Сравнение функций

Содержание

Эквивалентные функции

Говорят, что функции ff и gg, определенные в некоторой проколотой окрестности точки x0x_0 (возможно, x0=±x_0=\pm\infty) эквивалентны, если

limxx0f(x)g(x)=1. \lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=1.

Если функции эквивалентны, то мы пишем

f(x)g(x)при xx0.f(x)\sim g(x)\quad\text{при }\,\, x\to x_0.

Если существует конечный предел limxx0f(x)=A0\lim\limits_{x\to x_0 }f(x)=A\ne 0, то, очевидно,

f(x)Aприxx0.f(x)\sim A\,\,\text{при}\,\,x\to x_0.

Если limxx0f(x)=0\lim\limits_{x\to x_0 }f(x)= 0, то говорят, что величина f(x)f(x) бесконечно малая при xx0x\to x_0.

Пример 1

Как следует из статьи замечательные пределы, имеют место следующие эквивалентности

sinxtgxarcsinxarctgxx,1cosxx22\sin x\sim\operatorname{tg} x\sim\operatorname{arcsin} x\sim\operatorname{arctg} x \sim x,\,\, 1-\cos x\sim\frac{x^2}{2}

ln(1+x)x,(1+x)a1ax,ex1+xпри x0. \ln(1+x)\sim x,\,\,(1+x)^a\sim 1 ax,\,\,e^x\sim 1+x\quad\text{при }\,\, x\to 0.

При вычислении пределов функции можно заменять на эквивалентные.

Пример 2

Вычислить предел

limx01+sinx1arcsinx. \lim\limits_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+\sin x}-1}{\arcsin{x}}.

Заменяем функции на эквивалентные:

1+sinx1arcsinx1+x1x1+12x1x=12 \frac{\sqrt{1+\sin x}-1}{\arcsin{x}}\sim\frac{\sqrt{1+ x}-1}{{x}}\sim\frac{1+\frac{1}{2}x-1}{x}=\frac{1}{2}

Таким образом,

limx01+sinx1arcsinx=12. \lim\limits_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+\sin x}-1}{\arcsin{x}}=\frac{1}{2}.

Однако, как показывает следующий предел, замена выражений на эквивалентные при вычислении пределов может привести к неопределенности:

limx0xsinxarcsinxx=limx0xxxx=00. \lim\limits_{x\to 0}\frac{x-\sin x}{\arcsin x-x}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{x- x}{ x-x}=\frac{0}{0}.

O-большое

Пусть функции f(x)f(x) и g(x)g(x) определены в некоторой проколотой окрестности точки x0x_0 (или определены для достаточно больших значений x|x|, если x0=±x_0=\pm\infty), причем функция g(x)g(x) строго положительна.

Говорят, что f(x)=O(g(x))f(x)=O(g(x)) при xx0x\to x_0, если существует постоянная C>0C>0 для которой

f(x)<Cg(x). |f(x)|<Cg(x).

Заметим, что запись f(x)=O(1)f(x)=O(1), xx0x\to x_0 означает, что f(x)f(x) ограничена в некоторой проколотой окрестности точки x0x_0.

Пример 3

  • x=O(ex)x=O(e^x) при x+x\to+\infty, так как x<exx<e^x для всех x>0x>0;

  • ex=O(x)e^x=O(|x|) при xx\to -\infty, так как ex<xe^x<|x| для всех x<1x<-1;

  • 1x=O(1x2)\frac{1}{x}=O\left(\frac{1}{x^2}\right) при x0x\to 0, так как 1x<1x2\frac{1}{|x|} < \frac{1}{x^2} для всех x(1;0)(0;1)x\in (-1;0)\cup(0;1);

  • 1x2=O(1x)\frac{1}{x^2}=O\left(\frac{1}{|x|}\right) при x±x\to \pm\infty, так как 1x2<1x\frac{1}{x^2}<\frac{1}{|x|} для всех x>1|x|>1.

Из определения следует, что условие f(x)=O(g(x))f(x)=O(g(x)) при xx0x\to x_0 равносильно тому, что

f(x)g(x)<C\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|<C

в некоторой проколотой окрестности точки x0x_0.

Если f(x)=O(g(x))f(x)=O(g(x)) и g(x)=O(f(x))g(x)=O(f(x)) при xx0x\to x_0, то пишут

f(x)g(x),xx0.f(x)\asymp g(x),\quad x\to x_0.

Данное отношение равносильно существованию положительных констант c,C>0c,C>0, для которых в некоторой проколотой окрестности точки x0x_0 выполнено

c<f(x)g(x)<C. c<\frac{f(x)}{g(x)}<C.

Например, x3x21,x+x\asymp \sqrt{3x^2-1},\quad x\to +\infty.

