329
23 Июл 2018 в 20:3523.07.2018 в 20:35

Объем икосаэдра

Содержание

Введите длину ребра  aa:
Определение икосаэдра

Икосаэдр – это выпуклый многогранник, состоящий из 20 граней, которые являются правильными треугольниками. Соответственно, сам икосаэдр тоже является правильным телом.

Онлайн-калькулятор

Икосаэдр имеет 30 ребер, 12 вершин, причем из каждой выходит по 5 ребер. Всего у икосаэдра 20 граней. Центром симметрии икосаэдра является его геометрический центр.

ikosaehdr2.svg

Формула объема икосаэдра

Формула для вычисления объема такова:

V=512(3+5)a3V=\frac{5}{12}\cdot(3+\sqrt{5})\cdot a^3

где aa – длина ребра икосаэдра.

Разберем подробно решение задач, связанных с нахождением данной величины.

Задача 1

Найти объем икосаэдра, если радиус вписанного в него шара равен 10 см10\text{ см}.

Решение

r=10r=10

Радиус шара, вписанного в икосаэдр вычисляется так:

r=3+543ar=\frac{3+\sqrt{5}}{4\sqrt{3}}\cdot a,

где aa — длина ребра икосаэдра.

Выразим отсюда aa:

a=433+5ra=\frac{4\sqrt{3}}{3+\sqrt{5}}\cdot r

a=433+510a=\frac{4\sqrt{3}}{3+\sqrt{5}}\cdot 10

a13.23a\approx13.23

Объем тела:

V=512(3+5)a3512(3+5)13.2335052,12 см3V=\frac{5}{12}\cdot(3+\sqrt{5})\cdot a^3\approx\frac{5}{12}\cdot(3+\sqrt{5})\cdot 13.23^3\approx5052,12\text{ см}^3

Ответ: 5052,12 см3.5052,12\text{ см}^3.

Задача 2

Найти объем икосаэдра, если площадь его поверхности равна 120 см2120\text{ см}^2.

Решение

S=120S=120

Площадь поверхности икосаэдра вычисляется таким образом:

S=53a2S=5\sqrt{3}\cdot a^2,

где aa — длина ребра икосаэдра.

Отсюда aa равно:

a2=S53a^2=\frac{S}{5\sqrt{3}}

a=S53a=\sqrt{\frac{S}{5\sqrt{3}}}

a=12053a=\sqrt{\frac{120}{5\sqrt{3}}}

a13.863.72a\approx\sqrt{13.86}\approx3.72

Объем икосаэдра:

V=512(3+5)a3512(3+5)3.723112.31 см3V=\frac{5}{12}\cdot(3+\sqrt{5})\cdot a^3\approx\frac{5}{12}\cdot(3+\sqrt{5})\cdot 3.72^3\approx112.31\text{ см}^3

Ответ: 112.31 см3.112.31\text{ см}^3.

Задача 3

Найти объем икосаэдра, если радиус описанной сферы вокруг этого многогранника равен 20 см20\text{ см}.

Решение

R=20R=20

Радиус сферы, описанной вокруг икосаэдра можно найти по формуле:

R=2(5+5)4aR=\frac{\sqrt{2\cdot(5+\sqrt{5})}}{4}\cdot a,

где aa — длина ребра икосаэдра.

Найдем aa:

a=42(5+5)Ra=\frac{4}{\sqrt{2\cdot(5+\sqrt{5})}}\cdot R

a=42(5+5)20a=\frac{4}{\sqrt{2\cdot(5+\sqrt{5})}}\cdot 20

a21.03a\approx21.03

Объем икосаэдра:

V=512(3+5)a3512(3+5)21.03320291,39 см3V=\frac{5}{12}\cdot(3+\sqrt{5})\cdot a^3\approx\frac{5}{12}\cdot(3+\sqrt{5})\cdot 21.03^3\approx20291,39\text{ см}^3

Ответ: 20291,39 см3.20291,39\text{ см}^3.

+1
-0
Нет комментариев

Интересные статьи за сегодня

Детальный обзор систем антиплагиата: как с ними работать и как повысить уникальность
4024 +18
2
Пишем научную статью в вузе. С чего начать и на что обратить внимание?
183 +14
0
Подборка бесплатных приложений для обработки фотографий.
207 +12
0
Можно ли сдать экзамены раньше срока?
1732 +10
1
Хотите выполнять заказы?
Стать автором
Хотите заказать работу?
Разместить заказ