Объем икосаэдра

Содержание

Введите длину ребра  :
Определение икосаэдра

Икосаэдр – это выпуклый многогранник, состоящий из 20 граней, которые являются правильными треугольниками. Соответственно, сам икосаэдр тоже является правильным телом.

Онлайн-калькулятор

Икосаэдр имеет 30 ребер, 12 вершин, причем из каждой выходит по 5 ребер. Всего у икосаэдра 20 граней. Центром симметрии икосаэдра является его геометрический центр.

ikosaehdr2.svg

Формула объема икосаэдра

Формула для вычисления объема такова:

V=512(3+5)a3V=\frac{5}{12}\cdot(3+\sqrt{5})\cdot a^3

где aa – длина ребра икосаэдра.

Разберем подробно решение задач, связанных с нахождением данной величины.

Задача 1

Найти объем икосаэдра, если радиус вписанного в него шара равен 10 см10\text{ см}.

Решение

r=10r=10

Радиус шара, вписанного в икосаэдр вычисляется так:

r=3+543ar=\frac{3+\sqrt{5}}{4\sqrt{3}}\cdot a,

где aa — длина ребра икосаэдра.

Выразим отсюда aa:

a=433+5ra=\frac{4\sqrt{3}}{3+\sqrt{5}}\cdot r

a=433+510a=\frac{4\sqrt{3}}{3+\sqrt{5}}\cdot 10

a13.23a\approx13.23

Объем тела:

V=512(3+5)a3512(3+5)13.2335052,12 см3V=\frac{5}{12}\cdot(3+\sqrt{5})\cdot a^3\approx\frac{5}{12}\cdot(3+\sqrt{5})\cdot 13.23^3\approx5052,12\text{ см}^3

Ответ: 5052,12 см3.5052,12\text{ см}^3.

Задача 2

Найти объем икосаэдра, если площадь его поверхности равна 120 см2120\text{ см}^2.

Решение

S=120S=120

Площадь поверхности икосаэдра вычисляется таким образом:

S=53a2S=5\sqrt{3}\cdot a^2,

где aa — длина ребра икосаэдра.

Отсюда aa равно:

a2=S53a^2=\frac{S}{5\sqrt{3}}

a=S53a=\sqrt{\frac{S}{5\sqrt{3}}}

a=12053a=\sqrt{\frac{120}{5\sqrt{3}}}

a13.863.72a\approx\sqrt{13.86}\approx3.72

Объем икосаэдра:

V=512(3+5)a3512(3+5)3.723112.31 см3V=\frac{5}{12}\cdot(3+\sqrt{5})\cdot a^3\approx\frac{5}{12}\cdot(3+\sqrt{5})\cdot 3.72^3\approx112.31\text{ см}^3

Ответ: 112.31 см3.112.31\text{ см}^3.

Задача 3

Найти объем икосаэдра, если радиус описанной сферы вокруг этого многогранника равен 20 см20\text{ см}.

Решение

R=20R=20

Радиус сферы, описанной вокруг икосаэдра можно найти по формуле:

R=2(5+5)4aR=\frac{\sqrt{2\cdot(5+\sqrt{5})}}{4}\cdot a,

где aa — длина ребра икосаэдра.

Найдем aa:

a=42(5+5)Ra=\frac{4}{\sqrt{2\cdot(5+\sqrt{5})}}\cdot R

a=42(5+5)20a=\frac{4}{\sqrt{2\cdot(5+\sqrt{5})}}\cdot 20

a21.03a\approx21.03

Объем икосаэдра:

V=512(3+5)a3512(3+5)21.03320291,39 см3V=\frac{5}{12}\cdot(3+\sqrt{5})\cdot a^3\approx\frac{5}{12}\cdot(3+\sqrt{5})\cdot 21.03^3\approx20291,39\text{ см}^3

Ответ: 20291,39 см3.20291,39\text{ см}^3.

+6
-0
Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат

Интересные статьи за сегодня

Что же такое феномен K-POP?
3974 +128
1
Раскрываем различия между дипломом и магистерской диссертацией.
13856 +108
4
Подскользнуться или поскользнуться, едь или езжай?
801 +98
0
Когда ваши замечания уместны, а когда нет?
74 +74
0
Автор
Хотите выполнять заказы? Стать автором
Заказчик
Хотите заказать работу? Разместить заказ
Доверьте свою работу экспертам
Разместите заказ
Наша система отправит ваш заказ на оценку 33 562 авторам
Первые отклики появятся уже в течение 10 минут
Напишем уникальную работу
Скидка 10%