Сравнение функций

Содержание

Тест: 4 вопроса
1. Найдите предел lim┬(x→+∞)⁡(cos⁡1/√x )^x:
1/2
e^(1/2)
e^(-1/2)
1/5
2. Вычислите lim┬(x→0)⁡(e^x+(1+x)^(1/3) /(2*arctg x-arcsin⁡x ):
2/3
0
1/3
7/4
3. Вычислите предел для функции f(x)=sin7x/3x при x→0:
0
1
7/3
1/3
4. Сформируйте ряд Маклорена для функции f(x)=ln⁡(cos⁡x)в окрестности точки x=0:
(-x^2/2-x^4/12-x^6/45+O(x^8 ))
(-x-x^2/2-x^4/12+O(x^6 ))
(x^2/2+x^4/12+x^6/45+O(x^8 ))
(x+x^2/2+x^4/12+O(x^6 ))

Эквивалентные функции

Говорят, что функции ff и gg, определенные в некоторой проколотой окрестности точки x0x_0 (возможно, x0=±x_0=\pm\infty) эквивалентны, если

limxx0f(x)g(x)=1. \lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=1.

Если функции эквивалентны, то мы пишем

f(x)g(x)при xx0.f(x)\sim g(x)\quad\text{при }\,\, x\to x_0.

Если существует конечный предел limxx0f(x)=A0\lim\limits_{x\to x_0 }f(x)=A\ne 0, то, очевидно,

f(x)Aприxx0.f(x)\sim A\,\,\text{при}\,\,x\to x_0.

Если limxx0f(x)=0\lim\limits_{x\to x_0 }f(x)= 0, то говорят, что величина f(x)f(x) бесконечно малая при xx0x\to x_0.

Пример 1

Как следует из статьи замечательные пределы, имеют место следующие эквивалентности

sinxtgxarcsinxarctgxx,1cosxx22\sin x\sim\operatorname{tg} x\sim\operatorname{arcsin} x\sim\operatorname{arctg} x \sim x,\,\, 1-\cos x\sim\frac{x^2}{2}

ln(1+x)x,(1+x)a1ax,ex1+xпри x0. \ln(1+x)\sim x,\,\,(1+x)^a\sim 1 ax,\,\,e^x\sim 1+x\quad\text{при }\,\, x\to 0.

При вычислении пределов функции можно заменять на эквивалентные.

Пример 2

Вычислить предел

limx01+sinx1arcsinx. \lim\limits_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+\sin x}-1}{\arcsin{x}}.

Заменяем функции на эквивалентные:

1+sinx1arcsinx1+x1x1+12x1x=12 \frac{\sqrt{1+\sin x}-1}{\arcsin{x}}\sim\frac{\sqrt{1+ x}-1}{{x}}\sim\frac{1+\frac{1}{2}x-1}{x}=\frac{1}{2}

Таким образом,

limx01+sinx1arcsinx=12. \lim\limits_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+\sin x}-1}{\arcsin{x}}=\frac{1}{2}.

Однако, как показывает следующий предел, замена выражений на эквивалентные при вычислении пределов может привести к неопределенности:

limx0xsinxarcsinxx=limx0xxxx=00. \lim\limits_{x\to 0}\frac{x-\sin x}{\arcsin x-x}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{x- x}{ x-x}=\frac{0}{0}.

O-большое

Пусть функции f(x)f(x) и g(x)g(x) определены в некоторой проколотой окрестности точки x0x_0 (или определены для достаточно больших значений x|x|, если x0=±x_0=\pm\infty), причем функция g(x)g(x) строго положительна.

Говорят, что f(x)=O(g(x))f(x)=O(g(x)) при xx0x\to x_0, если существует постоянная C>0C>0 для которой

f(x)<Cg(x). |f(x)|<Cg(x).

Заметим, что запись f(x)=O(1)f(x)=O(1), xx0x\to x_0 означает, что f(x)f(x) ограничена в некоторой проколотой окрестности точки x0x_0.

Пример 3

  • x=O(ex)x=O(e^x) при x+x\to+\infty, так как x<exx<e^x для всех x>0x>0;

  • ex=O(x)e^x=O(|x|) при xx\to -\infty, так как ex<xe^x<|x| для всех x<1x<-1;

  • 1x=O(1x2)\frac{1}{x}=O\left(\frac{1}{x^2}\right) при x0x\to 0, так как 1x<1x2\frac{1}{|x|} < \frac{1}{x^2} для всех x(1;0)(0;1)x\in (-1;0)\cup(0;1);

  • 1x2=O(1x)\frac{1}{x^2}=O\left(\frac{1}{|x|}\right) при x±x\to \pm\infty, так как 1x2<1x\frac{1}{x^2}<\frac{1}{|x|} для всех x>1|x|>1.

Из определения следует, что условие f(x)=O(g(x))f(x)=O(g(x)) при xx0x\to x_0 равносильно тому, что

f(x)g(x)<C\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|<C

в некоторой проколотой окрестности точки x0x_0.

Если f(x)=O(g(x))f(x)=O(g(x)) и g(x)=O(f(x))g(x)=O(f(x)) при xx0x\to x_0, то пишут

f(x)g(x),xx0.f(x)\asymp g(x),\quad x\to x_0.

