170
3 Авг в 12:0703.08.2018 в 12:07

Сравнение функций

Содержание

Эквивалентные функции

Говорят, что функции ff и gg, определенные в некоторой проколотой окрестности точки x0x_0 (возможно, x0=±x_0=\pm\infty) эквивалентны, если

limxx0f(x)g(x)=1. \lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=1.

Если функции эквивалентны, то мы пишем

f(x)g(x)при xx0.f(x)\sim g(x)\quad\text{при }\,\, x\to x_0.

Если существует конечный предел limxx0f(x)=A0\lim\limits_{x\to x_0 }f(x)=A\ne 0, то, очевидно,

f(x)Aприxx0.f(x)\sim A\,\,\text{при}\,\,x\to x_0.

Если limxx0f(x)=0\lim\limits_{x\to x_0 }f(x)= 0, то говорят, что величина f(x)f(x) бесконечно малая при xx0x\to x_0.

Пример 1

Как следует из статьи замечательные пределы, имеют место следующие эквивалентности

sinxtgxarcsinxarctgxx,1cosxx22\sin x\sim\operatorname{tg} x\sim\operatorname{arcsin} x\sim\operatorname{arctg} x \sim x,\,\, 1-\cos x\sim\frac{x^2}{2}

ln(1+x)x,(1+x)a1ax,ex1+xпри x0. \ln(1+x)\sim x,\,\,(1+x)^a\sim 1 ax,\,\,e^x\sim 1+x\quad\text{при }\,\, x\to 0.

При вычислении пределов функции можно заменять на эквивалентные.

Пример 2

Вычислить предел

limx01+sinx1arcsinx. \lim\limits_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+\sin x}-1}{\arcsin{x}}.

Заменяем функции на эквивалентные:

1+sinx1arcsinx1+x1x1+12x1x=12 \frac{\sqrt{1+\sin x}-1}{\arcsin{x}}\sim\frac{\sqrt{1+ x}-1}{{x}}\sim\frac{1+\frac{1}{2}x-1}{x}=\frac{1}{2}

Таким образом,

limx01+sinx1arcsinx=12. \lim\limits_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+\sin x}-1}{\arcsin{x}}=\frac{1}{2}.

Однако, как показывает следующий предел, замена выражений на эквивалентные при вычислении пределов может привести к неопределенности:

limx0xsinxarcsinxx=limx0xxxx=00. \lim\limits_{x\to 0}\frac{x-\sin x}{\arcsin x-x}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{x- x}{ x-x}=\frac{0}{0}.

O-большое

Пусть функции f(x)f(x) и g(x)g(x) определены в некоторой проколотой окрестности точки x0x_0 (или определены для достаточно больших значений x|x|, если x0=±x_0=\pm\infty), причем функция g(x)g(x) строго положительна.

Говорят, что f(x)=O(g(x))f(x)=O(g(x)) при xx0x\to x_0, если существует постоянная C>0C>0 для которой

f(x)<Cg(x). |f(x)|<Cg(x).

Заметим, что запись f(x)=O(1)f(x)=O(1), xx0x\to x_0 означает, что f(x)f(x) ограничена в некоторой проколотой окрестности точки x0x_0.

Пример 3

  • x=O(ex)x=O(e^x) при x+x\to+\infty, так как x<exx<e^x для всех x>0x>0;

  • ex=O(x)e^x=O(|x|) при xx\to -\infty, так как ex<xe^x<|x| для всех x<1x<-1;

  • 1x=O(1x2)\frac{1}{x}=O\left(\frac{1}{x^2}\right) при x0x\to 0, так как 1x<1x2\frac{1}{|x|} < \frac{1}{x^2} для всех x(1;0)(0;1)x\in (-1;0)\cup(0;1);

  • 1x2=O(1x)\frac{1}{x^2}=O\left(\frac{1}{|x|}\right) при x±x\to \pm\infty, так как 1x2<1x\frac{1}{x^2}<\frac{1}{|x|} для всех x>1|x|>1.

Из определения следует, что условие f(x)=O(g(x))f(x)=O(g(x)) при xx0x\to x_0 равносильно тому, что

f(x)g(x)<C\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|<C

в некоторой проколотой окрестности точки x0x_0.

Если f(x)=O(g(x))f(x)=O(g(x)) и g(x)=O(f(x))g(x)=O(f(x)) при xx0x\to x_0, то пишут

f(x)g(x),xx0.f(x)\asymp g(x),\quad x\to x_0.

Данное отношение равносильно существованию положительных констант c,C>0c,C>0, для которых в некоторой проколотой окрестности точки x0x_0 выполнено

c<f(x)g(x)<C. c<\frac{f(x)}{g(x)}<C.

Например, x3x21,x+x\asymp \sqrt{3x^2-1},\quad x\to +\infty.

