число А называется пределом функций при х стремящемуся к а,если для любого положительного числа ε найдется число δ, которое будет удовлетворять неравенство |f(x)-A|<ε при условий 0<|x-a|<δ
Нет правильного ответа

Предел функции в точке. Свойства пределов

Говорят, что число AA является пределом функции f ⁣:(a;b)Rf\colon (a;b) \to\mathbb{R} в точке x0(a;b)x_0\in (a;b), если для любого числа ε>0\varepsilon>0 существует такое число δ(ε)>0\delta(\varepsilon)>0, что из δ\delta-близости xx и x0x_0 следует ε\varepsilon-близость f(x)f(x) и AA

xx0<δf(x)A<ε.|x-x_0|<\delta\quad\Rightarrow \quad|f(x)-A|<\varepsilon.

Число AA является пределом функции f ⁣:(a;+)Rf\colon (a;+\infty) \to\mathbb{R} (соотв. f ⁣:(;b)Rf\colon (-\infty;b) \to\mathbb{R})
на ++\infty (соотв. на -\infty), если для любого числа ε>0\varepsilon>0 существует такое число R(ε)>0R(\varepsilon)>0, что

x>Rf(x)A<ε.|x|>R\quad\Rightarrow \quad|f(x)-A|<\varepsilon.

Если AA – предел функции в точке x0x_0 (возможно, x0=±x_0=\pm\infty), то используется обозначение

limxx0f(x)=A,илиf(x)Aприxx0.\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A,\quad\text{или}\quad f(x)\to A\,\,\text{при}\,\,x\to x_0.

Заметим, что определение предела в точке x0x_0 не зависит от значения f(x0)f(x_0). То есть функция может быть не определенной в данной точке, как видно из следующего примера.

Пример 1 (первый замечательный предел)

Покажем, что

limx0sinxx=1.\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.

Действительно, на рисунке
предел функции в точке.png

видно, что площадь сектора AODAOD меньше площади треугольника AOCAOC. Учитывая, что OA=1OA=1, это неравенство можно записать как

12AD<12AC. \frac{1}{2}\overset\frown{AD}<\frac{1}{2}AC.

Таким образом, для всех x(0;π2)x\in\left(0;\frac{\pi}{2}\right) имеет место двойное неравенство

sinx<x<tgx. \sin x<x<\operatorname{tg} x.

Отсюда легко следует, что

xcosx<sinx<x x\cos x<\sin x <x

и

cosx<sinxx<1. \cos x<\frac{\sin x}{x}<1.

В силу четности функций sinxx\frac{\sin x}{x} и cosx\cos x, данное неравенство имеет место для всех ненулевых x(π2;π2)x\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right).

Для любого ε>0\varepsilon>0 из определения предела можно взять δ=2ε\delta=\sqrt{2\varepsilon}. Для такого δ(ε)\delta(\varepsilon) условие (*) выполнено:

x<2εsinxx1<1cosx=2sin2x2<x22<ε.|x|<\sqrt{2\varepsilon}\Rightarrow\left|\frac{\sin x}{x}-1\right|<|1-\cos x|=2\sin^2\frac{x}{2}<\frac{x^2}{2}<\varepsilon.

Таким образом,

limx0sinxx=1.\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.

Свойства пределов

  1. Если функция f(x)f(x) постоянна и равна cc, то limxx0f(x)=c\lim\limits_{x\to x_0} f(x)=c для любого x0x_0

Если существуют пределы limxx0f(x)\lim\limits_{x\to x_0}f(x) и
limxx0g(x)\lim\limits_{x\to x_0}g(x), то для любых чисел α,βR\alpha,\beta\in\mathbb{R}

  1. limxx0αf(x)=αlimxx0f(x)\lim\limits_{x\to x_0}\alpha f(x)=\alpha\lim\limits_{x\to x_0} f(x)

  2. limxx0(αf(x)+βg(x))=αlimxx0f(x)+βlimxx0g(x)\lim\limits_{x\to x_0}\Bigl(\alpha f(x)+\beta g(x)\Bigr)=\alpha\lim\limits_{x\to x_0} f(x)+\beta\lim\limits_{x\to x_0}g(x)

  3. limxx0f(x)g(x)=(limxx0f(x))(limxx0g(x))\lim\limits_{x\to x_0}f(x)g(x)=\Bigl(\lim\limits_{x\to x_0} f(x)\Bigr)\Bigl(\lim\limits_{x\to x_0}g(x)\Bigr)

  4. Если к тому же выполнено условие limxx0g(x)0\lim\limits_{x\to x_0}g(x)\ne 0, то

limxx0f(x)g(x)=limxx0f(x)limxx0g(x)\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim\limits_{x\to x_0} f(x)}{\lim\limits_{x\to x_0}g(x)}

  1. Если функция FF такова, что существует предел limtt0F(t)\lim\limits_{t\to t_0}F(t), где t0=limxx0f(x)t_0=\lim\limits_{x\to x_0}f(x), то

limxx0F(f(x))=F(limxx0f(x))\lim\limits_{x\to x_0}F\Bigl(f(x)\Bigr)=F\left(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\right)

  1. Если в некоторой окрестности точки x0x_0 выполнено неравенство f(x)<g(x)f(x)<g(x), то

limxx0f(x)limxx0g(x)\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\le\lim\limits_{x\to x_0}g(x)

  1. Для любого a0a\ne 0

limx0f(ax)=limx0f(x)\lim\limits_{x\to 0}f(ax)=\lim\limits_{x\to 0}f(x)

Пример 2

Вычислить предел

limx0tg3xx. \lim\limits_{x\to 0}\frac{\operatorname{tg}3x}{x}.

Согласно определению тангенса, тому, что limx0cosx=cos0=1 \lim\limits_{x\to 0}\cos{x}=\cos 0=1 , Примеру 1
и свойствам 5 и 8, получим

limx0tg3xx=limx03sin3x3xcos3x=3limx0sin3x3xlimx0cos3x=3. \lim\limits_{x\to 0}\frac{\operatorname{tg}3x}{x}= \lim\limits_{x\to 0}3\frac{\frac{\sin 3x}{3x}}{\cos 3x}=3\frac{\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{3x}}{\lim\limits_{x\to 0}\cos{3x}}=3.

Тест на тему “Предел функции в точке. Свойства пределов”

Автор статьи
3 Авг 2018 в 12:09
888
+2
-0
Комментарии
Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Название заказа не должно быть пустым
Введите email
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат

Интересные статьи за сегодня

Предыдущая статья
Сравнение функций
Следующая статья
Непрерывность функций
Напишем уникальную работу
Скидка 10%
Поможем написать учебную работу
Название заказа не должно быть пустым
Введите email
Доверьте свою работу экспертам
Разместите заказ
Наша система отправит ваш заказ на оценку 35 392 авторам
Первые отклики появятся уже в течение 10 минут
Показать ещё
Показать ещё
Отвечай на вопросы, зарабатывай баллы и трать их на призы.
Подробнее
Прямой эфир