Свойства O-большого

  • f1(x)=O(g1(x))f_1(x)=O(g_1(x)), f2(x)=O(g2(x))f_2(x)=O(g_2(x)) \Rightarrow f1(x)f2(x)=O(g1(x)g2(x))f_1(x)f_2(x)=O(g_1(x)g_2(x)),

в частности если функция h(x)h(x) положительна, то h(x)O(g(x))=O(h(x)g(x))h(x)O(g(x))=O(h(x)g(x));

  • f1(x)=O(g1(x))f_1(x)=O(g_1(x)), f2(x)=O(g2(x))f_2(x)=O(g_2(x)) \Rightarrow f1(x)+f2(x)=O(g1(x)+g2(x))f_1(x)+f_2(x)=O(g_1(x)+g_2(x)),

в частности f1(x),f2(x)=O(g(x))f_1(x), f_2(x)=O(g(x)) \Rightarrow f1(x)+f2(x)=O(g(x))f_1(x)+f_2(x)=O(g(x));

o-малое

Пусть функции f(x)f(x) и g(x)g(x) определены в некоторой проколотой окрестности точки x0x_0 (или определены для достаточно больших значений x|x|, если x0=±x_0=\pm\infty).

Говорят, что f(x)=o(g(x))f(x)=o(g(x)) при xx0x\to x_0 (f(x)f(x) является бесконечно малой от g(x)g(x)), если

limxx0f(x)g(x)=0. \lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0.

Заметим, что запись f(x)=o(1)f(x)=o(1), xx0x\to x_0 означает, что limxx0f(x)=0\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=0.

Пример 4

  • xa=o(ex)x^a=o(e^x) при x+x\to+\infty для любого aRa\in\mathbb{R};

  • ex1=o(1)e^x-1=o(1) при x0x\to 0;

  • sinxx=o(x)\sin x-x=o(x) при x0x\to 0;

  • 1cosx=o(x)1-\cos x=o(x) при x0x\to 0.

Свойства o-малого

Свойства o-малого аналогичны свойствам O-большого. Кроме того

o(O(g(x)))=O(o(g(x)))=o(g(x)). o\left(O(g(x))\right)=O\left(o(g(x))\right)=o(g(x)).

Пример 5

Покажем, что

sinxx=o(x2).\sin x-x=o\left(x^2\right).

Действительно, используя неравенство xcosx<sinx<xx\cos x<\sin x<x, (см. Пример 2 статьи Предел функции в точке), имеем

0<xsinx<x(1cosx)=xo(x)=o(x2).0<x-\sin x<x(1-\cos x)=xo(x)=o\left(x^2\right).

Откуда следует sinxx=o(x2)\sin x-x=o\left(x^2\right).

На самом деле имеет место более сильное равенство

xsinx=O(x3).x-\sin x=O\left(x^3\right).

Следствия формулы Маклорена

Используя ряд Маклорена для элементарных функций, можно получить следующие формулы (ряд Маклорена с остаточным членом в форме Пеано)

  • sinx=x+x36+o(x4)\sin x=x+\frac{x^3}{6}+o(x^4)

  • arcsinx=xx36+o(x4)\arcsin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^4)

  • tgx=x+x33+o(x4)\tg x=x+\frac{x^3}{3}+o(x^4)

  • arctgx=xx33+o(x4)\operatorname{arctg} x=x-\frac{x^3}{3}+o(x^4)

  • ln(1+x)=xx22+o(x2)\ln(1+ x)=x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)

  • (1+x)a=1+ax+a(a1)x22+o(x2)(1+x)^a=1+ax+\frac{a(a-1)x^2}{2}+o(x^2)

Пример 6
limx0xsinxarcsinxx=limx0x36+o(x3)x36+o(x3)=limx01+o(1)1+o(1)=1.\lim\limits_{x\to 0}\frac{x-\sin x}{\arcsin x-x}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\frac{x^3}{6}+o\left(x^3\right)}{\frac{x^3}{6}+o\left(x^3\right)}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{1+o(1)}{1+o(1)}=1.

Автор статьи
+1
-0
Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат

Интересные статьи за сегодня

Делимся основными ошибками, которые из года в год допускают старшеклассники.
1397 +164
0
Как к ним подготовиться и что отвечать.
3338 +144
3
Признаки хорошего колледжа.
765 +104
0
Автор
Хотите выполнять заказы? Стать автором
Заказчик
Хотите заказать работу? Разместить заказ
Доверьте свою работу экспертам
Разместите заказ
Наша система отправит ваш заказ на оценку 33 747 авторам
Первые отклики появятся уже в течение 10 минут
Напишем уникальную работу
Скидка 10%