Свойства O-большого

  • f1(x)=O(g1(x))f_1(x)=O(g_1(x)), f2(x)=O(g2(x))f_2(x)=O(g_2(x)) \Rightarrow f1(x)f2(x)=O(g1(x)g2(x))f_1(x)f_2(x)=O(g_1(x)g_2(x)),

в частности если функция h(x)h(x) положительна, то h(x)O(g(x))=O(h(x)g(x))h(x)O(g(x))=O(h(x)g(x));

  • f1(x)=O(g1(x))f_1(x)=O(g_1(x)), f2(x)=O(g2(x))f_2(x)=O(g_2(x)) \Rightarrow f1(x)+f2(x)=O(g1(x)+g2(x))f_1(x)+f_2(x)=O(g_1(x)+g_2(x)),

в частности f1(x),f2(x)=O(g(x))f_1(x), f_2(x)=O(g(x)) \Rightarrow f1(x)+f2(x)=O(g(x))f_1(x)+f_2(x)=O(g(x));

o-малое

Пусть функции f(x)f(x) и g(x)g(x) определены в некоторой проколотой окрестности точки x0x_0 (или определены для достаточно больших значений x|x|, если x0=±x_0=\pm\infty).

Говорят, что f(x)=o(g(x))f(x)=o(g(x)) при xx0x\to x_0 (f(x)f(x) является бесконечно малой от g(x)g(x)), если

limxx0f(x)g(x)=0. \lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0.

Заметим, что запись f(x)=o(1)f(x)=o(1), xx0x\to x_0 означает, что limxx0f(x)=0\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=0.

Пример 4

  • xa=o(ex)x^a=o(e^x) при x+x\to+\infty для любого aRa\in\mathbb{R};

  • ex1=o(1)e^x-1=o(1) при x0x\to 0;

  • sinxx=o(x)\sin x-x=o(x) при x0x\to 0;

  • 1cosx=o(x)1-\cos x=o(x) при x0x\to 0.

Свойства o-малого

Свойства o-малого аналогичны свойствам O-большого. Кроме того

o(O(g(x)))=O(o(g(x)))=o(g(x)). o\left(O(g(x))\right)=O\left(o(g(x))\right)=o(g(x)).

Пример 5

Покажем, что

sinxx=o(x2).\sin x-x=o\left(x^2\right).

Действительно, используя неравенство xcosx<sinx<xx\cos x<\sin x<x, (см. Пример 2 статьи Предел функции в точке), имеем

0<xsinx<x(1cosx)=xo(x)=o(x2).0<x-\sin x<x(1-\cos x)=xo(x)=o\left(x^2\right).

Откуда следует sinxx=o(x2)\sin x-x=o\left(x^2\right).

На самом деле имеет место более сильное равенство

xsinx=O(x3).x-\sin x=O\left(x^3\right).

Следствия формулы Маклорена

Используя ряд Маклорена для элементарных функций, можно получить следующие формулы (ряд Маклорена с остаточным членом в форме Пеано)

  • sinx=x+x36+o(x4)\sin x=x+\frac{x^3}{6}+o(x^4)

  • arcsinx=xx36+o(x4)\arcsin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^4)

  • tgx=x+x33+o(x4)\tg x=x+\frac{x^3}{3}+o(x^4)

  • arctgx=xx33+o(x4)\operatorname{arctg} x=x-\frac{x^3}{3}+o(x^4)

  • ln(1+x)=xx22+o(x2)\ln(1+ x)=x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)

  • (1+x)a=1+ax+a(a1)x22+o(x2)(1+x)^a=1+ax+\frac{a(a-1)x^2}{2}+o(x^2)

Пример 6
limx0xsinxarcsinxx=limx0x36+o(x3)x36+o(x3)=limx01+o(1)1+o(1)=1.\lim\limits_{x\to 0}\frac{x-\sin x}{\arcsin x-x}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\frac{x^3}{6}+o\left(x^3\right)}{\frac{x^3}{6}+o\left(x^3\right)}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{1+o(1)}{1+o(1)}=1.

Автор статьи
+0
-0
Комментарии
Нет комментариев

Интересные статьи за сегодня

Как защищать курсовую работу

О том, как преподнести себя публике и уберечь нервную систему (не только свою), представляя свое научное детище, – читайте в нашей статье.
132 +20
1

Кто в России счастлив на работе

Кто в России счастлив на работе?
359 +20
3

Антиплагиат: что это такое

Детальный обзор систем антиплагиата: как с ними работать и как повысить уникальность
3462 +17
0

Сессия досрочно

Можно ли сдать экзамены раньше срока?
1306 +15
1
Хотите выполнять заказы?
Стать автором
Хотите заказать работу?
Разместить заказ