Замечательные пределы

Содержание

Первый замечательный предел

limx0sinxx=1.\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.

(см. Пример 2 статьи Предел функции в точке. Свойства пределов)

Следствие 1

limx0arcsinxx=1.\lim\limits_{x\to 0}\frac{\operatorname{arcsin} x}{x}=1.

Замена переменной x=sintx=\sin t. Действительно, согласно свойству 6 предела функции в точке, имеем

limx0arcsinxx=limt0arcsinsintsint=limt0tsint=1.\lim\limits_{x\to 0}\frac{\operatorname{arcsin} x}{x}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{\operatorname{arcsin} \sin t}{\sin t}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{ t}{\sin t}=1.

Следствие 2

limx0tgxx=1.\lim\limits_{x\to 0}\frac{\operatorname{tg} x}{x}=1.

Согласно тому, что limx0cosx=1\lim\limits_{x\to 0}\cos x=1 и свойству 5 предела функции в точке, получим

limx0tgxx=limx0sinxxcosx=limx0sinxxlimx0cosx=1.\lim\limits_{x\to 0}\frac{\operatorname{tg} x}{x}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x\cos x}=\frac{\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}}{\lim\limits_{x\to 0}\cos x}=1.

Следствие 3

limx0arctgxx=1\lim\limits_{x\to 0}\frac{\operatorname{arctg} x}{x}=1

Замена переменной x=tgtx=\operatorname{tg} t. Согласно свойству 6 предела функции в точке, имеем

limx0arctgxx=limt0arctgtgttgt=limt0ttgt=1.\lim\limits_{x\to 0}\frac{\operatorname{arctg} x}{x}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{\operatorname{arctg} \operatorname{tg} t}{\operatorname{tg} t}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{ t}{\operatorname{tg} t}=1.

Следствие 4

limx01cosxx2=12\lim\limits_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}

Используя свойства 6 и 8 предела функции в точке, получим

limx01cosxx2=limx02sin2x2x2=12limx0(sinx2x2)2=12(limx0sinx2x2)2=12\lim\limits_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{2\sin^2\frac{x}{2}}{x^2}=\frac{1}{2}\lim\limits_{x\to 0}\left(\frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2=\frac{1}{2}\left(\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2=\frac{1}{2}

Второй замечательный предел

limt+(1+1t)t=limx0(1+x)1/x=e.\lim\limits_{t\to +\infty}\left(1+\frac{1}{t}\right)^t=\lim\limits_{x\to 0}(1+x)^{1/x}=e.

Следствие 5

limx0ln(1+x)x=1.\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1.

Используя свойство 6 предела функции в точке, получим

limx0ln(1+x)x=limx0ln(1+x)1/x=ln(limx0(1+x)1/x)=lne=1\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}= \lim\limits_{x\to 0}\ln(1+x)^{1/x}=\ln \left(\lim\limits_{x\to 0}(1+x)^{1/x}\right)=\ln e=1

Следствие 6

limx0ex1x=1\lim\limits_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1

Замена переменной x=ln(1+t)x=\ln(1+t). Используя свойство 6 предела функции в точке и очевидное равенство limt0ln(1+t)=0\lim\limits_{t\to 0}\ln(1+t)=0, получим

limx0ex1x=limt0eln(1+t)1ln(1+t)=limt0tln(1+t)=1.\lim\limits_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{e^{\ln(1+t)}-1}{\ln(1+t)}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{t}{\ln(1+t)}=1.

Следствие 7

limx0(1+x)a1x=a.\lim\limits_{x\to 0}\frac{(1+x)^a-1}{x}=a.

Замена переменной x=et1x=e^t-1. Используя свойствa 6 и 8 предела функции в точке и очевидное равенство limt0(et1)=0\lim\limits_{t\to 0}\left(e^t-1\right)=0, получим

limx0(1+x)a1x=limt0eat1et1=a(limt0eat1at)(limt0tet1)=a.\lim\limits_{x\to 0}\frac{(1+x)^a-1}{x}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{e^{at}-1}{e^t-1}=a\left(\lim\limits_{t\to 0}\frac{e^{at}-1}{at}\right)\left(\lim\limits_{t\to 0}\frac{t}{e^t-1}\right)=a.

Следствие 8

Если a>0a>0, то

limx0ax1x=lna.\lim\limits_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}=\ln a.

Замена переменной x=tlogaex=t\log_a e. Используя свойство 6 предела функции в точке

limx0ax1x=limt0et1tlogae=1logaelimt0et1t=lna.\lim\limits_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{e^t-1}{t\log_ae}=\frac{1}{\log_ae}\lim\limits_{t\to 0}\frac{e^t-1}{t}=\ln a.

Автор статьи
3 Авг 2018 в 12:05
3 150
+0
-0
Комментарии
Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Название заказа не должно быть пустым
Введите email
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат

Интересные статьи за сегодня

Следующая статья
Сравнение функций
Поможем написать учебную работу
Название заказа не должно быть пустым
Введите email
Доверьте свою работу экспертам
Разместите заказ
Наша система отправит ваш заказ на оценку 36 290 авторам
Первые отклики появятся уже в течение 10 минут
Показать ещё
Показать ещё
Отвечай на вопросы, зарабатывай баллы и трать их на призы.
Подробнее
Прямой эфир