Предел функции в точке. Свойства пределов

Содержание

Предел функции в точке. Свойства пределов

Говорят, что число AA является пределом функции f:(a;b)Rf\colon (a;b) \to\mathbb{R} в точке x0(a;b)x_0\in (a;b), если для любого числа ε>0\varepsilon>0 существует такое число δ(ε)>0\delta(\varepsilon)>0, что из δ\delta-близости xx и x0x_0 следует ε\varepsilon-близость f(x)f(x) и AA

xx0<δf(x)A<ε.|x-x_0|<\delta\quad\Rightarrow \quad|f(x)-A|<\varepsilon.

Число AA является пределом функции f:(a;+)Rf\colon (a;+\infty) \to\mathbb{R} (соотв. f:(;b)Rf\colon (-\infty;b) \to\mathbb{R})
на ++\infty (соотв. на -\infty), если для любого числа ε>0\varepsilon>0 существует такое число R(ε)>0R(\varepsilon)>0, что

x>Rf(x)A<ε.|x|>R\quad\Rightarrow \quad|f(x)-A|<\varepsilon.

Если AA – предел функции в точке x0x_0 (возможно, x0=±x_0=\pm\infty), то используется обозначение

limxx0f(x)=A,илиf(x)Aприxx0.\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A,\quad\text{или}\quad f(x)\to A\,\,\text{при}\,\,x\to x_0.

Заметим, что определение предела в точке x0x_0 не зависит от значения f(x0)f(x_0). То есть функция может быть не определенной в данной точке, как видно из следующего примера.

Пример 1 (первый замечательный предел)

Покажем, что

limx0sinxx=1.\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.

Действительно, на рисунке
предел функции в точке.png

видно, что площадь сектора AODAOD меньше площади треугольника AOCAOC. Учитывая, что OA=1OA=1, это неравенство можно записать как

12AD<12AC. \frac{1}{2}\overset\frown{AD}<\frac{1}{2}AC.

Таким образом, для всех x(0;π2)x\in\left(0;\frac{\pi}{2}\right) имеет место двойное неравенство

sinx<x<tgx. \sin x<x<\operatorname{tg} x.

Отсюда легко следует, что

xcosx<sinx<x x\cos x<\sin x <x

и

cosx<sinxx<1. \cos x<\frac{\sin x}{x}<1.

В силу четности функций sinxx\frac{\sin x}{x} и cosx\cos x, данное неравенство имеет место для всех ненулевых x(π2;π2)x\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right).

Для любого ε>0\varepsilon>0 из определения предела можно взять δ=2ε\delta=\sqrt{2\varepsilon}. Для такого δ(ε)\delta(\varepsilon) условие (*) выполнено:

x<2εsinxx1<1cosx=2sin2x2<x22<ε.|x|<\sqrt{2\varepsilon}\Rightarrow\left|\frac{\sin x}{x}-1\right|<|1-\cos x|=2\sin^2\frac{x}{2}<\frac{x^2}{2}<\varepsilon.

Таким образом,

limx0sinxx=1.\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.

Свойства пределов

  1. Если функция f(x)f(x) постоянна и равна cc, то limxx0f(x)=c\lim\limits_{x\to x_0} f(x)=c для любого x0x_0

Если существуют пределы limxx0f(x)\lim\limits_{x\to x_0}f(x) и
limxx0g(x)\lim\limits_{x\to x_0}g(x), то для любых чисел α,βR\alpha,\beta\in\mathbb{R}

  1. limxx0αf(x)=αlimxx0f(x)\lim\limits_{x\to x_0}\alpha f(x)=\alpha\lim\limits_{x\to x_0} f(x)

  2. limxx0(αf(x)+βg(x))=αlimxx0f(x)+βlimxx0g(x)\lim\limits_{x\to x_0}\Bigl(\alpha f(x)+\beta g(x)\Bigr)=\alpha\lim\limits_{x\to x_0} f(x)+\beta\lim\limits_{x\to x_0}g(x)

  3. limxx0f(x)g(x)=(limxx0f(x))(limxx0g(x))\lim\limits_{x\to x_0}f(x)g(x)=\Bigl(\lim\limits_{x\to x_0} f(x)\Bigr)\Bigl(\lim\limits_{x\to x_0}g(x)\Bigr)

  4. Если к тому же выполнено условие limxx0g(x)0\lim\limits_{x\to x_0}g(x)\ne 0, то

limxx0f(x)g(x)=limxx0f(x)limxx0g(x)\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim\limits_{x\to x_0} f(x)}{\lim\limits_{x\to x_0}g(x)}

  1. Если функция FF такова, что существует предел limtt0F(t)\lim\limits_{t\to t_0}F(t), где t0=limxx0f(x)t_0=\lim\limits_{x\to x_0}f(x), то

limxx0F(f(x))=F(limxx0f(x))\lim\limits_{x\to x_0}F\Bigl(f(x)\Bigr)=F\left(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\right)

  1. Если в некоторой окрестности точки x0x_0 выполнено неравенство f(x)<g(x)f(x)<g(x), то

limxx0f(x)limxx0g(x)\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\le\lim\limits_{x\to x_0}g(x)

  1. Для любого a0a\ne 0

limx0f(ax)=limx0f(x)\lim\limits_{x\to 0}f(ax)=\lim\limits_{x\to 0}f(x)

Пример 2

Вычислить предел

limx0tg3xx. \lim\limits_{x\to 0}\frac{\operatorname{tg}3x}{x}.

Согласно определению тангенса, тому, что limx0cosx=cos0=1 \lim\limits_{x\to 0}\cos{x}=\cos 0=1 , Примеру 1
и свойствам 5 и 8, получим

limx0tg3xx=limx03sin3x3xcos3x=3limx0sin3x3xlimx0cos3x=3. \lim\limits_{x\to 0}\frac{\operatorname{tg}3x}{x}= \lim\limits_{x\to 0}3\frac{\frac{\sin 3x}{3x}}{\cos 3x}=3\frac{\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{3x}}{\lim\limits_{x\to 0}\cos{3x}}=3.

Автор статьи
+2
-0
Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат

Интересные статьи за сегодня

Делимся основными ошибками, которые из года в год допускают старшеклассники.
1397 +164
0
Как к ним подготовиться и что отвечать.
3338 +144
3
Признаки хорошего колледжа.
765 +104
0
Автор
Хотите выполнять заказы? Стать автором
Заказчик
Хотите заказать работу? Разместить заказ
Доверьте свою работу экспертам
Разместите заказ
Наша система отправит ваш заказ на оценку 33 747 авторам
Первые отклики появятся уже в течение 10 минут
Напишем уникальную работу
Скидка 10%