1347
3 Авг 2018 в 12:05 03.08.2018 в 12:05

Замечательные пределы

Содержание

Первый замечательный предел

limx0sinxx=1.\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.

(см. Пример 2 статьи Предел функции в точке. Свойства пределов)

Следствие 1

limx0arcsinxx=1.\lim\limits_{x\to 0}\frac{\operatorname{arcsin} x}{x}=1.

Замена переменной x=sintx=\sin t. Действительно, согласно свойству 6 предела функции в точке, имеем

limx0arcsinxx=limt0arcsinsintsint=limt0tsint=1.\lim\limits_{x\to 0}\frac{\operatorname{arcsin} x}{x}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{\operatorname{arcsin} \sin t}{\sin t}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{ t}{\sin t}=1.

Следствие 2

limx0tgxx=1.\lim\limits_{x\to 0}\frac{\operatorname{tg} x}{x}=1.

Согласно тому, что limx0cosx=1\lim\limits_{x\to 0}\cos x=1 и свойству 5 предела функции в точке, получим

limx0tgxx=limx0sinxxcosx=limx0sinxxlimx0cosx=1.\lim\limits_{x\to 0}\frac{\operatorname{tg} x}{x}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x\cos x}=\frac{\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}}{\lim\limits_{x\to 0}\cos x}=1.

Следствие 3

limx0arctgxx=1\lim\limits_{x\to 0}\frac{\operatorname{arctg} x}{x}=1

Замена переменной x=tgtx=\operatorname{tg} t. Согласно свойству 6 предела функции в точке, имеем

limx0arctgxx=limt0arctgtgttgt=limt0ttgt=1.\lim\limits_{x\to 0}\frac{\operatorname{arctg} x}{x}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{\operatorname{arctg} \operatorname{tg} t}{\operatorname{tg} t}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{ t}{\operatorname{tg} t}=1.

Следствие 4

limx01cosxx2=12\lim\limits_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}

Используя свойства 6 и 8 предела функции в точке, получим

limx01cosxx2=limx02sin2x2x2=12limx0(sinx2x2)2=12(limx0sinx2x2)2=12\lim\limits_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{2\sin^2\frac{x}{2}}{x^2}=\frac{1}{2}\lim\limits_{x\to 0}\left(\frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2=\frac{1}{2}\left(\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2=\frac{1}{2}

Второй замечательный предел

limt+(1+1t)t=limx0(1+x)1/x=e.\lim\limits_{t\to +\infty}\left(1+\frac{1}{t}\right)^t=\lim\limits_{x\to 0}(1+x)^{1/x}=e.

Следствие 5

limx0ln(1+x)x=1.\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1.

Используя свойство 6 предела функции в точке, получим

limx0ln(1+x)x=limx0ln(1+x)1/x=ln(limx0(1+x)1/x)=lne=1\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}= \lim\limits_{x\to 0}\ln(1+x)^{1/x}=\ln \left(\lim\limits_{x\to 0}(1+x)^{1/x}\right)=\ln e=1

Следствие 6

limx0ex1x=1\lim\limits_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1

Замена переменной x=ln(1+t)x=\ln(1+t). Используя свойство 6 предела функции в точке и очевидное равенство limt0ln(1+t)=0\lim\limits_{t\to 0}\ln(1+t)=0, получим

limx0ex1x=limt0eln(1+t)1ln(1+t)=limt0tln(1+t)=1.\lim\limits_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{e^{\ln(1+t)}-1}{\ln(1+t)}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{t}{\ln(1+t)}=1.

Следствие 7

limx0(1+x)a1x=a.\lim\limits_{x\to 0}\frac{(1+x)^a-1}{x}=a.

Замена переменной x=et1x=e^t-1. Используя свойствa 6 и 8 предела функции в точке и очевидное равенство limt0(et1)=0\lim\limits_{t\to 0}\left(e^t-1\right)=0, получим

limx0(1+x)a1x=limt0eat1et1=a(limt0eat1at)(limt0tet1)=a.\lim\limits_{x\to 0}\frac{(1+x)^a-1}{x}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{e^{at}-1}{e^t-1}=a\left(\lim\limits_{t\to 0}\frac{e^{at}-1}{at}\right)\left(\lim\limits_{t\to 0}\frac{t}{e^t-1}\right)=a.

Следствие 8

Если a>0a>0, то

limx0ax1x=lna.\lim\limits_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}=\ln a.

Замена переменной x=tlogaex=t\log_a e. Используя свойство 6 предела функции в точке

limx0ax1x=limt0et1tlogae=1logaelimt0et1t=lna.\lim\limits_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{e^t-1}{t\log_ae}=\frac{1}{\log_ae}\lim\limits_{t\to 0}\frac{e^t-1}{t}=\ln a.

Автор статьи
+0
-0
Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат

Интересные статьи за сегодня

Где лучше всего студентам живется?
4705 +34
1
Несколько способов, которые помогут обратить критику себе на пользу. Проверено — работают.
480 +25
0
Форму набора каждый выбирает сам – по возможностям или по желанию. Спешим обрадовать: у коммерции тоже есть плюсы.
4980 +24
0
Сегодня вы студент, а завтра уже нет. Как вернуться к учебе после отчисления?
5779 +20
0
Воспоминания эксперта Студворк.
178 +14
0
Автор
Хотите выполнять заказы? Стать автором
Заказчик
Хотите заказать работу? Разместить заказ
Доверьте свою работу экспертам
Разместите заказ
Наша система отправит ваш заказ на оценку 31 626 авторам
Первые отклики появятся уже в течение 10 минут