Содержание

Тест: 3 вопроса
1. Формула для вычисление объема икосаэдра выглядит следующим образом:
V=5/12 (3+√5) a^3
V=7/12 (3+√7) a^3
V=5/12 (3+√5) a^2
2. Икосаэдр имеет ____
20 ребер, 12 вершин
30 ребер, 12 вершин
30 ребер, 15 вершин
3. Выпуклый многогранник, состоящий из 20 граней, которые являются правильными треугольниками называется…
тетраэдром
икосаэдром
фифтаэдром
Введите длину ребра  :
Определение икосаэдра

Икосаэдр – это выпуклый многогранник, состоящий из 20 граней, которые являются правильными треугольниками. Соответственно, сам икосаэдр тоже является правильным телом.

Онлайн-калькулятор

Икосаэдр имеет 30 ребер, 12 вершин, причем из каждой выходит по 5 ребер. Всего у икосаэдра 20 граней. Центром симметрии икосаэдра является его геометрический центр.

ikosaehdr2.svg

Формула объема икосаэдра

Формула для вычисления объема такова:

V=512(3+5)a3V=\frac{5}{12}\cdot(3+\sqrt{5})\cdot a^3

где aa – длина ребра икосаэдра.

Разберем подробно решение задач, связанных с нахождением данной величины.

Задача 1

Найти объем икосаэдра, если радиус вписанного в него шара равен 10 см10\text{ см}.

Решение

r=10r=10

Радиус шара, вписанного в икосаэдр вычисляется так:

r=3+543ar=\frac{3+\sqrt{5}}{4\sqrt{3}}\cdot a,

где aa — длина ребра икосаэдра.

Выразим отсюда aa:

a=433+5ra=\frac{4\sqrt{3}}{3+\sqrt{5}}\cdot r

a=433+510a=\frac{4\sqrt{3}}{3+\sqrt{5}}\cdot 10

a13.23a\approx13.23

Объем тела:

V=512(3+5)a3512(3+5)13.2335052,12 см3V=\frac{5}{12}\cdot(3+\sqrt{5})\cdot a^3\approx\frac{5}{12}\cdot(3+\sqrt{5})\cdot 13.23^3\approx5052,12\text{ см}^3

Ответ: 5052,12 см3.5052,12\text{ см}^3.

Задача 2

Найти объем икосаэдра, если площадь его поверхности равна 120 см2120\text{ см}^2.

Решение

S=120S=120

Площадь поверхности икосаэдра вычисляется таким образом:

S=53a2S=5\sqrt{3}\cdot a^2,

где aa — длина ребра икосаэдра.

Отсюда aa равно:

a2=S53a^2=\frac{S}{5\sqrt{3}}

a=S53a=\sqrt{\frac{S}{5\sqrt{3}}}

a=12053a=\sqrt{\frac{120}{5\sqrt{3}}}

a13.863.72a\approx\sqrt{13.86}\approx3.72

Объем икосаэдра:

V=512(3+5)a3512(3+5)3.723112.31 см3V=\frac{5}{12}\cdot(3+\sqrt{5})\cdot a^3\approx\frac{5}{12}\cdot(3+\sqrt{5})\cdot 3.72^3\approx112.31\text{ см}^3

Ответ: 112.31 см3.112.31\text{ см}^3.

Задача 3

Найти объем икосаэдра, если радиус описанной сферы вокруг этого многогранника равен 20 см20\text{ см}.

Решение

R=20R=20

Радиус сферы, описанной вокруг икосаэдра можно найти по формуле:

R=2(5+5)4aR=\frac{\sqrt{2\cdot(5+\sqrt{5})}}{4}\cdot a,

где aa — длина ребра икосаэдра.

Найдем aa:

a=42(5+5)Ra=\frac{4}{\sqrt{2\cdot(5+\sqrt{5})}}\cdot R

a=42(5+5)20a=\frac{4}{\sqrt{2\cdot(5+\sqrt{5})}}\cdot 20

a21.03a\approx21.03

Объем икосаэдра:

V=512(3+5)a3512(3+5)21.03320291,39 см3V=\frac{5}{12}\cdot(3+\sqrt{5})\cdot a^3\approx\frac{5}{12}\cdot(3+\sqrt{5})\cdot 21.03^3\approx20291,39\text{ см}^3

Ответ: 20291,39 см3.20291,39\text{ см}^3.

Тест по теме “Объем икосаэдра”

23 Июл 2018 в 20:35
2 838
+8
-0
Комментарии
Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Название заказа не должно быть пустым
Введите email
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат

Интересные статьи за сегодня

Предыдущая статья
Объем октаэдра
Следующая статья
Объем додекаэдра
Напишем уникальную работу
Скидка 10%
Поможем написать учебную работу
Название заказа не должно быть пустым
Введите email
Доверьте свою работу экспертам
Разместите заказ
Наша система отправит ваш заказ на оценку 34 799 авторам
Первые отклики появятся уже в течение 10 минут
Показать ещё
Показать ещё
Отвечай на вопросы, зарабатывай баллы и трать их на призы.
Подробнее
Прямой эфир