Данное отношение равносильно существованию положительных констант c,C>0c,C>0, для которых в некоторой проколотой окрестности точки x0x_0 выполнено

c<f(x)g(x)<C. c<\frac{f(x)}{g(x)}<C.

Например, x3x21,x+x\asymp \sqrt{3x^2-1},\quad x\to +\infty.

Свойства O-большого

  • f1(x)=O(g1(x))f_1(x)=O(g_1(x)), f2(x)=O(g2(x))f_2(x)=O(g_2(x)) \Rightarrow f1(x)f2(x)=O(g1(x)g2(x))f_1(x)f_2(x)=O(g_1(x)g_2(x)),

в частности если функция h(x)h(x) положительна, то h(x)O(g(x))=O(h(x)g(x))h(x)O(g(x))=O(h(x)g(x));

  • f1(x)=O(g1(x))f_1(x)=O(g_1(x)), f2(x)=O(g2(x))f_2(x)=O(g_2(x)) \Rightarrow f1(x)+f2(x)=O(g1(x)+g2(x))f_1(x)+f_2(x)=O(g_1(x)+g_2(x)),

в частности f1(x),f2(x)=O(g(x))f_1(x), f_2(x)=O(g(x)) \Rightarrow f1(x)+f2(x)=O(g(x))f_1(x)+f_2(x)=O(g(x));

o-малое

Пусть функции f(x)f(x) и g(x)g(x) определены в некоторой проколотой окрестности точки x0x_0 (или определены для достаточно больших значений x|x|, если x0=±x_0=\pm\infty).

Говорят, что f(x)=o(g(x))f(x)=o(g(x)) при xx0x\to x_0 (f(x)f(x) является бесконечно малой от g(x)g(x)), если

limxx0f(x)g(x)=0. \lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0.

Заметим, что запись f(x)=o(1)f(x)=o(1), xx0x\to x_0 означает, что limxx0f(x)=0\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=0.

Пример 4

  • xa=o(ex)x^a=o(e^x) при x+x\to+\infty для любого aRa\in\mathbb{R};

  • ex1=o(1)e^x-1=o(1) при x0x\to 0;

  • sinxx=o(x)\sin x-x=o(x) при x0x\to 0;

  • 1cosx=o(x)1-\cos x=o(x) при x0x\to 0.

Свойства o-малого

Свойства o-малого аналогичны свойствам O-большого. Кроме того

o(O(g(x)))=O(o(g(x)))=o(g(x)). o\left(O(g(x))\right)=O\left(o(g(x))\right)=o(g(x)).

Пример 5

Покажем, что

sinxx=o(x2).\sin x-x=o\left(x^2\right).

Действительно, используя неравенство xcosx<sinx<xx\cos x<\sin x<x, (см. Пример 2 статьи Предел функции в точке), имеем

0<xsinx<x(1cosx)=xo(x)=o(x2).0<x-\sin x<x(1-\cos x)=xo(x)=o\left(x^2\right).

Откуда следует sinxx=o(x2)\sin x-x=o\left(x^2\right).

На самом деле имеет место более сильное равенство

xsinx=O(x3).x-\sin x=O\left(x^3\right).

Следствия формулы Маклорена

Используя ряд Маклорена для элементарных функций, можно получить следующие формулы (ряд Маклорена с остаточным членом в форме Пеано)

  • sinx=x+x36+o(x4)\sin x=x+\frac{x^3}{6}+o(x^4)

  • arcsinx=xx36+o(x4)\arcsin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^4)

  • tgx=x+x33+o(x4)\tg x=x+\frac{x^3}{3}+o(x^4)

  • arctgx=xx33+o(x4)\operatorname{arctg} x=x-\frac{x^3}{3}+o(x^4)

  • ln(1+x)=xx22+o(x2)\ln(1+ x)=x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)

  • (1+x)a=1+ax+a(a1)x22+o(x2)(1+x)^a=1+ax+\frac{a(a-1)x^2}{2}+o(x^2)

Пример 6
limx0xsinxarcsinxx=limx0x36+o(x3)x36+o(x3)=limx01+o(1)1+o(1)=1.\lim\limits_{x\to 0}\frac{x-\sin x}{\arcsin x-x}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\frac{x^3}{6}+o\left(x^3\right)}{\frac{x^3}{6}+o\left(x^3\right)}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{1+o(1)}{1+o(1)}=1.

Тест по теме “Сравнение функций”

Автор статьи
3 Авг 2018 в 12:07
3 472
+1
-0
Комментарии
Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Название заказа не должно быть пустым
Введите email
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат

Интересные статьи за сегодня

Напишем уникальную работу
Скидка 10%
Поможем написать учебную работу
Название заказа не должно быть пустым
Введите email
Доверьте свою работу экспертам
Разместите заказ
Наша система отправит ваш заказ на оценку 35 392 авторам
Первые отклики появятся уже в течение 10 минут
Показать ещё
Показать ещё
Отвечай на вопросы, зарабатывай баллы и трать их на призы.
Подробнее
Прямой эфир