Объем икосаэдра

Найти объем икосаэдра, если радиус вписанного в него шара равен $10\text{ см}$.

Решение

$r=10$

Радиус шара, вписанного в икосаэдр вычисляется так:

$r=\frac{3+\sqrt{5}}{4\sqrt{3}}\cdot a$,

где $a$ — длина ребра икосаэдра.

Выразим отсюда $a$:

$a=\frac{4\sqrt{3}}{3+\sqrt{5}}\cdot r$

$a=\frac{4\sqrt{3}}{3+\sqrt{5}}\cdot 10$

$a\approx13.23$

Объем тела:

$V=\frac{5}{12}\cdot(3+\sqrt{5})\cdot a^3\approx\frac{5}{12}\cdot(3+\sqrt{5})\cdot 13.23^3\approx5052,12\text{ см}^3$

Ответ: $5052,12\text{ см}^3.$

Найти объем икосаэдра, если площадь его поверхности равна $120\text{ см}^2$.

Решение

$S=120$

Площадь поверхности икосаэдра вычисляется таким образом:

$S=5\sqrt{3}\cdot a^2$,

где $a$ — длина ребра икосаэдра.

Отсюда $a$ равно:

$a^2=\frac{S}{5\sqrt{3}}$

$a=\sqrt{\frac{S}{5\sqrt{3}}}$

$a=\sqrt{\frac{120}{5\sqrt{3}}}$

$a\approx\sqrt{13.86}\approx3.72$

Объем икосаэдра:

$V=\frac{5}{12}\cdot(3+\sqrt{5})\cdot a^3\approx\frac{5}{12}\cdot(3+\sqrt{5})\cdot 3.72^3\approx112.31\text{ см}^3$

Ответ: $112.31\text{ см}^3.$

Найти объем икосаэдра, если радиус описанной сферы вокруг этого многогранника равен $20\text{ см}$.

Решение

$R=20$

Радиус сферы, описанной вокруг икосаэдра можно найти по формуле:

$R=\frac{\sqrt{2\cdot(5+\sqrt{5})}}{4}\cdot a$,

где $a$ — длина ребра икосаэдра.

Найдем $a$:

$a=\frac{4}{\sqrt{2\cdot(5+\sqrt{5})}}\cdot R$

$a=\frac{4}{\sqrt{2\cdot(5+\sqrt{5})}}\cdot 20$

$a\approx21.03$

Объем икосаэдра:

$V=\frac{5}{12}\cdot(3+\sqrt{5})\cdot a^3\approx\frac{5}{12}\cdot(3+\sqrt{5})\cdot 21.03^3\approx20291,39\text{ см}^3$

Ответ: $20291,39\text{ см}^3.$