240
3 Авг в 12:0503.08.2018 в 12:05

Замечательные пределы

Содержание

Первый замечательный предел

limx0sinxx=1.\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.

(см. Пример 2 статьи Предел функции в точке. Свойства пределов)

Следствие 1

limx0arcsinxx=1.\lim\limits_{x\to 0}\frac{\operatorname{arcsin} x}{x}=1.

Замена переменной x=sintx=\sin t. Действительно, согласно свойству 6 предела функции в точке, имеем

limx0arcsinxx=limt0arcsinsintsint=limt0tsint=1.\lim\limits_{x\to 0}\frac{\operatorname{arcsin} x}{x}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{\operatorname{arcsin} \sin t}{\sin t}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{ t}{\sin t}=1.

Следствие 2

limx0tgxx=1.\lim\limits_{x\to 0}\frac{\operatorname{tg} x}{x}=1.

Согласно тому, что limx0cosx=1\lim\limits_{x\to 0}\cos x=1 и свойству 5 предела функции в точке, получим

limx0tgxx=limx0sinxxcosx=limx0sinxxlimx0cosx=1.\lim\limits_{x\to 0}\frac{\operatorname{tg} x}{x}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x\cos x}=\frac{\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}}{\lim\limits_{x\to 0}\cos x}=1.

Следствие 3

limx0arctgxx=1\lim\limits_{x\to 0}\frac{\operatorname{arctg} x}{x}=1

Замена переменной x=tgtx=\operatorname{tg} t. Согласно свойству 6 предела функции в точке, имеем

limx0arctgxx=limt0arctgtgttgt=limt0ttgt=1.\lim\limits_{x\to 0}\frac{\operatorname{arctg} x}{x}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{\operatorname{arctg} \operatorname{tg} t}{\operatorname{tg} t}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{ t}{\operatorname{tg} t}=1.

Следствие 4

limx01cosxx2=12\lim\limits_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}

Используя свойства 6 и 8 предела функции в точке, получим

limx01cosxx2=limx02sin2x2x2=12limx0(sinx2x2)2=12(limx0sinx2x2)2=12\lim\limits_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{2\sin^2\frac{x}{2}}{x^2}=\frac{1}{2}\lim\limits_{x\to 0}\left(\frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2=\frac{1}{2}\left(\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2=\frac{1}{2}

Второй замечательный предел

limt+(1+1t)t=limx0(1+x)1/x=e.\lim\limits_{t\to +\infty}\left(1+\frac{1}{t}\right)^t=\lim\limits_{x\to 0}(1+x)^{1/x}=e.

Следствие 5

limx0ln(1+x)x=1.\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1.

Используя свойство 6 предела функции в точке, получим

limx0ln(1+x)x=limx0ln(1+x)1/x=ln(limx0(1+x)1/x)=lne=1\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}= \lim\limits_{x\to 0}\ln(1+x)^{1/x}=\ln \left(\lim\limits_{x\to 0}(1+x)^{1/x}\right)=\ln e=1

Следствие 6

limx0ex1x=1\lim\limits_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1

Замена переменной x=ln(1+t)x=\ln(1+t). Используя свойство 6 предела функции в точке и очевидное равенство limt0ln(1+t)=0\lim\limits_{t\to 0}\ln(1+t)=0, получим

limx0ex1x=limt0eln(1+t)1ln(1+t)=limt0tln(1+t)=1.\lim\limits_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{e^{\ln(1+t)}-1}{\ln(1+t)}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{t}{\ln(1+t)}=1.

Следствие 7

limx0(1+x)a1x=a.\lim\limits_{x\to 0}\frac{(1+x)^a-1}{x}=a.

Замена переменной x=et1x=e^t-1. Используя свойствa 6 и 8 предела функции в точке и очевидное равенство limt0(et1)=0\lim\limits_{t\to 0}\left(e^t-1\right)=0, получим

limx0(1+x)a1x=limt0eat1et1=a(limt0eat1at)(limt0tet1)=a.\lim\limits_{x\to 0}\frac{(1+x)^a-1}{x}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{e^{at}-1}{e^t-1}=a\left(\lim\limits_{t\to 0}\frac{e^{at}-1}{at}\right)\left(\lim\limits_{t\to 0}\frac{t}{e^t-1}\right)=a.

Следствие 8

Если a>0a>0, то

limx0ax1x=lna.\lim\limits_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}=\ln a.

Замена переменной x=tlogaex=t\log_a e. Используя свойство 6 предела функции в точке

limx0ax1x=limt0et1tlogae=1logaelimt0et1t=lna.\lim\limits_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{e^t-1}{t\log_ae}=\frac{1}{\log_ae}\lim\limits_{t\to 0}\frac{e^t-1}{t}=\ln a.

Автор статьи
+0
-0
Комментарии
Нет комментариев

Интересные статьи за сегодня

Как защищать курсовую работу

О том, как преподнести себя публике и уберечь нервную систему (не только свою), представляя свое научное детище, – читайте в нашей статье.
116 +31
1

Кто в России счастлив на работе

Кто в России счастлив на работе?
344 +26
3

Как понять, что ты творческая личность?

С чего начинается творческий путь и кто такая эта «творческая личность»?
227 +17
0

Что должно быть под рукой у хорошего студента?

Иногда вещи могут рассказать о нас больше, чем мы сами в себе замечаем.
339 +17
1
Хотите выполнять заказы?
Стать автором
Хотите заказать работу?
Разместить заказ